精品解析：辽宁省鞍山市2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷

2023-2024学年度下学期月考 高二数学（A） 时间：120分钟 分数：150分 命题范围：选择性必修二全部，选择性必修三到第五章数列结束. 第I卷（选择题，共58分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示1次试验的成功次数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出分布列，结合分布列的性质即可得解. 【详解】由题意可设失败率为，则成功率为，则的分布列为 0 1 ，解得，. 故选：D. 2. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】考点：排列、组合的实际应用． 分析：本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果． 解：用插空法解决的排列组合问题， 将所有学生先排列，有A88种排法， 然后将两位老师插入9个空中， 共有A92种排法， ∴一共有A88A92种排法． 故选A． 3. 已知数列是等差数列，若，则等于（ ） A. 7 B. 21 C. 14 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合等差数列的性质可求，再结合等差数列性质求. 【详解】由等差数列性质，数列为等差数列，若，， 则， 因为数列为等差数列，， 所以，又， 所以， 因为数列为等差数列，， 所以， 故选：C. 4. 在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大. 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得. 故选：B 5. 已知为数列的前项和，，，那么（ ） A. -64 B. -32 C. -16 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． 【详解】时，，，可得：，化为． 时，． 数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为． 那么． 故选：B． 6. 在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，结合题设条件求得，结合期望和方差的公式，即可求解. 【详解】设事件在每次试验中发生的概率为，则， 因为事件至少发生一次的概率为，可得，解得， 所以，所以. 故选：D. 7. 明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是 A. 2盏 B. 3盏 C. 4盏 D. 7盏 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：，解得，故选B． 考点：等比数列应用 8. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果. 【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”， ，，， 由全概率公式可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以， ，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确. 故选：ABC 【点睛】本题考查两点分布的期望和方差，以及期望和方差的性质，属于基础题型. 10. 已知，下列命题中，正确的是（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数的和为 B. 展开式中所有奇次项系数的和为 C. 展开式中所有偶次项系数的和为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据二项式系数的和即可判断A；对B，分别令得出两式子，两式相减得展开式中所有奇数项系数的和即可判断B；对C，两式相加得展开式中所有偶次项系数的和即可判断C；对D，令可求得，再令，即可判断D选项. 【详解】对A，根据二项式系数的和即可判断A正确； 对B，令，可得， 令，可得， 两式相减得展开式中所有奇次项系数的和为，故B错误； 对C，两式相加得展开式中所有偶次项系数的和为，故C正确； 对D，令可求得， 再令，可得，代入得，故D正确. 故选：ACD 11. 等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件结合等差数列的性质，求得，结合等差数列的通项公式和等差数列的单调性和等差数列的性质，等差数列求和公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，等差数列的公差，前项和为， 因为，可得， 即， 对于A中，由，可得数列单调递减， 由，可得， 故当时，，当时，， 因为， 所以，所以，A错误； 对于B中，由等差数列的前项和公式， 可得，所以B正确； 对于C中，因为， ， 故，C正确； 对于D中，因为，所以， 所以，因为，所以， 即，所以D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题，共92分） 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据条件概率公式求解即可． 【详解】记事件A为“灯泡寿命超过500小时”，事件AB为“灯泡寿命超过800小时”， 则在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为． 故答案为：． 13. 的展开式中常数项为______． 【答案】40 【解析】 【分析】由二项式定理及展开式通项公式可得：展开式的通项公式为,再利用乘法的分配律运算即可得解. 【详解】解：由展开式的通项公式为, 则 的展开式中常数项为-=40, 故答案为40. 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题. 14. 设是数列的前项和，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 . 【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间（单位：月）与这种鱼类的平均体重（单位：千克）得到一组观测值，如下表： 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8 （1）求关于的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析饲养1~5个月这种鱼平均体重的变化情况，并预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，. 【答案】（1）. （2）鱼的平均体重逐月增加0.58千克，满12个月时，鱼的平均体重千克. 【解析】 【分析】（1）结合题干中的数据，利用，公式，计算可得，的值，再利用得到答案. （2）利用（1）求得的回归方程，将代入即可得到答案. 【小问1详解】 由图表数据可得，，， ，， 故，， 故回归直线方程为； 【小问2详解】 因为，故饲养1~5个月这种鱼平均体重逐月增加，平均增加千克， 当时，， 故预测该饲养满12个月时，这种鱼的平均体为千克． 16. 已知数列满足，． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，设为数列的前项和，证明：． 【答案】（1）证明： 因为，所有， 又因为，所有是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，因此求的通项公式． （2）证明： 由（1）知，， 所以 ， 因为，所以． 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合裂项法，得到，即可求解. 【小问1详解】 证明略，通项公式为； 【小问2详解】 略. 17. 为了强调考前仔细研究教材内容（称“回归教材”）对高考数学成绩的重要性，2016年高考结束后，某班级规定高考数学成绩115分以上（含115分）为优秀，制作下表： 高考数学成绩 是否回归教材 非优秀人数 优秀人数 合计 未回归教材人数 8 2 10 回归教材人数 2 18 20 合计 10 20 30 （1）能否有99%的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关？ （2）以该班数据为样本来估计全市总体数据，从全市2016年参加高考的考生中任取3人，设3人中高考数学成绩优秀且回归教材的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：， 0.050 0.010 k 3.841 6.635 【答案】（1）有的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关 （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）根据题中数据计算即可得出结果； （2）可取0，1，2，3，求出对应概率，可得分布列，由期望公式计算期望. 【小问1详解】 由，，，，，，，，， 所以． 因为，所以有的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关． 【小问2详解】 可取0，1，2，3，设“回归教材”且成绩优秀为事件，．则 ，， ，． 的分布列为 ． 18. 已知是正项数列的前n项和，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系化简可得，所以是等差数列，进而可得答案； （2）由（1）知，然后利用错位相减法求解. 【小问1详解】 化为，可知， 可得，即， 由于，可得， 又，解得， 所以是首项是1，公差是2的等差数列， 所以通项公式是； 【小问2详解】 设前项和为，由（1）知，则 ， ， 两式相减得， 即， 所以． 19. 现有A、B两个部门进行投篮比赛，A部门有4人参加，B部门有6人参加，已知这10人投篮水平相当，每人投中的概率都是p．比赛之前每人都进行投篮练习，投中则停止投篮练习，最多进行三次投篮练习．若甲投篮练习次，统计得知的数学期望是． （1）求p； （2）现从这10人中选出5人，每人投篮两次，设5人中能够投中的人数为，求的数学期望； （3）现从这10人中选出3人参加投篮练习，设A部门被选中的人数为，求的数学期望． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件求随机变量的分布列，由期望公式求期望，由条件列方程求； （2）先求每人至少投中一次的概率，由此可得的分布列，再由二项分布期望公式求解； （3）先求的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望. 【小问1详解】 由已知的取值有1，2，3， 所以，，， 所以的分布列为 1 2 3 ， 由于，， 因为，所以； 【小问2详解】 依题意，每人投中一次的概率， 所以，每人至少投中一次的概率为， 随机变量的取值有，服从二项分布， ； 【小问3详解】 可取， ，， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期月考 高二数学（A） 时间：120分钟 分数：150分 命题范围：选择性必修二全部，选择性必修三到第五章数列结束. 第I卷（选择题，共58分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示1次试验的成功次数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 A. B. C. D. 3. 已知数列是等差数列，若，则等于（ ） A. 7 B. 21 C. 14 D. 17 4. 在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知为数列的前项和，，，那么（ ） A. -64 B. -32 C. -16 D. -8 6. 在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是 A. 2盏 B. 3盏 C. 4盏 D. 7盏 8. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，下列命题中，正确的是（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数的和为 B. 展开式中所有奇次项系数的和为 C. 展开式中所有偶次项系数的和为 D. 11. 等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 第II卷（非选择题，共92分） 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为_________． 13. 的展开式中常数项为______． 14. 设是数列的前项和，且，，则__________． 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间（单位：月）与这种鱼类的平均体重（单位：千克）得到一组观测值，如下表： 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8 （1）求关于的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析饲养1~5个月这种鱼平均体重的变化情况，并预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，. 16. 已知数列满足，． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，设为数列的前项和，证明：． 17. 为了强调考前仔细研究教材内容（称“回归教材”）对高考数学成绩的重要性，2016年高考结束后，某班级规定高考数学成绩115分以上（含115分）为优秀，制作下表： 高考数学成绩 是否回归教材 非优秀人数 优秀人数 合计 未回归教材人数 8 2 10 回归教材人数 2 18 20 合计 10 20 30 （1）能否有99%的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关？ （2）以该班数据为样本来估计全市总体数据，从全市2016年参加高考的考生中任取3人，设3人中高考数学成绩优秀且回归教材的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：， 0.050 0.010 k 3.841 6.635 18. 已知是正项数列的前n项和，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19. 现有A、B两个部门进行投篮比赛，A部门有4人参加，B部门有6人参加，已知这10人投篮水平相当，每人投中的概率都是p．比赛之前每人都进行投篮练习，投中则停止投篮练习，最多进行三次投篮练习．若甲投篮练习次，统计得知的数学期望是． （1）求p； （2）现从这10人中选出5人，每人投篮两次，设5人中能够投中的人数为，求的数学期望； （3）现从这10人中选出3人参加投篮练习，设A部门被选中的人数为，求的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $