精品解析：2024年江苏省镇江市中考数学仿真模拟试题

2024年江苏省镇江市中考数学仿真模拟卷 一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 的相反数是________． 2. 如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=_______°． 3. 若反比例函数图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_______． 4. 抛物线的顶点坐标为________ ． 5. 若扇形的圆心角为，半径为4，则它的弧长为 _____．（结果保留π） 6. 要使代数式有意义，取值范围是_____________． 7. 分解因式__________． 8. 若一组数据的平均数为4，则的平均数为__________． 9. 若是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 10. 如图，在中，，，，则值是___________． 11. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______． 12. 如图，与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．若，则点的纵坐标为________ 二、选择题（本道题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是(　　) A. B. C. D. 14. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 2023年3月5日，工信部宣布，目前，我国已经建成了规模最大、技术最先进的5G网络，现在我国5G发展已经走在世界前列．以5G基站为例，我国已经建成了超过2340000个5G基站．2340000这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 16. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 17. 古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （斤） （厘米） 当为斤时，对应水平距离为（ ） A. B. C. D. 18. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（ ） A. B. C. 50 D. 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. 若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数a的积． 21. 如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，． （1）求证：； （2）作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形． 22. 一个不透明的口袋中装有4个小球，这四个小球上分别标有数字、、3、4，这四个小球除了标的数字不同其余完全相同．若小刚一次摸出两个球，用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之积为负数的概率． 23. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩(引体向上次数)． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 5.8 a b 根据以上信息，解答下列问题： （1） 　　 ， 　　； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6次及6次以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生300人，估计该校男生该项目成绩良好的约有　　　　人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 24. （1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标； （2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解． （3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标． 25. 如图，等腰直角与交于点B，C，，延长，与分别交于点D，E，连接，，并延长至点F，使得． （1）求的度数； （2）求证：与相切； （3）若的半径为2，求的长． 26. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为2．对于线段和点C（点C不在直线上），给出如下定义：过点C作直线的平行线l，如果线段关于直线l的对称线段是的弦，那么线段称为的点C对称弦． （1）如图，，，，，，在线段，中，的点H对称弦是___________； （2）等边边长为1，点，若线段是的点C对称弦，求t的值； （3）点M在直线上，的半径为1，过点M作直线的垂线，交于点P，Q．若点N在上，且线段是的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围． 28. 综合与探究． 【特例感知】 （1）如图（a），是正方形外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．求证：； 【类比迁移】 （2）如图（b），在菱形中，，，是的中点，将线段，分别绕点顺时针旋转得到，，交于点，连接，，求四边形的面积； 【拓展提升】 （3）如图（c），在平行四边形中，，，为锐角且满足．是射线上一动点，点，同时绕点顺时针旋转得到点，，当为直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年江苏省镇江市中考数学仿真模拟卷 一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 的相反数是________． 【答案】-5 【解析】 【分析】先求-5的绝对值，再求它的相反数即可 【详解】解：∵=5，5的相反数是-5， 故答案为：-5 【点睛】本题考查了绝对值和相反数，认真审题是解题的关键． 2. 如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=_______°． 【答案】150 【解析】 【详解】分析：两直线平行，同旁内角互补，然后根据三角形内角和为180°即可解答． 详解：如图， ∵m∥n，∠1=110°， ∴∠4=70°， ∵∠2=100°， ∴∠5=80°， ∴∠6=180°-∠4-∠5=30°， ∴∠3=180°-∠6=150°， 故答案为150． 点睛：本题主要考查平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 3. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解决问题的关键． 根据反比例函数图象和性质，，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 4. 抛物线的顶点坐标为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 5. 若扇形的圆心角为，半径为4，则它的弧长为 _____．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握公式是解题的关键． 6. 要使代数式有意义，的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件， 解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 观察代数式含有二次根式，因此被开方数应大于等于；同时，代数式又含有分式，因此分母不能等于；据此建立不等式组，求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得： ， 由得：， 对于，移项，得：， 该一元一次不等式组的解集为：且， 故答案为：且． 7. 分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解﹣综合运用提公因式与公式法， 先提取公因数2，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 8. 若一组数据的平均数为4，则的平均数为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是算术平均数的求法及运用，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据，，，，的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数． 【详解】解：一组数据，，，，的平均数是4， ∴， ∴， 那么，，，，的平均数为： ． 故答案为：6． 9. 若是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：． 10. 如图，在中，，，，则值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系． 11. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______． 【答案】289 【解析】 【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ， ①，②， ， ③， ， 解得或（舍去）， 大正方形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键． 12. 如图，与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．若，则点的纵坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，根据勾股定理得到的长，于是得到结论． 【详解】解：连接，，，过点作于，于， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、选择题（本道题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可得答案． 【详解】从左面看，小正方体有两列，左边一列有3个小正方形，右边一列有1个小正方形， 故选C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 14. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 15. 2023年3月5日，工信部宣布，目前，我国已经建成了规模最大、技术最先进的5G网络，现在我国5G发展已经走在世界前列．以5G基站为例，我国已经建成了超过2340000个5G基站．2340000这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】∵， 故选C． 【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 16. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设两名男生分别记，，两名女生分别记为，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为， 故选：D． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 17. 古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （斤） （厘米） 当为斤时，对应的水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 观察表格数据可以发现与之间存在一次函数关系，故借助表格数据，利用待定系数法求出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，求出对应的函数值即可． 【详解】解：观察表格数据发现与之间存在一次函数关系，故设， 将点与分别代入，得， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 关于的函数关系式为， 将代入上述解析式，得：， 即当为斤时，对应的水平距离为， 故选：． 18. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（ ） A. B. C. 50 D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察左图可发现，三角形各顶点的数字之和等于正方形各定点数字之和，各顶点的数字之和加上正方形各定点数字之和等于4倍的正方形各顶点数字之和，得到、，代入即可求解． 【详解】解：观察左图可发现，三角形各顶点的数字之和等于正方形各定点数字之和， 整理得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键是根据题意得到、． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算；特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方），解题的关键是： （1）先计算绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂及特殊角三角函数值，再计算加减即可； （2）先计算括号里，再将除法转化为乘法进行分式的约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数a的积． 【答案】40 【解析】 【分析】先用a表示方程的解，根据解是非负数，且x≠1，结合不等式组的解集确定a的范围，求得整数解计算即可． 【详解】∵， 去分母，得 x+2-a=3x-3, 移项、合并同类项，得 2x=5-a， 系数化为1，得 x=， ∵数a使关于x的分式方程的解为非负数，且x-1≠0， ∴， ∴， ∵， ∴①的解集为，②的解集为， ∵的解集为， ∴a＞0， ∴符合条件的所有整数a为1,2,4,5， ∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5=40． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解集，熟练掌握解分式方程，不等式组的解集是解题的关键． 21. 如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，． （1）求证：； （2）作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得到，，利用线段中点的性质得到，证明，得到，利用等量的和差关系即可证明； （2）由（1）可得，四边形是平行四边形，利用角平分线性质得到，利用平行线的性质得到，，利用等量代换和等腰三角形性质得到，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，，， ， 是对角线的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 四边形是平行四边形， 为的角平分线， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形性质和判定，线段中点的性质，全等三角形性质和判定，角平分线性质，平行线性质，等腰三角形性质，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题． 22. 一个不透明的口袋中装有4个小球，这四个小球上分别标有数字、、3、4，这四个小球除了标的数字不同其余完全相同．若小刚一次摸出两个球，用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之积为负数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画树状图，然后求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种可能的结果，两个球上的数字之积为负数的结果有8种， ∴两个球上的数字之积为负数的概率为． 【点睛】本题考查了列举法求概率．解题的关键在于正确的画树状图． 23. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩(引体向上次数)． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 5.8 a b 根据以上信息，解答下列问题： （1） 　　 ， 　　； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6次及6次以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生300人，估计该校男生该项目成绩良好的约有　　　　人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）6，5 （2）见解析 （3）165 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数与众数的定义即可求解； （2）先利用引体向上为8次的所占百分比乘以总的调查人数得到引体向上为8次的人数，即可补全条形图； （3）引体向上6次及6次以上的人数所占比例乘以300即可得出结果； （4）根据平均数、中位数、众数的概念书名即可． 【小问1详解】 解：将调查的数据从小到大排列，位于第20和21的数据都是6， ， 调查的数据中，引体向上个数为5个的人数最多， ， 故答案为：6，5； 【小问2详解】 解：引体向上为8次的人数为：（人） 补图如图所示． 【小问3详解】 解：（人） 故答案为：165； 【小问4详解】 解：从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均次数是5.8； 从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上次数不少于6次； 从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5次的人数最多． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数、中位数、众数的概念；掌握样本估计总体的计算方法是解决问题的前提． 24. （1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标； （2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解． （3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标． 【答案】（1）；（2） 或；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题． （1）把方程变形为，即可求解． （2）根据已知条件画出两函数的大致图象，即可求出不等式的解集． （3）由与y轴交于点B，得设，则，，分以对角线为、，对角线为、，对角线为、三种情况进行讨论，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由左右同时除以x得，， 所以，， 所以，方程的两个解，可看作直线与曲线交点的横坐标． 故答案是：． （2）解：直线与双曲线交于，，画出大致图形如下： 由图可知，直线在双曲线上方时或 ∴不等式的解集为：或； （3）解：∵与y轴交于点B， ∴， 根据题意，设，则， 而， ①若平行四边形对角线为、则的中点即是中点， ∴，方程组无解； ②若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点， ∴，化简整理得，无解； ③若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点，如图： ∴， 解得或， ∴或． 综上所述，的坐标为：或． 25. 如图，等腰直角与交于点B，C，，延长，与分别交于点D，E，连接，，并延长至点F，使得． （1）求的度数； （2）求证：与相切； （3）若的半径为2，求的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由，可得为的直径，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质即可求解； （2）由圆周角定理可得，从而可得，利用等量代换可得，再根据切线的判定定理即可得证； （3）由圆心角定理可得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， ， 过圆心O， 为的直径， ， 是等腰直角三角形， ， ． 小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵是半径， ∴与相切； 【小问3详解】 解：连接、，如图， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的综合应用、勾股定理、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 26. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】（1），证明见解析 （2）米 【解析】 【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB， AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【小问1详解】 （拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E． 在RtΔABE中，， 同理：， ． ． ． ． ． 【小问2详解】 （解答问题）解：在ΔABC中， ∴ 解得： 答：点A到点B的距离为m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，半径为2．对于线段和点C（点C不在直线上），给出如下定义：过点C作直线的平行线l，如果线段关于直线l的对称线段是的弦，那么线段称为的点C对称弦． （1）如图，，，，，，在线段，中，的点H对称弦是___________； （2）等边的边长为1，点，若线段是的点C对称弦，求t的值； （3）点M在直线上，的半径为1，过点M作直线的垂线，交于点P，Q．若点N在上，且线段是的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围． 【答案】（1），； （2），，，； （3），且． 【解析】 【分析】（1）根据题目中新定义，分别求出，，，，再判定这些点是否在上即可； （2）分类讨论，当点C在边下方时，当点C在边上方时，分别求解即可； （3）如图所示，分别求出m最小值与最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵的半径为2． ∴，在上， ∴线段是的点H对称弦； ∵，，， ∴，， ∵的半径为2． ∴，在上， ∴线段是的点H对称弦． 【小问2详解】 解：如图，当在x上方，点C在边下方时，线段是的点C对称弦，为弦，设与y轴交于点M，与y轴交于点G，连接， ∴点M是的中点． ∵等边的边长为1， ∴，． ∵的半径为2， ∴． ∴． ∴． 当点C在边上方时，可以得到． 当在x下方时，利用圆的轴对称性，同理可以得到，． 【小问3详解】 解：如图所示，m取得最小值与最大值，过点M作轴于S，交直线于点K， 则，，， 由勾股定理得， ∴， 设， ∴ 解得， 又因点N不在直线上，所以， ∴点M的横坐标m的取值范围为 且． 【点睛】本题考查新定义，等边三角形的性质，轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用，避免漏解． 28. 综合与探究． 【特例感知】 （1）如图（a），是正方形外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．求证：； 【类比迁移】 （2）如图（b），在菱形中，，，是的中点，将线段，分别绕点顺时针旋转得到，，交于点，连接，，求四边形的面积； 【拓展提升】 （3）如图（c），在平行四边形中，，，为锐角且满足．是射线上一动点，点，同时绕点顺时针旋转得到点，，当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）见详解 （2） （3）6或或或18 【解析】 【分析】（1）证明，从而得出； （2）连接，作，交的延长线于，作于，可证得是等边三角形，进而求得，可证得，从而得出，从而求得，可证得，从而，进而求得，根据得，求得，进一步得出结果； （3）以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系，作，交的延长线于点，作于，作轴，过点作于，作于，可求得直线的解析式为，从而设，可证得，从而，，进而表示出的坐标，同样得出点坐标，从而表示出和，分三种情形列方程：当时，根据勾股定理列出方程，求得的值，进而得出，同样方法得出当时和当时的情况． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ； （2）如图1， 连接，作，交的延长线于，作于， 四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由得， ， ， ， ； （3）如图2， 以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系， 作，交的延长线于点，作于，作轴，过点作于，作于， ， 直线的解析式为，设， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ，即：， ，， ，即， ， 同理可得：，， ，即：， ， 当时， ， ， ， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述：或18或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$