精品解析：河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第四次适应性考试数学试题

2024届高三考前第四次适应性考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求得，即可计算模长. 【详解】∵，，∴，， ∴. 故选：C. 2. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案. 【详解】的定义域为， 由于是奇函数，所以， 所以 . 故选：B 3. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确； 由题意得，，，， ，故B，D均正确； 因为，故C错误. 故选：C. 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】，， 由于为等差数列，所以， 所以 ，也符合， 所以， 所以数列的前项和为. 故选：D 5. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】由题易知直线恒过， 圆化为标准方程得， 即圆心为，半径， 圆心到距离， 所以在圆内， 则直线与圆交点弦最大值为直径即8， 最小时即为圆心到直线距离最大， 即时，此时， 所以的取值范围为. 故选：D 6. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案. 【详解】， ， ，分子分母同时除以得： ①， 由于，所以，所以， 所以， 所以， 即，代入①得： ，解得. 故选：B 7. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 8. 若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于，令，，然后转化为函数图象的交点结合图象可求． 【详解】原不等式等价于，设，， 则，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，时，， 因此与的图象如图， 当时，显然不满足题意； 当时，当且仅当，或. 由第一个不等式组，得，即， 由第二个不等式组，得，该不等式组无解. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】方法点睛：先对式子进行变形，等号一边为一次函数（通常过定点），另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ） A. 若的两条渐近线相互垂直，则 B. 若的离心率为，则的实轴长为 C. 若，则 D. 当变化时，周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确； B选项，若的离心率为， 解得，所以实轴长，故B错误； C选项，若，则， 整理得，故C正确； D选项，根据双曲线的定义可知，， 两式相加得， 所以周长为， 当时，取得最小值， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以周长的最小值为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则 D. 若在区间上单调递减，则或 【答案】BC 【解析】 【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心， 所以，且①，B选项正确. 则， 所以 ， 由于是奇数，所以是偶函数， A选项错误. C选项，， 将代入得： ， 整理得， 由于在区间上有且仅有条对称轴， 所以，解得，由于，所以， 对应，所以C选项正确. D选项，在区间上单调递减， ， 将代入得： ， 整理得， 则，解得，而，所以或， 时，，符合单调性， 时，，不符合单调性，所以舍去 所以，所以D选项错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 点Q的轨迹长度为 D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心为，由得到方程，求出半径的最大值. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故. 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 因为，故平面，A正确； B选项，取的中点，连接， 因为M，N，P分别是棱，，的中点， 所以，又， 所以，所以平面截正方体所得的截面为正六边形， 其中边长为，故面积为，B正确； C选项，Q为平面上的动点，直线与直线的夹角为， 又平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆， 即为点Q的轨迹， 其中，由对称性可知，， 故半径， 故点Q的轨迹长度为，C错误； D选项，因为M，N，P分别是棱，，的中点， 所以平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称， 不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值， 该球与平面切与点，与平面，平面，平面相切， 由对称性可知，球心在上，设球心为，则半径为， ，故，即，解得， 故球的半径的最大值为，D正确. 故选：ABD 【点睛】立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________ 【答案】18 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得结果. 【详解】当 当 当 当 和为 故答案为：18 13. 已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设关于直线的对称点为，求出，要使的值最大，转化为（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，利用该直线过两点可得答案. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，故， 则圆关于对称的圆的方程为， 要使的值最大， 则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线， 且该直线过两点，如图， 其最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数恰有两个零点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，求出的单调区间，由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得. 【详解】因为， 所以 令，则，令， 故当时，函数为增函数， 当时，函数为减函数， 即当时函数有最小值， 若，即时，此时函数在R上为增函数，与题意不符，且当时，的零点为1； 若，即时，此时函数与x轴有两个不同交点， 设交点为，且，即， 所以当或时，即，此时函数为增函数， 当时，即，此时函数为减函数， 依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，即或， 所以或， 所以，所以， 故答案为：. 【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法： 设 方法一：转化为函数与x轴交点个数问题，通过求解单调性构造不等式求解； 方法二：转化为函数的交点个数问题求解. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为. （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等体积法求得点到平面的距离； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 设点到平面的距离为， 则， 由题可知， 所以， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 取的中点，连接，因为， 又平面平面且交线为，平面，， 所以平面，由（1）知. 由题意可得， 所以，所以. 以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 依题意， 所以. 设平面的法向量为， 则，故可设， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为. （1）求C的方程； （2）已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） 证明：由题意可知直线的斜率不为0，否则将位于x轴同侧，，不合题意； 设的方程为（），代入， 得， 由，得， 设，，则，， 所以， ， 直线AM的方程为，令，得，故， 同理可求， 所以，， 由，得， 即，所以， 所以，解得，（舍）， 所以直线MN的方程为，故直线MN过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意列方程组求解的值，即得答案； （2）设的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合化简求值，可得t的值，即可证明结论. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为c，由题意得， 解得， 故C的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线过定点问题，解答此类题目的思路并不困难，设直线方程并联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合题意进行化简即可，难点在于计算过程比较复杂，且基本都是有关字母参数的计算，计算量较大，要十分细心. 17. 袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. （1）若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； （2）若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由超几何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案； （2）设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 由题意得的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； 【小问2详解】 设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”； 由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球， 所以，， 所以. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）函数有两个零点，求证：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） 证明：由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点， 由得，， ， 又， 令，则，猜想，下面证明： 要证明，即需证明， 令，则， 即在上单调递增，故， 故成立； ， ， 令，则，即， 令，则 在上单调递增， ， 故，使得， 即当时，，即成立， 此时，即有. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，结合一元二次方程的根，判断导数正负，即可得答案； （2）根据推出，结合换元，证明，继而构造函数，判断其单调性，结合零点存在定理推出，从而证明结论. 【小问1详解】 由题意知，定义域为， ， 若，令得， ， 故方程有两个实数根（舍）， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 若，则，故在上单调递增， 故当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考差了导数知识的综合应用，综合性强，计算量大；难点在于结合函数的零点证明不等式问题，解答时要根据推出，结合换元，证明，继而构造函数，判断其单调性，结合零点存在定理推出，从而证明结论. 19. 我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）． （1）若空间向量，求及； （2）对于空间向量．若，求证：，若，则； （3）若空间向量的坐标满足，当时，求证：． 【答案】（1），； （2） 依题意，，，则有， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以，，互不相同， 故，若，则； （3） 由，得，则有①， 由及①，可得， ， ， 以上各式相加，得. 由及①，当时，， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）由和的定义，求及； （2）由，有，又，所以，互不相同； （3）由已知有，则，通过累加法及证得结论. 【小问1详解】 由，知， 所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三考前第四次适应性考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A. B. C. D. 8. 若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ） A. 若的两条渐近线相互垂直，则 B. 若的离心率为，则的实轴长为 C. 若，则 D. 当变化时，周长的最小值为 10. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则 D. 若在区间上单调递减，则或 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 点Q的轨迹长度为 D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________ 13. 已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为______________. 14. 已知函数恰有两个零点，则______. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为. （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为. （1）求C的方程； （2）已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点. 17. 袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. （1）若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； （2）若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）函数有两个零点，求证：. 19. 我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）． （1）若空间向量，求及； （2）对于空间向量．若，求证：，若，则； （3）若空间向量的坐标满足，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $