微专题平面几何解决解析几何问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

微专题平面几何解决解析几何问题 一.前言 在高中数学,平几知识的渗透无处不在,特别是在立体几何和解析几何,平几知识以这两个题型为载体进行渗透,同样更为隐蔽,更为灵活地进行了考查. 不难发现,近几年解析几何试题的解题广度,难度发生很大的变化,除了解析几何具备的转化和计算难度外,还有一个最根本的原因就是平面几何的渗透和参与.平几知识急欲寻找搭载考查的平台,在解析几何题目中涉及平面几何知识甚多,可见命题人用心良苦. 二.举例 例1.已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为.若为直角三角形,则 图(1) 解析:如图(1)所示,由于渐近线方程为,,所以,因此,,故而. 简析:结合图形运用平几知识求解,充分挖掘题目隐含的角度关系和线段长度关系.解题过程十分简洁流畅,充分体现了平几的重要作用. 例2.已知,,是椭圆()的左右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为 图(2) 解析:如图(2)所示,由已知可得,,所以. 因此,解得. 简析:结合图形运用平几知识求解,抓住为等腰三角形,这个条件,得到,结合斜率公式求解. 例3.已知,是双曲线()的左右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为 图(3) 解析:如图(3)所示,由已知有,,,, .由得, 化简得,. 简析:由平几知识易知双曲线的焦点到渐近线的距离为,且垂足落在准线上.因此容易得到点,结合距离公式求解.与本题十分类似的有以下两道高考试题: 题1:已知曲线()的离心率为,过右焦点且垂直于的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为 图(4) 解析:如图(4)所示,作垂直于渐近线,则且.结合得双曲线的方程为. 题2:在平面直角坐标系中,若双曲线()的右焦点到一条渐近线的距离为,则离心率的值是 解析:由已知有,则 例4.已知点和抛物线:,过的焦点且斜率为的直线与交于两点.若,则 图(5) 解析:如图(5)所示,由已知有直线,是抛物线的切线,为切点弦.由于点,抛物线:,故直线方程为,即,所以. 简析:由平几知识结合抛物线的性质可知若直线过焦点,点在准线上且,则直线,是抛物线的切线. 例5.在平面直角坐标系中,为直线:上再等一象限内的点,,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点的横坐标为 图(6) 解析:如图(6)所示,由已知可得.设直线的倾斜角为,则且,故,因而直线方程为,与直线:联立得点的横坐标为3. 简析:结合图形运用平几知识可知为等腰直角三角形.观察图形发现直线的倾斜角与直线的倾斜角满足关系式,从而巧妙求出直线方程.本题充分运用平几知识,解题思路十分简洁,大道至简. 例6.已知椭圆(),双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆的离心率为______;双曲线的离心率为______. 图(7) 解析:如图(7)所示,由已知可得,故双曲线的离心率为.连接,易知.由得椭圆的离心率为. 简析:充分借助正六边形的几何性质,结合双曲线和椭圆的性质求解,大大提高解题速度,减少运算量. 例7.已知双曲线的右顶点为,以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若,则的离心率为 . 图(8) 解析:如图(8)所示,作,因为圆与双曲线的一条渐近线 交于两点,则为双曲线的渐近线上的点,且， ,而,所以,点到直线的 距离.在中，，代入计算得， 即,由得,所以. 简析:在图形的基础上,结合平几知识,不断进行转化,得到所要的结 论,充分挖掘图形中隐含的信息是解题的关键. 例8.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 图(9) 解析:如图(9)所示,不妨设点位于第一象限,设抛物线的准线与 轴交于点,作与点,与点,由抛物线的解析式可得 准线方程为,则,在直角梯形中,中位线 ,由抛物线的定义有,结合题意有 ,故． 简析:借助中位线的性质,充分运用平几知识,结合抛物线性质求解. 三.教学启示 学好平面几何对学生的逻辑推理能力,图形图像的分析能力等有重大帮助,而这种能力是学好后续课程的必要条件.高中数学关于几何的内容主要是立体几何和解析几何两个板块,对于同属于几何范畴的内容,平面几何的思想方法在高中立体几何与解析几何中都扮演着重要作用.有些立体几何,解析几何问题要么思维上迟迟打不开局面,要么运算量非常庞大且复杂,这时如果跳出原有思维,从平面几何的角度考虑,往往会给人一种柳暗花明的感觉.在平时的教学中,要注重对数学思想方法的运用,重心放在能力的培养上.思维高度,深度,广度决定着数学思维品质的高低,如果能用平面几何的角度去审视立体几何和解析几何题,将立体几何和解析几何题目中的平面几何本质挖掘出来,往往能够得到意想不到的效果. 学科网（北京）股份有限公司 $$