微专题之数形结合思想讲义-2024届高三数学二轮专题复习

微专题之数形结合思想 1、 数形结合思想与直观想象素养 数形结合是高中一个重要的数学思想方法.所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合在思想上互相沟通,在内容上互相对应,在方法上互相转换．美国著名数学家斯蒂恩说,如果一个数学问题可以转化为一个图形,那么思维整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法.笛卡尔所说,没有任何东西比几何图形更容易引入脑际了,因为用几何这种方式来表达事物是非常有益的. 直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括利用图形描述数学问题,建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.通过直观想象核心素养的培养,学生能够养成运用图形和空间想象思考问题的习惯,提升数形结合的能力,建立良好的数学直觉,理解事物本质和发展规律. 不难发现,数形结合是培养直观想象素养的一个重要载体.加强几何直观,重视图形在数学学习中的作用,激励学生借助直观进行思考.借助几何直观,揭示代数问题的性质和关系,是培养直观想象素养的重要组成部分. 高考试题从能力立意转向素养立意,试题经常在选填当中,以函数为载体考查直观想象素养.此类试题一般是给出一个含参函数,告知函数有零点或者方程有实根,求参数的取值范围.在解题中需要画出函数图像,数形结合,发挥直观想象能力,观察图像变化趋势,并借助函数与方程思想进行转化,从而顺利求解. 2、 应用举例 试题1:已知,函数,若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是 分析:由已知有直线与曲线图像有两个不同的交点.如图(1)所示,画出直线与曲线的图像,两者随着的变化而变化.数形结合,从图像分析变化趋势,可得,解得. 图(1) 试题2:已知,函数,当时,不等式的解集是_______.若函数恰有2个零点,则的取值范围是________. 分析:易知当时,不等式的解集为.画出曲线的图像,随着的变化而变化.数形结合,从图像分析变化趋势,如图(2),(3)所示,可得. 图(2) 图(3) 试题3:已知函数,设,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围是 分析:画出的图象. 图(4) 图(5) 当变化时,可以发现函数是以为顶点的V型函数,随着的增大,图象沿着轴向左平行移动.画出图像,数形结合,从图像分析变化趋势. 如图(4)所示,设直线与曲线相切于 则有.令,得,故,代入得. 如图(5)所示,设直线与曲线相切于 则有.令,得,故,代入得. 综上,要使在上恒成立,则. 试题4:已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是 图(6) 图(7) 分析:由于,所以函数为开口向上的二次函数,对称轴为,过点,,而且随着的增大,图象沿轴向左平行移动,开口不断变窄.函数的图象是在图象的基础上,向上平移个单位,过点,而且随着的增大,图象沿轴向上平行移动.画出图像,数形结合,从图像分析变化趋势,如图(6),(7)所示,察图像变化可得. 试题5: 设函数,(1)若,则的最大值是_______(2)若无最大值,则实数的取值范围是 解析:易知当时,的最大值为2.画出的图像,随着实数的变化而变化.数形结合,从图像分析变化趋势,如图(8)所示,观察图像的变化可知当时,无最大值. 图(8) 图(9) 试题6: 已知函数,其中.若存在实数,使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范是 分析:由已知有直线与曲线的图像有三个交点.画出的图像,数形结合,从图像分析变化趋势,如图(9)所示,观察图像变化趋势可得,解得. 3、 结束语 从上述几道试题的分析中不难发现,以含参函数为载体考查求参数取值范围的试题经常出现在选填试题中较为压轴的位置.此类试题往往给出一个动态的函数或者一个动态一个静态的函数,解题时需要充分借助数形结合思想,函数与方程思想进行转化,充分感知图形变化趋势,发挥直观想象能力,不断将未知转向已知,将抽象转向具体.数和形是高中数学知识中辩证统一的两个方面，在学习数学的过程中经常把这两个方面结合起来,使得对知识与方法的理解以及问题的解决过程变得既严谨又直观,既简洁又生动.数形结合,数形不分家,数形兼思，相互转化,互为补充,才能相得益彰.通过数形结合思想的运用,培养了学生对图形变化的感知与把控能力,提升了直观想象素养,能够较好地提高复习备考效益. 四.练习 练习1.已知函数,若存在实数,使函数两个零点,则的取值范围是 解析:函数两个零点等价于与的图像有两个交点. 图(10) 画出函数的图像,该图像随着的变化而变化.如图(10)所示,易知当时,不存在直线使得两者的图像有两个交点.因此符合题意的的取值范围是. 练习2: 已知,在区间上的最大值是,则的取值范围是 分析:显然当时,.画出图像,数形结合,从图像分析变化趋势. 图(11) 图(12) 当时,,,在上的最大值为.符合题意. 当时,,.由于,此时,不符合题意. 如图(11)所示,当时, .当时,,,符合题意. 如图(12)所示,当时, .当时,,,不符合题意. 综上,. 学科网（北京）股份有限公司 $$