北京市2023～2024学年九年级上学期期末试题数学分类——一元二次方程

2023~2024学年北京市初三第一学期期末数学分类——一元二次方程 参考答案与试题解析 一．整式的混合运算—化简求值（共3小题） 1．（2024•海淀区）已知2a2﹣3a+1＝0，求代数式（a﹣3）2+a（a+3）的值． 【分析】直接利用完全平方公式化简，再利用已知代入得出答案． 【解答】解：（a﹣3）2+a（a+3） ＝a2﹣6a+9+a2+3a ＝2a2﹣3a+9， ∵2a2﹣3a+1＝0， ∴2a2﹣3a＝﹣1， ∴原式＝﹣1+9 ＝8． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．（2023秋•燕山期末）已知x2﹣2x﹣5＝0，求代数式3x（x﹣2）+（x﹣1）2的值． 【分析】利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2﹣2x＝5代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：3x（x﹣2）+（x﹣1）2 ＝3x2﹣6x+x2﹣2x+1 ＝4x2﹣8x+1， ∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2﹣2x＝5， ∴当x2﹣2x＝5时，原式＝4（x2﹣2x）+1＝4×5+1＝20+1＝21． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2023秋•大兴区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣1）2+a（a﹣2）的值． 【分析】由a是方程 x2﹣2x﹣1＝0 的一个根，可得a2﹣2a＝1，把（a﹣1）2+a（a﹣2）化简变形再代入即可求得答案． 【解答】解：∵a是方程 x2﹣2x﹣1＝0 的一个根， ∴a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2﹣2a＝1， ∴（a﹣1）2+a（a﹣2） ＝a2﹣2a+1+a2﹣2a ＝2a2﹣4a+1， ＝2（a2﹣2a）+1 ＝2×1+1 ＝3． 【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 二．一元二次方程的定义（共2小题） 4．（2023秋•大兴区期末）若（a﹣3）x2﹣3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 　a≠3　． 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：∵方程（a﹣3）x2﹣3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程， ∴a﹣3≠0， 解得a≠3． 故答案为：a≠3． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 5．（2023秋•密云区期末）若关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程，则k的取值范围是 　k≠﹣3　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出k+3≠0，再求出k的范围即可． 【解答】解：∵关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程， ∴k+3≠0， ∴k≠﹣3． 故答案为：k≠﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出k+3≠0是解此题的关键． 三．一元二次方程的解（共3小题） 6．（2023秋•东城区期末）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15 【分析】直接把x＝3代入一元二次方程得到关于m的方程，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0， 解得m＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 7．（2024•海淀区）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3 【分析】把x＝1代入一元二次方程得到2+1﹣m＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程2x2+x﹣m＝0得2+1﹣m＝0， 解得m＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．（2023秋•大兴区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个根为1，则m的值为 　2　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1， ∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0， ∴1﹣3+m＝0， 解得，m＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题） 9．（2023秋•朝阳区期末）一元二次方程x2﹣9＝0的根为 　x1＝3，x2＝﹣3　． 【分析】利用直接开平方法求解即可得到答案． 【解答】解：x2﹣9＝0， x2＝9， ∴x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为：x1＝3，x2＝﹣3． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 10．（2023•西城区）一元二次方程x2﹣25＝0的解是 　x1＝5，x2＝﹣5　． 【分析】先移项，再开方，即可得出答案． 【解答】解：x2﹣25＝0， x2＝25， 开方得：x＝±5， 即x1＝5，x2＝﹣5， 故答案为：x1＝5，x2＝﹣5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键． 五．解一元二次方程-配方法（共4小题） 11．（2023秋•东城区期末）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 　10　． 【分析】方程配方得到结果，即可确定出n的值． 【解答】解：方程x2+6x﹣1＝0， 移项得：x2+6x＝1， 配方得：x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10， 则n＝10． 故答案为：10． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．（2023秋•密云区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝1时，将原方程配方成（x﹣2）2＝k的形式，则k的值为 　5　． 【分析】利用配方法把方程变形，进而求出k． 【解答】解：x2﹣4x＝1， 则x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5， ∴k＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式是解题的关键． 13．（2023秋•丰台区期末）解方程：x2﹣4x﹣1＝0． 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5， ∴x＝2±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣． 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 14．（2023秋•燕山期末）阅读下面的材料 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法． 以x2+10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下： ①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ②一方面大正方形的面积为（x+　5　）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+　5　）2＝39+　25　，则方程的正数解是x＝　3　． 根据上述材料，解答下列问题． （1）补全花拉子米的解法步骤②； （2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是 　①　（填序号）． 【分析】（1）根据已知算式和图形可得答案． （2）根据题意可得答案． 【解答】解：（1）一方面大正方形的面积为（x+5）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+5）2＝39+25，则方程的正数解是x＝3． 故答案为：5；5；25；3． （2）由题意可得，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是①． 故答案为：①． 【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 六．解一元二次方程-公式法（共3小题） 15．（2024•海淀区）解方程：x2+x＝1． 【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出方程的解． 【解答】解：x2+x＝1， 移项得：x2+x﹣1＝0， 这里a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∵b2﹣4ac＝1+4＝5＞0， ∴x＝， 则x1＝，x2＝． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时首先将方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，然后计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出解． 16．（2023秋•朝阳区期末）解方程x2﹣1＝6x． 【分析】利用公式法求解即可． 【解答】解：x2﹣1＝6x， x2﹣6x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣1）＝40＞0， ∴x＝＝3±， ∴x1＝3+，x2＝3﹣． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 17．（2023•西城区）解方程：x2﹣6x+3＝0． 【分析】找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：这里a＝1，b＝﹣6，c＝3， ∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣12＝24， ∴x＝＝3±， 则x1＝3+，x2＝3﹣． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，然后当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式可求出解． 七．解一元二次方程-因式分解法（共6小题） 18．（2023秋•丰台区期末）方程x2﹣x＝0的解为 　x1＝0，x2＝1　． 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程分解得：x（x﹣1）＝0， 所以x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 19．（2023秋•燕山期末）一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 　x1＝3，x2＝1　． 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：移项得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0，x﹣1＝0， x1＝3，x2＝1， 故答案为：x1＝3，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． 20．（2023秋•东城区期末）解方程：3x（x+1）﹣2（x+1）＝0． 【分析】将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【解答】解：（x+1）（3x﹣2）＝0， ∴x+1＝0或3x﹣2＝0． ∴x1＝﹣1，x2＝． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 21．（2023秋•燕山期末）解方程：x2+4x﹣12＝0． 【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0， 可得x﹣2＝0或x+6＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣6． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 22．（2023秋•大兴区期末）解方程：x2+8x＝9． 【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：x2+8x＝9， x2+8x﹣9＝0， （x+9）（x﹣1）＝0， x+9＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣9，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 23．（2023秋•密云区期末）解方程：x2+8x﹣20＝0． 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程分解得：（x﹣2）（x+10）＝0， 可得x﹣2＝0或x+10＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣10． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 八．根的判别式（共9小题） 24．（2023秋•丰台区期末）若一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A．2 B．±2 C．±8 D． 【分析】根据一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，得出Δ＝m2﹣4＝0，解关于m的方程，即可得出答案． 【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝m2﹣4＝0， 解得：m＝±2，故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝0时方程有两个相等的实数解，Δ＜0时，无实数解，Δ＞0时，有两个不相等的实数解． 25．（2023秋•大兴区期末）关于一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， ∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根． 26．（2023秋•密云区期末）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（　　） A．x+2＝0 B．x2﹣x＝0 C．x2﹣4＝0 D．x2+4＝0 【分析】先根据题意求出各方程的解，进而可得出结论． 【解答】解：A、∵x+2＝0，∴x＝﹣2，不符合题意； B、∵x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x1＝0，x2＝1，不符合题意； C、∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x1＝2，x2＝﹣2，符合题意； D、∵x2+4＝0，∴x2＝﹣4＜0，此方程无实数根，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的直接开方法是解题的关键． 27．（2024•海淀区）若关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，则整数a的值可以是 　4（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【分析】根据一元二次方程的定义得到a≠0，至少有一个整数根，则为完全平方数，即可求解． 【解答】解：由题意知，a≠0， ax2＝16， x2＝， ∵关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根， ∴为完全平方数， ∴a＝1或4或16， 故答案为：4（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查一元二次方程的整数根，得出为完全平方数是解题的关键． 28．（2023•西城区）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　9　． 【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根得Δ＝36﹣4c＝0，进行计算即可得． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝36﹣4c＝0， ∴c＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系． 29．（2024•海淀区）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根． （1）求n的取值范围； （2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于n的不等式，求出n的取值范围； （2）由题意可得n＝1，设该方程的根是a，2a，根据根与系数的关系列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣n）＝4m2﹣4m2+4n＞0， ∴n＞0； （2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0， ∴n＝1， ∴原方程为：x2﹣2mx+m2﹣1＝0， 设该方程的根是a，2a， ∴a+2a＝2m，a•2a＝m2﹣1， 解得a＝2，m＝3或a＝﹣2，m＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m的值为3． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 30．（2023秋•朝阳区期末）关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+3（m+1）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一根小于0，求m的取值范围． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝3，则根据题意得到m+1＜0，然后解不等式即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×3（m+1） ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：x＝， 解得x1＝m+1，x2＝3， ∴m+1＜0， 解得m＜﹣1， 即m的取值范围为m＜﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 31．（2023秋•燕山期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣2）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）由（1）的结论结合m为正整数可得出m的值，将其代入原方程后解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣2）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＞0， ∴4﹣4m+8＞0， ∴m＜3． （2）∵m为正整数，且m＜3， ∴m＝2， ∴原方程为x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x1＝0，x2＝2． 【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解出一元二次方程． 32．（2023秋•大兴区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取最大整数值时，求方程的根． 【分析】（1）根据根与系数的关系列不等式即可得到结论； （2）根据题意解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（2m﹣2） ＝1﹣8m+8 ＝9﹣8m， ∴9﹣8m≥0， ∴解得； （2）∵，m为最大整数， ∴m＝1， ∴x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． 九．根与系数的关系（共4小题） 33．（2023秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围． （2）利用根与系数的关系得到2m+1＝0，解关于m的方程即可求解． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴[﹣（2m+1]）2﹣4（m2﹣2）＞0， 解得：m＞﹣． ∴m的取值范围是m＞﹣． （2）根据题意得2m+1＝0， 解得m＝﹣， 故m的值为﹣． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式． 34．（2023秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【解答】（1）证明：a＝1，b＝m，c＝m﹣1， ∵Δ＝b2﹣4ac ＝m2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程两个实数根的和为3， ∴﹣m＝3， ∴m＝﹣3． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 35．（2023•西城区）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0， （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程的一根是另一根的2倍，求m的值． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝m2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）方程的一根为t，则另一根为2t，利用根与系数的关系得到t+2t＝m+2，t•2t＝m+1，先消去m得到2t2﹣3t＝﹣1，解方程求出t，然后计算对应的m的值即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m+1） ＝m2≥0， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的一根为t，则另一根为2t， 根据题意得t+2t＝m+2，t•2t＝m+1， ∴2t2﹣3t＝﹣1， 整理得2t2﹣3t+1＝0， 解得t1＝1，t2＝， 当t＝1时，1+2＝m+2，解得m＝1， 当t＝时，+1＝m+2，解得m＝﹣， 综上所述，m的值为﹣或1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．分类讨论是解决问题的关键． 36．（2023秋•密云区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0（m＜0）． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程的一个根为1，求m的值和方程的另一个根． 【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式判断即可； （2）把x＝1代入方程，求出m的值，再设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系求出x2的值即可． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根． ∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0中， a＝1，b＝﹣5，c＝m， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×m＝25﹣4m， ∵m＜0， ∴25﹣4m＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）∵1是方程的一个根， ∴12﹣5×1+m＝0， ∴m＝4； 设方程的另一个根为x2， ∵1+x2＝5， ∴x2＝4． ∴m＝4，方程的另一个根为4． 【点评】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键． 一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共5小题） 37．（2023秋•东城区期末）北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．7000（1+x）2＝8470 B．7000x2＝8470 C．7000（1+2x）＝8470 D．7000（1+x）3＝8470 【分析】利用第三周接待游客人数＝第一周接待游客人数×（1+这两个月的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得7000（1+x）2＝8470， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 38．（2023秋•燕山期末）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．3.5x2＝6.8 B．3.5（1+x）＝6.8 C．3.5（1+x）2＝6.8 D．3.5（1﹣x）2＝6.8 【分析】利用第三周的票房＝第一周的票房×（1+每周票房的增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：3.5（1+x）2＝6.8． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 39．（2023•西城区）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/平方公里•月下降至2022年的3.6吨/平方公里•月．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为（　　） A．3.6（1+2x）＝5.2 B．5.2（1﹣2x）＝3.6 C．3.6（1+x）2＝5.2 D．5.2（1﹣x）2＝3.6 【分析】设降尘量的年平均下降率为x，根据2022年的降尘量＝2020年的降尘量（1﹣下降的百分率）2，据此即可列方程求解． 【解答】解：根据题意得：5.2（1﹣x）2＝3.6， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解2022年的降尘量＝2020年的降尘量（1﹣下降的百分率）2，难度不大． 40．（2023秋•丰台区期末）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 　301（1+x）2＝500　． 【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x， 依题意得：301（1+x）2＝500． 故答案为：301（1+x）2＝500． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 41．（2023秋•大兴区期末）杭州亚运会的吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 　1200（1+x）2＝1452　． 【分析】利用该款吉祥物8月份的销售量＝该款吉祥物6月份的销售量×（1+该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：1200（1+x）2＝1452． 故答案为：1200（1+x）2＝1452． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十一．一元二次方程的应用（共1小题） 42．（2023秋•密云区期末）2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率． 【分析】设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为x，利用该市2023年进出口贸易总额＝该市2021年进出口贸易总额×（1+这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为x， 根据题意得：60000（1+x）2＝86400， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十二．正方形的性质（共1小题） 43．（2024•海淀区）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是 　　． 【分析】根据正方形的面积可得正方形ABCD的边长为5，再根据正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，可得AE＝5﹣a，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为25， ∴正方形ABCD的边长为5， 由题意得：DF＝a，AF＝5+a， ∵正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等， ∴2（AE+AF）＝5×4， ∴AE＝5﹣a， ∵矩形AEGF的面积为22， ∴AE•AF＝22，即（5﹣a）（5+a）＝22， 解得：a1＝，a2＝﹣， ∵a＞0， ∴a＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的解法等，是常考的基础题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/17 8:53:05；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年北京市初三第一学期期末数学分类——一元二次方程 一．已知方程，化简求值（共3小题） 1．（2024•海淀区）已知2a2﹣3a+1＝0，求代数式（a﹣3）2+a（a+3）的值． 2． （2023秋•燕山期末）已知x2﹣2x﹣5＝0，求代数式3x（x﹣2）+（x﹣1）2的值． 3． （2023秋•大兴区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣1）2+a（a﹣2）的值． 二．一元二次方程的定义（共2小题） 4．（2023秋•大兴区期末）若（a﹣3）x2﹣3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 　 　． 5．（2023秋•密云区期末）若关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程，则k的取值范围是 　 　． 三．一元二次方程的解（共3小题） 6．（2023秋•东城区期末）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15 7．（2024•海淀区）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3 8．（2023秋•大兴区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个根为1，则m的值为 　 　． 四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题） 9．（2023秋•朝阳区期末）一元二次方程x2﹣9＝0的根为 　 　． 10．（2023•西城区）一元二次方程x2﹣25＝0的解是 　 　． 五．解一元二次方程-配方法（共4小题） 11．（2023秋•东城区期末）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 　 　． 12．（2023秋•密云区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝1时，将原方程配方成（x﹣2）2＝k的形式，则k的值为 　 　． 13．（2023秋•丰台区期末）解方程：x2﹣4x﹣1＝0． 14．（2023秋•燕山期末）阅读下面的材料 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法． 以x2+10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下： ①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ②一方面大正方形的面积为（x+　 　）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+　 　）2＝39+　 　，则方程的正数解是x＝　 　． 根据上述材料，解答下列问题． （1）补全花拉子米的解法步骤②； （2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是 　 　（填序号）． 六．解一元二次方程-公式法（共3小题） 15．（2024•海淀区）解方程：x2+x＝1． 16． （2023秋•朝阳区期末）解方程x2﹣1＝6x． 17． （2023•西城区）解方程：x2﹣6x+3＝0． 七．解一元二次方程-因式分解法（共6小题） 18．（2023秋•丰台区期末）方程x2﹣x＝0的解为 　 　． 19．（2023秋•燕山期末）一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 　 　． 20．（2023秋•东城区期末）解方程：3x（x+1）﹣2（x+1）＝0． 21． （2023秋•燕山期末）解方程：x2+4x﹣12＝0． 22． （2023秋•大兴区期末）解方程：x2+8x＝9． 23． （2023秋•密云区期末）解方程：x2+8x﹣20＝0． 八．根的判别式（共9小题） 24．（2023秋•丰台区期末）若一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A．2 B．±2 C．±8 D． 25．（2023秋•大兴区期末）关于一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 26．（2023秋•密云区期末）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（　　） A．x+2＝0 B．x2﹣x＝0 C．x2﹣4＝0 D．x2+4＝0 27．（2024•海淀区）若关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，则整数a的值可以是 　 　（写出一个即可）． 28．（2023•西城区）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　 　． 29．（2024•海淀区）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根． （1）求n的取值范围； （2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值． 30．（2023秋•朝阳区期末）关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+3（m+1）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一根小于0，求m的取值范围． 31．（2023秋•燕山期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣2）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根． 32．（2023秋•大兴区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取最大整数值时，求方程的根． 九．根与系数的关系（共4小题） 33．（2023秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 34．（2023秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 35．（2023•西城区）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0， （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程的一根是另一根的2倍，求m的值． 36．（2023秋•密云区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0（m＜0）． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程的一个根为1，求m的值和方程的另一个根． 一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共5小题） 37．（2023秋•东城区期末）北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．7000（1+x）2＝8470 B．7000x2＝8470 C．7000（1+2x）＝8470 D．7000（1+x）3＝8470 38．（2023秋•北京期末）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．3.5x2＝6.8 B．3.5（1+x）＝6.8 C．3.5（1+x）2＝6.8 D．3.5（1﹣x）2＝6.8 39．（2023•西城区）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/平方公里•月下降至2022年的3.6吨/平方公里•月．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为（　　） A．3.6（1+2x）＝5.2 B．5.2（1﹣2x）＝3.6 C．3.6（1+x）2＝5.2 D．5.2（1﹣x）2＝3.6 40．（2023秋•丰台区期末）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 　 　． 41．（2023秋•大兴区期末）杭州亚运会的吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 　 　． 一十一．一元二次方程的应用（共2小题） 42． （2023秋•密云区期末）2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率． 43．（2024•海淀区）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是 　 　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$