抛物线专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学上学期一轮复习专题：抛物线 一、单选题 1．抛物线的焦准距是（    ） A． B． C．3 D．6 2．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线：，为上一点，，，当最小时，（    ） A． B． C． D．18 4．已知抛物线的焦点为，顶点为，上一点位于第二象限，若，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 5．已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列结论错误的是（    ） A． B．是的中点 C． D． 8．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 9．已知抛物线：的焦点在直线上，点在抛物线上，点在准线上，满足轴，，则（    ） A． B．直线的倾斜角为 C． D．点的横坐标为 10．抛物线：，是上的点，直线与交于两点，过的焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为1 C．为钝角 D．若，直线与的斜率之积为 11．如图，已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于两点（在轴的上方，在轴的下方），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（    ） A．若抛物线的焦点的坐标为，则 B．若，则直线的斜率为2 C．当时，若为等腰三角形，则的面积为 D．当时， 三、填空题 12．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 13．已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为 ． 14．若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为 . 四、解答题 15．在直角坐标系xOy中，点为抛物线（）上一点，点M、N为x轴正半轴（不含原点）上的两个动点，满足，直线PM、PN与抛物线C的另一个交点分别为点A、B. (1)求直线AB的斜率； (2)求面积的取值范围. 16．已知为抛物线上一点，点在圆上，两点间距离的最小值为． (1)求抛物线与圆的方程； (2)若点是抛物线上不同的三点，且点不与原点重合，直线均与圆相切且，求点的坐标． 17．已知为抛物线上的一点，为的焦点，为坐标原点． (1)求的面积； (2)若为上的两个动点，直线与的斜率之积恒等于，作，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 18．已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值. 19．已知抛物线的焦点为，点为上一点． (1)若点，求的最小值． (2)若过点作斜率为，的两条直线，，分别与交于点A，B（异于点P），并记的垂心为，是否存在实数，使得点始终在抛物线上？若存在，请求出该实数；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据抛物线标准方程求出即可得解. 【详解】化为标准方程为， 所以，， 即焦点与准线的距离为， 故选：A 2．A 【分析】先化抛物线方程为标准形式，再写出准线方程即可. 【详解】抛物线，即，所以抛物线的准线方程为. 故选：A 3．B 【分析】设，利用两点距离公得到关于的表达式，结合基本不等式确定点的坐标，从而得解. 【详解】依题意，设，则， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 综上，取最小值时，，则， 所以. 故选：B. 4．D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，结合焦半径公式与斜率公式计算即可得. 【详解】设，则有，， 则有，即， 故，故. 故选：D. 5．B 【分析】过点A作垂直准线于点D，作于点E，利用抛物线定义和性质求得，然后可得，进而得. 【详解】记准线与x轴的交点为H，过点A作垂直准线于点D，作于点E， 由题可知，，所以， 则，为锐角， 所以，所以. 故选：B 6．A 【分析】先求出抛物线方程，联立，结合韦达定理求得，的坐标，从而求得直线的方程，求出点到直线的距离， 表示出，利用换元，结合基本不等式从而可求答案. 【详解】点在抛物线上，把点代入中得，则， 所以抛物线为，直线， 与抛物线方程联立可得，，则，则，，则， 所以用替换可得，则， 则，故， 直线，即， 则点到直线的距离， ，， ， 而 ， 令，因为，所以， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用点线距及三角函数表示出目标式；二是利用换元法和基本不等式求解最值. 7．D 【分析】根据抛物线定义可得，由直线的斜率为可知为等边三角形，再利用三角形性质以及线段比例关系逐项判断可得出，即D错误. 【详解】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，准线交轴于点，如下图所示: 则，由直线的斜率为，得其倾斜角为， 轴，，由抛物线的定义得，则为等边三角形， ，则， ，得，A选项正确； 为的中点，B选项正确； ，，C选项正确； ， ，D选项错误． 故选：D． 8．D 【分析】根据抛物线定义可求出，根据三角形相似即可求出. 【详解】设,， 由，根据抛物线定义可得， 故， ， 过，分别作轴的垂线，过作轴的垂线，垂足为， 明显， 所以. 故选：D 9．AC 【分析】计算焦点的坐标，从而可得的值，判断选项A，再由已知条件分析可得为等边三角形，从而得，即可判断选项B，在，计算的值，即可得，判断选项C，利用点到准线的距离列式计算点的横坐标判断选项D. 【详解】依题意，可得点的坐标为，从而得，A正确； 因为点在准线上，轴，， 又，为等边三角形，， 如图，当点在第一象限，得， 即直线的倾斜角为， 若点在第四象限，同理可得直线的倾斜角为，B错误； 在中，，，C正确； 所以点的横坐标为，D错误. 故选：AC． 10．ACD 【分析】求得的最小值判断选项A；求得的最小值判断选项B；求得的范围判断选项C；求得直线与的斜率之积判断选项D. 【详解】选项A：设，所以，因为， 所以，A正确； 选项B：设，所以点轨迹为， 设，，， 又因为， 所以，B错误； 选项C：设， 又因为，所以， ，所以， ，又因为 所以为钝角，C正确， 选项D：设，因为，所以， 所以， 所以 所以， 又因为，所以， 即，即，D正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】根据焦点坐标判断A选项，根据图形特征及斜率判断B选项，联立方程后应用面积公式判断C选项，根据抛物线性质求出比值判断D选项. 【详解】对于选项，可得，有，故选项正确； 对于选项，由，可得，又由，有为的中位线，有， 可得点的横坐标为，代入抛物线的方程，求得点的纵坐标为，故直线的斜率为，故B选项错误； 对于选项，当为等腰三角形时，，直线的斜率为1，焦点的坐标为，直线的方程为， 联立方程，解得点的横坐标为，有，则的面积为，故C选项正确； 对于选项D，如图，过点作直线的垂线，垂足为，记， 当时，有，由抛物线的性质有，在中，， 有，可得，得，有，故选项正确. 故选：ACD. 12．/0.5 【分析】求出抛物线的焦点坐标及双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】抛物线，即的焦点为，双曲线的渐近线方程为， 所以点到直线的距离． 故答案为： 13．/ 【分析】先通过得到点位置，再通过得到线段长度，设，根据焦半径公式可得求出，根据可得面积. 【详解】如图，由，得，又因为为，的中点， 所以，即N为PF的三等分点，且， 又因为， 所以，且， 所以． 不妨设，且在第一象限，，，解得， 因为点在抛物线上， 所以， 所以△AMN的面积． 故答案为：. 14．/ 【分析】设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和基本不等式，可得所求最小值． 【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为， 设直线AB的方程为，由消去得， 显然，，而， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以则的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 15．(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件分析得到，由此得到的结果，再根据两点间斜率公式以及抛物线方程化简可得结果； （2）设出方程，联立与抛物线方程得到纵坐标的韦达定理形式，然后表示出和到直线的距离，最后利用导数求解出面积的取值范围. 【详解】（1）设，因为在抛物线上， 所以，所以，所以， 不妨设在的左边，过作垂直于轴交于点，如下图， 因为，所以， 因为， 所以， 所以直线的倾斜角互补， 所以， 显然不与关于轴的对称点重合，所以， 又因为，， 所以，所以，所以， 所以， 即直线的斜率为； （2）设， 联立可得， 所以， 且，所以， 若与重合，此时， 由上可知， 又， 且到直线的距离， 所以， 令， 所以， 所以在上单调递增，且， 所以的面积取值范围是，即为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法： （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（为内切圆半径）. 16．(1)抛物线的方程为，圆的方程为 (2) 【分析】（1）画出图形，结合三角形三边关系，两点间距离公式，点满足抛物线方程，可得两点间距离的最小值，注意取等条件，列方程即求得参数，进一步即可得解. （2）已知设过点的圆的切线的方程为 ，点D的坐标. 【详解】（1）设，则， 连接，因为圆的圆心为，半径为， 所以， ，当且仅当，即且为线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，圆的方程为． （2）设，根据条件知， （当时，过点与圆相切的两条直线中必有一条与轴垂直，则该切线与抛物线只有一个交点，不合题意）， 设过点的圆的切线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离为圆的半径2， 可得， 整理得 设直线的斜率分别为，则是方程的两根， 则． 联立得，消去，得， 解得或， 根据条件知． 连接，由，可知，所以， 因为 ， ， 所以，解得，经验证符合题意， 所以点的坐标为． 【点睛】关键点睛：关键是理解并学会转换抛物线和圆的方程及几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系等，考查考生的运算求解能力和对数学思想方法的灵活运用． 17．(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）将点代入抛物线方程解出，利用抛物线的标准方程求出点坐标，进而求三角形面积即可； （2）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，利用直线与的斜率之积恒等于结合韦达定理可得，则直线过定点，再根据可得点在以为直径的圆上，即可求定点. 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得，    所以，. （2）由（1）可知的方程为， 由题意可知直线不与轴平行，    设直线的方程为，则， 联立方程得整理可得， 则，且①，②， ，同理可得． 由题意得，即， 将①②代入可得，即， 故直线的方程可化为，即， 所以直线过定点， 因为于点，所以点在以为直径的圆上， 故存在的中点，即，使得为定值． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为,； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为, 形式； （5）代入韦达定理求解. 18．(1) (2) 【分析】（1）关键抛物线的定义可得，求出p即可求解； （2）设，将直线和直线BD，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示，，进而可得、，由中点坐标公式与斜率公式可得和，则，当时最大，由两角差的正切公式和换元法可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）抛物线的准线为， 由抛物线的定义知，，又，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）由（1）知，， 设， 则，设直线， 由可得， ， 则， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 由斜率公式可得，， 又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，需使最大，则，设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直线的关系后，设，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于难题. 19．(1)5； (2)存在，. 【分析】（1）求出抛物线方程，利用抛物线定义结合几何意义求解即得. （2）设点，联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标，代入抛物线，借助恒成立求解即得. 【详解】（1）依题意，，解得，于是抛物线的方程为， 过点分别作的准线的垂线，垂足分别为，得， 因此，当且仅当M，P，E三点共线时取等号， 所以的最小值为5.    （2）设，则直线的方程为， 由消去x得，， 设，则，即，同理， 由的垂心为，显然，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， ，即， 假设存在实数，使得点始终在抛物线上，即， 整理得，因此，而，解得得， 所以存在，使得点始终在抛物线上． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$