精品解析：2024年广东省廉江市良垌镇第三初级中学中考模拟数学试题（二）

2024年广东省湛江市廉江市良垌三中中考数学模拟试卷（二） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键； 根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解； 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： 故选：B． 3. 把不等式的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 把未知数系数化为得， 表示在数轴上如下： 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤． 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入关于的一元二次方程得： ， ， 故选：C 5. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的乘法、完全平方公式，根据二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的乘法的运算法则和完全平方公式逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解答的关键． 【详解】解：、与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 6. 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是( ) A. B. 函数图象分布在第二、四象限 C. 点在该反比例函数图象上 D. y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质进行逐一判断即可． 【详解】反比例函数的图像经过点， ，函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大 A.，说法正确，不符合题意； B.函数图象分布在第二、四象限，说法正确，不符合题意； C.点在该反比例函数图象上，说法正确，不符合题意； D. 在每个象限内y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，在函数增减性上必须要强调在每个象限内． 7. 估算的结果（ ） A. 在7和8之间 B. 在8和9之间 C. 在9和10之间 D. 在10和11之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴； 故选D． 8. 如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键． 在优弧上取一点D，连接，，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形性质即得． 【详解】在优弧上取一点D，连接，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB=65°，则∠CAE的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，结合已知条件DC∥AB，∠CAB=65°，可得，再由三角形的内角和定理可知，即可得出． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵DC∥AB，∠CAB=65°， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，综合性较强，但难度不大，解此题的关键是利用旋转的性质得出． 10. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于，则下列结论： ①  ②  ③  ④ 其中正确的结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由OA=OC 可得到C点坐标为（0，c），A点坐标为（-c，0），把它们代入解析式解得ac-b+1=0，即可判断②；由ac-b+1=0，得出b=ac+1<1，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点在第一象限， ∴， ∴，所以①正确； ∵OA=OC， ∴C点的坐标为（0，c），A点的坐标为（-c，0）， 代入得， ∴ac-b+1=0，所以②正确； ∵ac-b+1=0， ∴ac=b-1，b=ac+1<1， ∴， 设A（x1,0）,B（x2，0）， ∵AB=|x1-x2|=， ∴S△ABC=×AB×yM=× ×=1， ∴×=2， ∴，所以③正确； ∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点， ∴x1，x2是方程的两根， ∴x1，x2=， ∴OA⋅OB=，所以④正确； 故答案为A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数与一元二次方程的联系． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 2024的绝对值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身是解题的关键． 根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：2024的绝对值是， 故答案为：． 12. 因式分解：a2b﹣25b＝_____． 【答案】b（a﹣5）（a+5） 【解析】 【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式 分解因式即可． 【详解】解：a2b﹣25b＝b（a2﹣25）＝b（a﹣5）（a+5）， 故答案为：b（a﹣5）（a+5）． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 13. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限． 【答案】四． 【解析】 【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． ∴，， ∴点在第四象限． 故答案为四． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．连接，首先证明是等边三角形，得出，，再证明，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则， ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，根据零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解： 由②得：③， 得：④， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 故原方程组的解是： 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 第届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于年月日至月日在成都举行，某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了（非常关注）、（比较关注）、（很少关注）、（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）学校将在选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1）； （2）甲、乙同时被选中的概率为． 【解析】 【分析】（）用的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数； （）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； 本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． 【小问1详解】 解：（名）， ∴本次调查共抽取了名学生， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有种等可能性的结果数，其中甲、乙同时被选中的结果数有种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 21. 某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）该校此次最多可购买20个B品牌篮球 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 【小问2详解】 设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 22. 如图，、是函数图象上的两点． （1）求的值； （2）点在函数图象上，且，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，是否存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半？说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半，理由如下： 由（）知反比例函数为， ∵点在函数图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形， ∴矩形的面积是， 设存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半， 设点，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形则，， 解得，或，， ∴或， ∴存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半． 【解析】 【分析】（）将代入即可得的值； （）点在函数 的图象上，可得矩形的面积是，设存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半，设点，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，则，，由此即可解答； 本题主要考查了反比例函数的性质，待定系数法等，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 将、代入得，， 解得：， 即的值； 【小问2详解】 略 23. 如图，△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与BC相交于点D．与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝3AE，AH⊥AB交BC于H，求tan∠AHB的值． 【答案】（1）证明：连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠OBD＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF，点D在⊙O上， ∴DF是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根据切线的判定得出即可； （2）由AC＝3AE可得AB＝AC＝3AE，EC＝4AE；连接BE，由AB是直径可知∠AEB＝90°，根据勾股定理求出BE，解直角三角形即可求出答案． 【详解】解：(1)略 （2）连接BE， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∵AB＝AC，AC＝3AE， ∴AB＝3AE，CE＝4AE，∠ABC＝∠C， ∴BE＝＝2AE， 在Rt△BEC中，tan∠C＝＝． ∴tan， ∵AH⊥AB， ∴∠BAH＝90°， 设AH＝a，AB＝2a， ∴tan∠AHB＝＝＝． 【点睛】本题考查了圆的切线判定和解直角三角形，解题关键是熟练运用圆的相关知识和解直角三角形知识解决问题． 24. 如图，P为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点E，过P作分别交，于M，N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F与点C关于直线对称，连接并延长交直线于点G，连接． ①设的度数为x，求的度数； ②猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：作于点，交于点， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， ②，证明如下： 连接、， 由对称性可知，，， 为等腰直角三角形， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作于点，交于点，得到四边形为矩形，利用矩形性质，正方形性质，三角形内角和定理证明，即可得到； （2）①利用正方形性质得到，利用对称的性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理进而可得，再利用三角形外角性质即可得到的度数； ②连接、，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得到，利用正方形性质和勾股定理得到，证明，利用相似三角形性质得到，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， 四边形为正方形， ，， ， 点F与点C关于直线对称， ，， ， ， ． ②略 【点睛】本题考查正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． 25. 综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、，现将沿x轴向右平移至，线段与线段交于点E，与抛物线交于点F． （1）求出抛物线和直线的函数表达式； （2）当线段的长度最大时，求此时点F的坐标； （3）如图2，连接，将沿着翻折，得到，是否存在某一时刻，使得点恰好在抛物线上，若存在，请直接写出此时平移的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式即可解题； （2）过点F作轴交于点，设点F的横坐标为，则纵坐标为，点G的坐标为，即，过点E作于点H，则，配方找到最大值即可解题； （3）设平移的距离为n，则，根据翻折可得，即可得到点的坐标为，代入函数关系式即可解题． 【小问1详解】 解：把、代入得： ，解得， ∴， 令，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，则 ，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点F作轴交于点， 设点F的横坐标为，则纵坐标为，点G的坐标为， 则， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴轴， ∴， 过点E作于点H， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大，这时点的坐标为； 【小问3详解】 如图，设平移的距离为n，则， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在上， 即， 解得或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式，二次函数的图象和性质，翻折的性质，解直角三角形，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省湛江市廉江市良垌三中中考数学模拟试卷（二） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 把不等式的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 5. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是( ) A. B. 函数图象分布在第二、四象限 C. 点在该反比例函数图象上 D. y随x的增大而增大 7. 估算的结果（ ） A. 在7和8之间 B. 在8和9之间 C. 在9和10之间 D. 在10和11之间 8. 如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB=65°，则∠CAE的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 10. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于，则下列结论： ①  ②  ③  ④ 其中正确的结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 2024的绝对值是________． 12. 因式分解：a2b﹣25b＝_____． 13. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限． 15. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为__________________． 16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 第届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于年月日至月日在成都举行，某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了（非常关注）、（比较关注）、（很少关注）、（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）学校将在选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 21. 某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 22. 如图，、是函数图象上的两点． （1）求的值； （2）点在函数图象上，且，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，是否存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半？说明理由． 23. 如图，△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与BC相交于点D．与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝3AE，AH⊥AB交BC于H，求tan∠AHB的值． 24. 如图，P为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点E，过P作分别交，于M，N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F与点C关于直线对称，连接并延长交直线于点G，连接． ①设的度数为x，求的度数； ②猜想与之间的数量关系，并证明． 25. 综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、，现将沿x轴向右平移至，线段与线段交于点E，与抛物线交于点F． （1）求出抛物线和直线的函数表达式； （2）当线段的长度最大时，求此时点F的坐标； （3）如图2，连接，将沿着翻折，得到，是否存在某一时刻，使得点恰好在抛物线上，若存在，请直接写出此时平移的距离；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $