精品解析：黑龙江省鹤岗市萝北县高级中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题

萝北县高级中学2024-2025学年开学考试（8月） 高二上学期（数学） 一、单选题（每题5分，40分） 1. 一艘海盗船从C处以30km/h的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C点北偏东20°距离为30km的A处有一海警船，沿着南偏东10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为（ ） A 30km/h B. 40km/h C. 50km/h D. 30km/h 2. 函数的零点是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 规定投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少两次投中8环以上为优秀,现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1,用0表示该次投标未在8环以上,用1表示该次投标在8环以上；再以每三个随机数作为一组,代表一轮的结果,经随机模拟实验产生了如下20组随机数： １０１ １１１ ０１１ １０１ ０１０ １００ １００ ０１１ １１１ １１０ ０００ ０１１ ０１０ ００１ １１１ ０１１ １００ ０００ １０１ １０１ 据此估计,该选手投掷飞镖三轮,至少有一轮可以拿到优秀的概率为( ) A. B. C. D. 4. 已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根，则（ ） A. -12 B. -8 C. -4 D. 4 5. 在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若关于x的方程恰有4个不等实根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（ ）个． ①； ②若当时，，则函数在单调递增； ③对，； ④若，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每题6分，18分） 9. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中A影响音的响度和音长，影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉．平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是．则下列说法正确的有（ ） A. 是偶函数； B. 的最小正周期可能为； C. 若声音甲的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度大； D. 若声音乙的函数近似为，则声音乙一定比纯音低沉． 10. 牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中.则经过分钟后物体的温度将满足，其中为正常数.现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却，正确的结论是（ ） A B. 若，则 C. 若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降 D. 红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少 11. 已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，15分） 12. 若，则使的角的取值范围是________. 13. 已知复数，满足，，则的值为______. 14. 法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为_________． 四、解答题（77分） 15. 已知函数，0˂ω˂4，且． （1）求ω的值及函数的单调递增区间； （2）求函数在区间的最小值和最大值． 16. 已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示： 若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数； （2）设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产： 方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元； 方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元； 请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案． 17. 已知函数，. （1）当时，求解集； （2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数（且）． （1）求的定义域； （2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； （3）是否存在实数a，使得当定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后矩形为，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 萝北县高级中学2024-2025学年开学考试（8月） 高二上学期（数学） 一、单选题（每题5分，40分） 1. 一艘海盗船从C处以30km/h的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C点北偏东20°距离为30km的A处有一海警船，沿着南偏东10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为（ ） A. 30km/h B. 40km/h C. 50km/h D. 30km/h 【答案】D 【解析】 【分析】 作出图形，分析查处ABC是等腰三角形，从而得=30，时间易得． 【详解】如图，设在B处两船相遇，则由题意得，，则ABC等腰三角形，则=30，所以海盗船需1小时到B处，则海警船1小时至少航行km， 故选：D． 2. 函数的零点是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简函数，再求的根即得结果. 【详解】依题意，令得，，解得，. 故选：A. 3. 规定投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少两次投中8环以上为优秀,现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1,用0表示该次投标未在8环以上,用1表示该次投标在8环以上；再以每三个随机数作为一组,代表一轮的结果,经随机模拟实验产生了如下20组随机数： １０１ １１１ ０１１ １０１ ０１０ １００ １００ ０１１ １１１ １１０ ０００ ０１１ ０１０ ００１ １１１ ０１１ １００ ０００ １０１ １０１ 据此估计,该选手投掷飞镖三轮,至少有一轮可以拿到优秀的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出投掷飞镖一轮能拿优秀的概率，即可计算投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率. 【详解】总的事件有20个，其中3次中至少两次投中的事件有：101，111，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101共12个， 故投掷飞镖一轮能拿优秀的概率为， 则投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型的概率求解，解题的关键是先列出所有事件，求出投掷飞镖一轮能拿优秀的概率. 4. 已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根，则（ ） A. -12 B. -8 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意可得最小正周期为，再画出简图，结合函数的对称性求解即可 【详解】，故函数的最小正周期为．又因为函数是奇函数，且在区间上是增函数，所以可以粗略画出简图，不妨设，由图象可知，，所以． 故选：B 5. 在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用圆锥侧面积公式以及母线、底面半径和高的关系得到方程组即可解出圆锥底面半径，再利用圆柱侧面积公式即可求圆柱的高，最后再根据相关体积公式即可得到答案. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为， 因为圆锥的侧面积为，所以，即. 因为，所以联立解得（负舍）. 因为圆柱的侧面积为，所以，即，解得， 所以该毡帐的体积为. 故选：A. 6. 已知函数，若关于x的方程恰有4个不等实根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析当时，的单调性，进而作出的图像，令，，问题转化为方程必有两个不等的实数根，设为，，结合图像可得，，解得的取值范围． 【详解】解：当时，， ， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以时，， 时，， 作出的图像如下： 令，， 所以方程必有两个不等的实数根，设为，， 结合图像可得，要有四个不等实数根，只需 方程有三个实数解，则， 方程有一个实数解，则，， 所以，即， 所以， 故选：． 【点睛】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想和转化思想的应用． 7. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】有二次函数最多两个零点，讨论在区间分别取4、5、6个零点时的的取值范围；再讨论在区间分别取0、1、2个零点时的的取值范围，最后进行组合即可. 【详解】⸪函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点 ⸫当时，至少有四个跟， 令，则 解出，⸪，⸫，即， 当时： ①若有4个零点，此时，即； ②若有5个零点，此时，即； ③若有6个零点，此时，即； 当时：， 令，解得 ①若，没有零点；②若，，有1个零点； ③若，，且对称轴 当时，即，有2个零点； 当时，即，有1个零点 综上所述，函数区间内恰有6个零点需要满足 或或 解得 故选:A 【点睛】思路点睛： 三角函数的零点个数判断：以本题余弦函数为例，三角函数作为周期函数，在有限范围内的零点取值个数取决于中的取值个数. 二函数的零点个数判断：主要根据二次函数中的取值范围确定，若在有限范围内，还需要用对称轴做辅助判断零点是否在范围中. 8. 已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（ ）个． ①； ②若当时，，则函数在单调递增； ③对，； ④若，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①利用赋值法，令即可得证，所以①正确. ②根据题意，取，，所以，所以②正确. ③时由①可得③成立；当时，由②得，利用累加法得，因此，所以，所以③正确． ④令，， ，因为，所以得，所以由③，利用等比数列的求和公式，得，所以④错误． 【详解】令有，令有. 所以①正确. ，因为，所以， 所以，又因为，且当时，， 所以. 所以②正确. 当时由①可得③成立； 当时，由②得，所以， 所以……， 累加得，即 ，所以，所以③正确． 令，，由①得，又因为，所以， 由③得，所以， 所以 ，所以④错误． 故选：C 二、多选题（每题6分，18分） 9. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中A影响音的响度和音长，影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉．平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是．则下列说法正确的有（ ） A. 是偶函数； B. 的最小正周期可能为； C. 若声音甲的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度大； D. 若声音乙的函数近似为，则声音乙一定比纯音低沉． 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据奇函数的定义判断，可知A错误；对于B，根据函数周期性的定义，可知B错误；对于C，比较振幅的大小，可知C正确；对于D，求出频率，比较大小，可知D正确. 【详解】对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误； 对于B，因为 ，故B错误； 对于C，因为，所以声音甲的振幅大于，而纯音的振幅等于，所以声音甲的响度一定比纯音响度大，故C正确； 对于D，因为的最小正周期为，的最小正周期为，所以 的最小正周期为，频率为，的频率为，，所以声音甲一定比纯音更低沉．故D正确. 故选：CD 10. 牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中.则经过分钟后物体的温度将满足，其中为正常数.现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却，正确的结论是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降 D. 红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题知，进而根据导数的几何意义，导数运算等依次讨论各选项求解即可. 【详解】解:由题知， 对于A选项，因为为正常数，所以，故A选项正确； 对于B选项，若，即，所以，则，故B选项错误； 对于C选项，表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C选项正确； 对于D选项，令，则，故是定义域内的单调递增函数， 由于，所以随着时间的增加，下降速度再减小，由于， 故当下降温度相同的时候，下降所需时间相对增加，故红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少， 故D选项正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据值域分析能取得最小值，最大值能取到0，利用正弦函数的性质即可得出范围，从而得出答案． 【详解】函数的定义域为，值域为， 故能取得最小值，最大值能取到0． 当时，，； 当时，，． 所以，BC符合要求. 故选：BC. 三、填空题（每题5分，15分） 12. 若，则使的角的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象可得答案. 【详解】作出的图象，根据图象和三角函数的性质可得出在内满足条件的角的取值范围. 故答案为：. 13. 已知复数，满足，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据已知条件和复数模的概念即可计算﹒ 【详解】设，，则， ，则， 即，即， ∴， ∵， ∴﹒ 故答案为：﹒ 14. 法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得PB的值,在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径. 【详解】由已知，所以. 在中，，故. 在中，由正弦定理（*） 而， 代入（*）式得. 在中，利用余弦定理， 在中，利用正弦定理 则的外接圆直径长为 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查三角形的内角和定理、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想，属于较难题． 四、解答题（77分） 15. 已知函数，0˂ω˂4，且． （1）求ω的值及函数的单调递增区间； （2）求函数在区间的最小值和最大值． 【答案】（1），， （2）最小值－1；最大值2． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简可得，再由可得，再根据正弦函数单调性可得答案； （2）根据的范围和正弦函数值域可得答案． 【小问1详解】 ， 由知， 则，或，， 所以，或，， 又，则，所以， 令，，则，，则函数的单调递增区为，； 【小问2详解】 由（1）知，，则， 当，即时，函数有最小值－1； 当，即时，函数有最大值2． 16. 已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示： 若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数； （2）设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产： 方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元； 方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元； 请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案． 【答案】（1） （2），应选择方案二 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，即可求解频率，进而可求解， （2）分别计算两种方案的费用，即可比较作答. 【小问1详解】 临界值时，I级品中该指标大于60的频率为， II级品中该指标大于60的频率为0.1 故该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个II级品中应用于型手机的芯片个数估计为： 【小问2详解】 当临界值时，若采用方案一： I级品中该指标小于或等于临界值的概率为， 可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误； II级品中该指标大于临界值的概率为， 可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误； 故可以估计芯片生产商的损失费用 又采用方案二需要检测费用共130万元 故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二 17. 已知函数，. （1）当时，求的解集； （2）若对任意，存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）当时，不等式化简为，解不等式； （2）不等式等价于，转化为求两个函数的最小值，求参数的取值范围. 【详解】解：（1）当时，不等式即：， ，故原不等式的解集为 （2）对任意的，存在，不等式成立当， 当时，单调递增， 又函数的对称轴为，当时： ①若，即，则， 即，此时 ②若，即，则， 即，此时 综上可得实数的取值范围为 【点睛】本题重点考查根据双变量不等式恒成立求参数取值范围问题，意在考查分类讨论的思想和计算能力，属于中档题型，一般对任意的，存在，使不等式成立，即转化为. 18. 已知函数（且）． （1）求的定义域； （2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； （3）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解； （2）根据题意分析可知在上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解； （3）根据定义域和值域可得，且，结合单调性分析可知有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解. 【小问1详解】 由，得或． 所以的定义域为． 【小问2详解】 令，可知在上为增函数， 可得，且，可知的值域为， 因为，则在定义域内为减函数，可得， 所以函数在上的值域为， 又因为函数在有且只有一个零点， 即在上有且只有一个解， 所以b的范围是． 【小问3详解】 存在，理由如下： 假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，值域为， 由且，可得，且． 令，可知在上为增函数， 因为，则在定义域内为减函数， 所以在上为减函数， 可得， 可知在上有两个互异实根，可得， 即有两个大于1相异实数根． 则，解得， 所以实数a的取值范围. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 （1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 19. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大值 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，先证四边形是平行四边形，即可. (2)要证线线垂直，先证线面垂直，先证平面即可. (3) 设,四面体的体积为,即可求最值. 【小问1详解】 证明：∵四边形，都是矩形， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∴，∵平面，∴平面； 【小问2详解】 证明：连接，设，∵平面平面，且， ∴平面，∴， 又，∴四边形为正方形，∴， ∴平面，又平面，∴， 【小问3详解】 解：设，则，其中， 由（1）得平面， ∴四面体的体积为： ， 时，四面体的体积最大，其最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$