精品解析：2024年黑龙江省牡丹江市实验中学中考模拟数学试题

2024年牡丹江市实验中学学业水平测试卷 数 学 试 卷 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题12个小题，每小题3分，满分36分） 1. 下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. a2•a3=a6 B. （a2）3=a5 C. （﹣2a2b）3=﹣8a6b3 D. （2a+1）2=4a2+2a+1 3. 如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（　　） A. 5或6 B. 5或7 C. 4或5或6 D. 5或6或7 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 有一组数据有唯一众数，且众数与中位数相等，则a的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4 6. 如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为（ ） A. 60π B. 70π C. 80π D. 90π 9. 抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 我国航天科技公布2023年第三季度报告，7月～9月营业收入1637000000亿元．将数据1637000000用科学记数法表示为________________． 14. 如图，点，在上，，，请添加一个条件_____，使． 15. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____． 16. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 17. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 18. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________． 19. 如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________． 20. 如图，在正方形中，对角线和相交于点O，点E、点F 分别在和上，，连接交于点N，连接和交于点M， 则下列结论中：①；② ；③连接，；④；⑤ ．其中正确的是_______________．（只填序号） 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 23. 在等边中，，以为边向外作等腰，请画出图形，并直接写出的面积． 24. 为了提升老年人的网络安全意识，普及网络安全防范知识．幸福社区开展了对老年人在互联网上“上当受骗后的应对方式”进行了随机抽样问卷调查（参与调查的老年人必选且只选一类），调查结果共分成四个类别：表示“不寻求帮助”， 表示“向子女求助”，表示“向朋友求助”，表示“报警求助”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图如图所示，请根据统计图，解答下列问题： （1）参加这次问卷调查的老年人共____人； （2）扇形统计图中，部分的扇形所对的圆心角是____，并补全条形统计图； （3）如果幸福社区约有800名老年人，估计类的老年人有多少人？ （4）为了老年人远离网络诈骗，幸福社区又开展了老年人网络安全专项宣传教育活动，从5名社区志愿者（其中3名男生和2名女生）中抽调2人参加“老年人防范网络诈骗”的普法知识义务宣讲，则被抽调的2名志愿者中恰好是1名男生和1名女生的概率是多少？ 25. 一条高速公路上依次有、、三地，甲车由地匀速驶往地，到达地后调头（调头的时间忽略不计）再按原路原速驶往地，乙车由地驶往地，两车同时出发．两车距、两地中点的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）甲车的速度是_____千米／时,在图中的( )内填上正确的数； （2）求甲车由地到中点地的过程中的与之间的函数关系式,并直接写出自变量取值范围； （3）两车出发多少小时，相距500km？请直接写出答案． 26. 在菱形中，点、点分别在边、所在直线上，分别连接、，且满足． （1）若，点在线段上时，如图1，求证：；（提示：过点M作交直线于点F） （2）若，点在线段延长线上时，如图2；若，点M在线段反向延长线上时，如图3；直接写出线段间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，，，则_________． 27. 冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： （1）这两种雪地胎每个进价多少元？ （2）若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ （3）在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，线段的长是一元二次方程的两根，，直线与相交于点E，且． （1）求A、C的坐标； （2）若反比例函数图象的一支经过点E，求k的值； （3）若点M在坐标轴上，在平面内是否存在点N，使以D、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点N的个数，并直接写出位于第一象限内点N的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年牡丹江市实验中学学业水平测试卷 数 学 试 卷 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题12个小题，每小题3分，满分36分） 1. 下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴不符合题意； ∵是轴对称图形，不是中心对称图形 ∴不符合题意； ∵不是轴对称图形，是中心对称图形 ∴符合题意； ∵是轴对称图形，不是中心对称图形 ∴不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（　　） A. a2•a3=a6 B. （a2）3=a5 C. （﹣2a2b）3=﹣8a6b3 D. （2a+1）2=4a2+2a+1 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：a2•a3=a5，故选项A错误； 选项B：（a2）3=a6，故选项B错误； 选项C：（﹣2a2b）3=﹣8a6b3，故选项C正确； 选项D：（2a+1）2=4a2+4a+1，故选项D错误． 故选C． 【点睛】本题考查幂的运算；完全平方公式． 3. 如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（　　） A. 5或6 B. 5或7 C. 4或5或6 D. 5或6或7 【答案】D 【解析】 【详解】结合俯视图和左视图可画出三种立方体组合图形，前一排有3个立方体，后一排左侧有1个立方体，前一排的上面可以摆放1个或2个或3个立方体， 所以立方体的个数为5或6或7个， 故选：D． 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质和分式的意义，解题的关键是掌握二次根式的性质和分式的意义．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故选：C． 5. 有一组数据有唯一众数，且众数与中位数相等，则a的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据中位数和众数求未知数的值，根据众数的定义得到a一定是2，3，5，6中的某一个数，再分别讨论a的值根据中位数的定义结合中位数和众数相等求解即可． 【详解】解：∵一组数据有唯一众数， ∴a一定是2，3，5，6中的某一个数， ∴当a的值为2或3时，这种数据的中位数3；当a的值为5或6时，这组数据的中位数为5， ∵众数与中位数相等， ∴a的值为3或5， 故选：C 6. 如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 连接，根据平行线的性质求出根据圆周角定理得到进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可. 【详解】解：如图, 连接, ， ， ∵是的直径, ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故选: . 7. 在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴两点在第二象限的角平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， 当绕原点O顺时针旋转时，如图： 过点作轴，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 当绕原点O逆时针旋转时，如图： 同法可得：，， ∴； 故选C． 8. 已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为（ ） A. 60π B. 70π C. 80π D. 90π 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据公式计算圆锥的侧面展开图的面积即可； 本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图面积公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的高为，母线长为 圆锥的底面圆的半径为， 圆锥的侧面展开图的面积 故选：A． 9. 抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键． 本题现将点代入，得到和的关系，于是解析式变为：，令，由于，于是，解方程即可． 【详解】把点代入得，， ∴解析式变为：， 令，由于， ∴， 解得：，， 此抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 故选：． 10. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解． 【详解】方程两边同时乘以，得， 解得， 关于x的分式方程的解是正数， ，且， 即且， 且， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 11. 如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积、平行四边形的性质，熟练掌握k值几何意义是关键． 设与x轴交于点，连接，根据，， 且，可得 ，再利用，，继而求出值． 【详解】解：设与x轴交于点，连接， ∵ ， ， 且， ， 又∵， ， ， 反比例函数在第二象限， . 故选：B. 12. 抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可． 【详解】解：抛物线开口向下 把，代入得 ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③正确；； ④若方程有两个不相等的实数根， 即 ，故④正确，即正确结论的个数是4， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本题8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 我国航天科技公布2023年第三季度报告，7月～9月营业收入1637000000亿元．将数据1637000000用科学记数法表示为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：数据1637000000用科学记数法可以表示为． 故答案为：． 14. 如图，点，在上，，，请添加一个条件_____，使． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形的判定，根据直角三角形的判定方法解答即可，关键是根据证明解答． 【详解】解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可． 【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示： ∵CB与相切于点B， ∴， ∴， ∴四边形ACBD为矩形， ∴，， 设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：， 即r2＝（r−6）2＋82， 解得：， 即的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键． 16. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 【答案】30% 【解析】 【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户， 依题意得100（1+x）2=169， 解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去）， ∴x=0.3=30%， 故答案为：30%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 18. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可． 【详解】解：连接OA， ①当D点与O点重合时，∠CAD为90°， 设圆的半径=r， ∴OA=r，OC=4-r， ∵AC=2， 在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2， 解得：r=， 即AD=AO=； ②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AO•AC=OC•AD， ∴AD=， ∵AO=，AC=2，OC=4-r=， ∴AD=， 综上所述，AD的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键． 20. 如图，在正方形中，对角线和相交于点O，点E、点F 分别在和上，，连接交于点N，连接和交于点M， 则下列结论中：①；② ；③连接，；④；⑤ ．其中正确的是_______________．（只填序号） 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了四边形综合应用，正方形性质、三角形全等、三角形相似、等腰直角三角形等知识点的应用是本题的解题关键. 证明 得到再证明得到，根据同角的余角相等即可证明①正确；由为等腰直角三角形，得出 再由，得出验证②错误；由利用勾股定理即可验证③正确； 证明得到再通过等式性质整理，可验证④正确； 根据④中结论，代入得到，可得到⑤正确. 【详解】∵四边形为正方形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵四边形为正方形， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 故①正确; ∵, ， ， ， ，故②错误； 如图， 在中， 在中， ， 而在中， 在中， ， ，故③正确； ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 即 ， ∵, ∴， ， ∵, 故④正确； ∴， ， ， ， ，故⑤正确; 故答案为: ①③④⑤. 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 【详解】解： ． 当时，原式． 22. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式． （2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵B（2，-3）， ∴BC//x轴， ∴到线段的距离为1，， ∴， ∴， 设，由题意可知点P在直线BC上方， 则， 整理得，， 解得，或， ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 在等边中，，以为边向外作等腰，请画出图形，并直接写出的面积． 【答案】如图1中，当，时，面积为； 如图2中，当，时，面积为； 如图3中，当，时，面积为． 【解析】 【分析】分三种情形：①；②；③，分别画出图形求解． 【详解】解：①如图1中，当，时． 过点作于点，过点作交的延长线一点，过点作交的延长线于点． 是等边三角形， ， ， ，，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的面积； ②如图2中，当，时， 过点作交的延长线于点．则， 的面积； ③如图3中，当，时，设，交于点． ，， 垂直平分线段， ，， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 24. 为了提升老年人的网络安全意识，普及网络安全防范知识．幸福社区开展了对老年人在互联网上“上当受骗后的应对方式”进行了随机抽样问卷调查（参与调查的老年人必选且只选一类），调查结果共分成四个类别：表示“不寻求帮助”， 表示“向子女求助”，表示“向朋友求助”，表示“报警求助”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图如图所示，请根据统计图，解答下列问题： （1）参加这次问卷调查的老年人共____人； （2）扇形统计图中，部分的扇形所对的圆心角是____，并补全条形统计图； （3）如果幸福社区约有800名老年人，估计类的老年人有多少人？ （4）为了老年人远离网络诈骗，幸福社区又开展了老年人网络安全专项宣传教育活动，从5名社区志愿者（其中3名男生和2名女生）中抽调2人参加“老年人防范网络诈骗”的普法知识义务宣讲，则被抽调的2名志愿者中恰好是1名男生和1名女生的概率是多少？ 【答案】（1）40人 （2） ， 补全条形统计图如下： （3）估计类的老年人约有480人 （4） 【解析】 【分析】（1）将组人数除以组所占百分比即可求出参加这次问卷调查的老年人数； （2）先求出组人数，再把条形统计图补充完整即可；将组所占比乘以即可求出部分的扇形所对的圆心角的度数； （3）用样本估计总体列式计算即可； （4）利用列表法或画树状图法即可求出所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率. 本题考查条形统计图，扇形统计图，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取数据，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键. 【小问1详解】 解：参加这次问卷调查的老年人共有（人）； 【小问2详解】 ∵部分的人数为（人）， ∴扇形统计图中，部分的扇形所对的圆心角的度数为．图略； 【小问3详解】 估计类的老年人约有（人）； 答：估计类的老年人约有480人． 【小问4详解】 画树状图如下： 共有20种等可能结果，恰好抽调的是1名男生和1名女生的共有12种情况， ∴恰好抽调的是1名男生和1名女生的概率为． 25. 一条高速公路上依次有、、三地，甲车由地匀速驶往地，到达地后调头（调头的时间忽略不计）再按原路原速驶往地，乙车由地驶往地，两车同时出发．两车距、两地中点的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）甲车的速度是_____千米／时,在图中的( )内填上正确的数； （2）求甲车由地到中点地的过程中的与之间的函数关系式,并直接写出自变量取值范围； （3）两车出发多少小时，相距500km？请直接写出答案． 【答案】（1）100， （2） （3），， 【解析】 【分析】本题是一次函数的应用，考查了待定系数法，一元一次方程，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由题意可得，到中点的距离为300千米，，之间的距离为120千米，可求甲车的速度； （2）利用待定系数法可求解析式； （3）分三种情况讨论，由相距km，列出方程可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，，到中点的距离为300千米，，之间的距离为（千米）， 甲车的速度是（千米时）， （小时）， 图中的括号内应填的数为4.2； 故答案为：100，4.2； 【小问2详解】 解：（小时） ∴甲车到中点时用时1.2小时 设所求解析式为， 将和代入中，得， 解得， 所求解析式为； 【小问3详解】 解：由题意可得：乙的速度为（千米时）， 当甲车由地匀速驶往地时， 两车相距， ， 解得：； 当甲车从到点，且没有相遇时， 两车相距km， ， 解得：； 当甲车到达点时，， （小时）， ； 答：两车出发，，小时，相距km． 26. 在菱形中，点、点分别在边、所在直线上，分别连接、，且满足． （1）若，点在线段上时，如图1，求证：；（提示：过点M作交直线于点F） （2）若，点在线段延长线上时，如图2；若，点M在线段反向延长线上时，如图3；直接写出线段间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，，，则_________． 【答案】（1） 证明：过点作交直线于点， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）图②的结论：；图③的结论： （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作交直线于点，证明是等腰直角三角形，得，再证明，得，根据线段的和差即可解决问题； （2）同（1）的方法，分图②和图③两种情况讨论即可； （3）如图②，过点作于点，根据菱形的面积求出，再结合（1）（2）的结论代入值即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）解：图②的结论：，理由如下： 如图②，过点作交延长线于点， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 图③的结论：，理由如下： 过点作交直线于点， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图②，过点作于点， 四边形是菱形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，； ， ； 如图①，同理由， ， ， ，， ， ； 如图③同理， ， ，不符合题意舍去． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的面积，解决本题的关键是得到． 27. 冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： （1）这两种雪地胎每个进价多少元？ （2）若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ （3）在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【答案】（1）品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元 （2）共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； （3）． 【解析】 【分析】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解； （）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元； 【小问2详解】 解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个， 由题意得， 解得， ∵每辆车一次换个雪地胎， ∴为的倍数， ∴或或， ∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； 【小问3详解】 解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工， 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为， 答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，线段的长是一元二次方程的两根，，直线与相交于点E，且． （1）求A、C的坐标； （2）若反比例函数图象的一支经过点E，求k的值； （3）若点M在坐标轴上，在平面内是否存在点N，使以D、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点N的个数，并直接写出位于第一象限内点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）k=3 （3）存在，满足条件的点N的个数有6个， 位于第一象限内点N的坐标为： 【解析】 【分析】（1）由，解得：或6，即可求解； （2）证明，得到，求出点的坐标是，即可求解； （3）当为对角线时， 各共有3个点，点在以为直径的圆上，当点在x轴上时，设点，由得到点的坐标为：，由中点坐标公式得，点的坐标为：；当点在y轴上时，则点轴，则点，同理可得，点；当为边时，各共有3个点，即可求解. 【小问1详解】 解：由， 解得：或6， ∵， ， ； 【小问2详解】 解：过点作轴，交于点， ， ∵x轴⊥y轴， ， ∵， ， ， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ； ∵， ， ， ， ， ， ∵， 点是的中点， 点的坐标是， ； 【小问3详解】 解：存在，满足条件的点的个数有6个， 当为对角线时，各共有3个点，点在以为直径的圆上，如下图： 当点在x轴上时，设点， 设的中点为． 由得：， 解得：或1， 即点的坐标为：， 由中点坐标公式得，点的坐标为：； 当点在y轴上时， 则点轴，则点，同理可得，点； 综上，点； 当为边时，各共有3个点，如下图： 综上：满足条件的点的个数有6个，位于第一象限内点N的坐标为：． 【点睛】本题为反比例函数综合运用，涉及到圆的基本性质、矩形的基本性质，全等三角形判定与性质等，采用数形结合和分类讨论的方法是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $