精品解析：广东省普宁二中实验学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

2023—2024学年第一学期 普宁市二实学校 第一次月考 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设全集是，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，且(为虚数单位)，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若,则 B. 若,则 C. 若，则 D. 若,则 7. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中真命题是 （ ） A. 函数是奇函数 B. ，， C. 函数是偶函数 D. ，， 10. 已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 方程在区间内有个根 12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，EP//平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面CEP时， 第II卷（非选择题） 三、填空题 13. 已知且，则的最小值是__________． 14. 在平行六面体中，°，则=___________． 15. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则___________. 16. 如图所示，过正方形的顶点A作平面，若，则二面角的大小为______；平面和平面所成角的大小为______． 四、解答题 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点，交于点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数图象的两相邻对称轴间的距离为. （1）求的值； （2）求函数的单调减区间； （3）若对任意都有，求实数m的取值范围. 19. 2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数； （2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 20. 在中，角、、的对边分别为，，，已知. （1）若，求的值； （2）若，且，求的面积. 21. 三棱柱中，侧面是矩形，，. （1）求证：面面ABC； （2）若，，，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由. 22. 已知函数，若同时满足以下条件： ①在D上单调递减或单调递增； ②存在区间，使在 上的值域是，那么称 为闭函数． （1）求闭函数符合条件②的区间 ； （2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间；若不是请说明理由； （3）若是闭函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第一学期 普宁市二实学校 第一次月考 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设全集是，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，从而利用集合的交集运算即可得解. 【详解】由得，解得，所以， 又，所以. 故选：B. 2. 已知为实数，且(为虚数单位)，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得，进而得解. 【详解】 由题意知，解得，所以 故选：A 3. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为， 所以， 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故选：B 【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题 4. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 5. 如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可. 【详解】解：由题意可得： . 故选：A. 6. 设是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若,则 B. 若,则 C. 若，则 D. 若,则 【答案】D 【解析】 【分析】 逐一分析，能够寻找出反例的是错误的，能够证明的，一定是正确的. 【详解】解：选项A：若,则。很明显当时，故不成立； 选项B：若,则。当与不共面时，与不可能平行，故不成立； 选项C：若，则。设，若，，则可以得到，得不到，故不成立； 选项D： 若,则。因为，则在中存在一条直线，故，又因为，则可以得到。故，故选：D. 【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面、面面的判定与性质定理等进行判断. 7. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点. 可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系， 则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以, 又点F距平面的距离为1，所以, 的最小值为. 故选：D 8. 已知正方体的棱长为为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，根据二面角的空间向量坐标公式表达平面与平面和平面所成的角，再化简结合的取值范围求解即可. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为3， 则，，，设，则，， 由正方体的性质可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量， 设平面的法向量，则，即， 取，则，，故， 又平面与平面和平面所成的角相等，故，即， 故，即，. ①当，即时，因为，所以， 又，则，，此时. ②当，即时，因为，所以， 又，故， 此时， 故当时取最小值. 综上的最小值为. 故选：A 二、多选题 9. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中真命题是 （ ） A. 函数是奇函数 B. ，， C. 函数是偶函数 D. ，， 【答案】BCD 【解析】 【分析】取为有理数计算判断A；取计算判断B；求出，再利用奇偶性定义判断C；按是有理数、无理数计算判断D. 【详解】对于A，若是有理数，则也是有理数，则，因此不是奇函数，A错误； 对于B，当时，， ，此时，B正确； 对于C，若是有理数，则；若是无理数，， 于是，又，则，因此， 所以函数是偶函数，正确； 对于D，若是有理数，，则均是有理数，则； 若是无理数，，则均是无理数，则， 因此，D正确. 故选：BCD 10. 已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出，，，再根据事件的互斥性等性质判断各选项的正确性. 【详解】A.， 对于事件， ①当第一次摸到非黑球时，， ②当第一次摸到黑球时，， ，则，故A正确； B.，， ，故B错误； C.，故C正确； D.，，故，故D正确. 故答案为：ACD. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 方程在区间内有个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象最值点可求得最小正周期，知A正确；代入可求得B错误；利用代入检验法，结合正弦函数单调性可知C正确；根据正弦函数的函数值可确定方程根的个数，知D正确. 【详解】对于A，由图象知：的最小正周期，A正确； 对于B，由A知：，， ，解得：， 又，，B错误； 对于C，由AB可知：， 当时，，在上单调递减，C正确； 对于D，当时，， 则当或或或，即或或或时，， 在区间内有个根，D正确. 故选：ACD. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，EP//平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面CEP时， 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，则点， 对于A，，，，而， 显然，即是平面的一个法向量， 而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误； 对于B，，则， 因此当时，取得最小值，B正确； 对于C，， 于是，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取的中点，连接，如图， 因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，平面，平面，则平面， 即有，而，所以，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 第II卷（非选择题） 三、填空题 13. 已知且，则的最小值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为8. 故答案为：8. 14. 在平行六面体中，°，则=___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，得到，即可求出. 【详解】在平行六面体中，. 因为，所以. 所以 . 故答案为： 15. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，，由余弦定理可得答案. 【详解】由题意为等边三角形，则,所以 根据条件与全等，所以 在中， 所以 故答案为： 16. 如图所示，过正方形的顶点A作平面，若，则二面角的大小为______；平面和平面所成角的大小为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】构建以A为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，设正方形边长为a，确定的坐标，应用坐标表示向量，可求面、面、面的法向量，，，根据法向量夹角与二面角关系，应用向量数量积坐标公式，求二面角的余弦值，进而确定大小. 【详解】构建以A为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示： 由为正方形，平面且，若正方形边长为a，则：， 即， 令为面的法向量，则，若，即， 令为面的法向量，则，若，即， ∴，结合图形可知：二面角为钝角，其大小为. 对于面显然有一个法向量为， ∴，而面和面所成角为锐角，其大小为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：空间直角坐标系，坐标表示相关平面中线段所表示的向量，确定二面角各半平面的法向量，进而求其余弦值，即可求二面角的大小. 四、解答题 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点，交于点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为为三棱柱，所以平面是平行四边形， 又交于点，所以是的中点， 又为的中点，所以， 又平面， 又平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理以及线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，分别找到两个平面的法向量，并计算法向量夹角的余弦值，再得到两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 而平面， 故，， 又，所以、、两两互相维直， 所以以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，所以， 不妨令，则. 设平面的一个法向量为， 则，所以， 不妨令，则. 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数图象的两相邻对称轴间的距离为. （1）求的值； （2）求函数的单调减区间； （3）若对任意都有，求实数m的取值范围. 【答案】（1）1； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用给定条件求出的值作答. （2）利用正弦函数的单调性求出单调减区间作答. （3）求出函数在的最值作答. 【小问1详解】 依题意，， 由函数图象的两相邻对称轴间的距离为，得函数的最小正周期为，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，解得， 所以函数的单调减区间是. 【小问3详解】 函数，，则， 于是当，即时，，当，即时，， 任意，，依题意，， 所以实数m的取值范围是. 19. 2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数； （2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求得众数，中位数，平均数. （2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 故中位数位于之间，中位数是， 平均数为：. 【小问2详解】 ∵与的党员人数的比值为， 采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人， 设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，， 则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为： ，，，，，，，，，，共10个样本点， 这2人中至少有1人成绩低于76分的有： ，，，，，，，共7个样本点， 故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 20. 在中，角、、的对边分别为，，，已知. （1）若，求的值； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）若，由正弦定理角化边可得，结合及预习定理即可求解； （2）一方面：由，结合三角函数平方关系可以求出，结合三角形面积公式可知只需求出即可； 另一方面：由（1）中分析可知，所以由余弦定理并结合，，即可求出；结合以上两方面即可求解. 【小问1详解】 若，所以由正弦定理可得， 又因为，所以， 由余弦定理可知. 【小问2详解】 一方面：由题意，且， 所以解得，由可知只需求出即可； 另一方面：由（1）中分析可知，又因为，， 且由余弦定理有， 所以有， 整理得，解得或； 结合以上两方面有：的面积为或. 21. 三棱柱中，侧面是矩形，，. （1）求证：面面ABC； （2）若，，，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：， 侧面是菱形， ，又，， 平面，平面， ， 因为侧面是矩形，所以， 又， 平面，又平面, . （2）存在点P满足条件，此时（即P是AC中点时）. 【解析】 【分析】（1）由题，根据平面与平面垂直的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以C为坐标原点，射线、为x、y轴的正向，平面上过C且垂直于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由条件，，，设， 由（1），面，所以，面的法向量为. 设面的法向量为， 由，即， 可设， ∴， ∴，得， 即，得，（舍），即， 所以，存在点P满足条件，此时（即P是中点时）. 22. 已知函数，若同时满足以下条件： ①在D上单调递减或单调递增； ②存在区间，使在 上的值域是，那么称 为闭函数． （1）求闭函数符合条件②的区间 ； （2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间；若不是请说明理由； （3）若是闭函数，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）不是，理由为： ∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增 假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则，即 ∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点 故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数 （3） 【解析】 【分析】（1）由在R上单减，列出方程组，即可求的值； （2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知 即，结合对数函数的单调性可判断 （3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组 有解，方程至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围 【小问1详解】 ∵在R上单减，所以区间[a，b]满足， 解得a=﹣1，b=1 【小问2详解】 略 【小问3详解】 易知在[﹣2，+∞）上单调递增． 设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程至少有两个不同的解 即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根． ∴ 得，即所求． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数与方程的交点相互转化关系，合理转化为二次函数的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了函数知识及数形结合思想的应用，以及转化思想的应用，试题有较强的综合性，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $