精品解析：湖南省怀化市麻阳县两校2022-2023学年九年级下学期期中数学联考试题

2022-2023学年下学期期中检测数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示∶ 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 如果°C表示零上10度，则零下8度表示（ ） A. B. C. D. 2. 沙坪坝融创雪世界是重庆人的玩雪胜地，总建筑面积为25000平方米．其中数据25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 《义务教育课程标准2022年版》中首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出了明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，7，3，3，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A 3，3 B. 3，4 C. 4，4 D. 4，5 8. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则BC弧的度数为（　　） A. 66° B. 48° C. 33° D. 24° 9. 如图，在中，，，于点，于点，交于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 10. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．若点A（m+1，1﹣2m）的“3阶派生点”在第四象限，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣4 B. m＜﹣4 C. m D. m 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 的相反数是________________________。 12. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，则在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是___________． 13. 方程解是________． 14. 如图，ABC被撕去了一角，经测量得∠A=68°，∠B=21°，则ABC ___________三角形.（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 15. 若方程有两个相等的实数根，则_____， 两个根分别为____________． 16. 若点是反比例函数的图象上一点，当时，则________． 17. 如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为__________m.（计算结果保留整数，参考数据：） 18. 如图，在正方形中，点E在上，将沿折叠，点A的对应点落在正方形内部的点G处，连接并延长交于点F，若点F是的中点，，则的长是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A．B．C．D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）该课题研究小组共抽查了_____名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B级所占的百分比___，D级所在小扇形的圆心角的大小为______； （2）请直接补全条形统计图； （3）若该校九年级共有600名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）的人数 22. 盘锦某旅行社组织旅行活动，去我市红海滩旅行，报名的人数有40人，其中成人人数比儿童人数的2倍少5人．（列二元一次方程组或一元一次不等式解答） （1）参加报名的儿童和成人各有多少人？ （2）旅行社为吸引游客，打算给每个游客准备一顶帽子．购买时，成人每顶帽子打八折优惠，儿童每顶帽子40元，打五折优惠，旅行社预算不超过1200元，请问每顶成人帽子的价格最高是多少元？ 23. 如图，中，连接，取中点O，过点O作直线，分别交于点E，F． （1）求证：； （2）连接，试说明四边形是平行四边形． 24. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）作轴于点，为抛物线上位于点，之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点的坐标． 26. 已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D． （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年下学期期中检测数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示∶ 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 如果°C表示零上10度，则零下8度表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“负数是与正数互为相反意义的量”即可得出答案． 【详解】解：因为°C表示零上10度， 所以零下8度表示“”． 故选B 【点睛】本题考查正负数的意义，属于基础题，解题的关键在于理解负数的意义． 2. 沙坪坝融创雪世界是重庆人的玩雪胜地，总建筑面积为25000平方米．其中数据25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：25000=． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的计算，积的乘方，同底数幂相乘，完全平方公式．根据题干逐一对选项进行求解即可得到本题答案． 【详解】解：∵不是同类项无法进行计算，故A选项不正确； ∵，故B选项不正确； ∵，故C选项正确； ∵，故D选项不正确， 故选：C． 4. 如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为从正面看得到的图形是主视图， 所以该几何体从正面看第一层两个小正方形，第二层右边一个三角形， 故选B． 5. 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理作答． 【详解】解：∵多边形外角和， ∴这个正多边形的边数是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 7. 《义务教育课程标准2022年版》中首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出了明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，7，3，3，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，3 B. 3，4 C. 4，4 D. 4，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵3出现的次数最多， ∴众数为， 把这组数据按从小到大顺序排列为，，，，，，，位于中间的数据为，故中位数为， 故答案为：B． 8. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则BC弧的度数为（　　） A. 66° B. 48° C. 33° D. 24° 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC，根据圆周角定理求得∠BOC，得到答案． 【详解】连接OC， ∵∠A=24°， ∴∠BOC=2∠A=48°， ∴BC弧的度数为48°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 9. 如图，在中，，，于点，于点，交于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键，由题意得，，根据角度关系可得，进一步判定，得出，进一步得出即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．若点A（m+1，1﹣2m）的“3阶派生点”在第四象限，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣4 B. m＜﹣4 C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新定义求出点A的“3阶派生点”的坐标，再根据第四象限内点的坐标的特征列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据新定义，点A（m+1，1﹣2m）的“3阶派生点”的横坐标为：，纵坐标为：， 由该点在第四象限，可得， 解不等式组得：， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义运算，第四象限内点的坐标的特征，解不等式组等知识点，正确理解题目中“a阶派生点”的定义是解题的关键． 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 的相反数是________________________。 【答案】-2 【解析】 【分析】先化简，再根据相反数的定义解答即可. 【详解】∵－(－2)=2，2的相反数是－2， ∴－(－2)的相反数是－2. 【点睛】本题考查相反数的定义，明确多重符号的化简方法及相反数的定义是解题的关键. 12. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，则在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率相关知识点，A,B两点之间为串联电路，能正常通过必须满足两个电子元件均正常工作． 【详解】一个电子元件正常工作概率为 按题目分析可知两个原件同时正常工作的概率为： 【点睛】此类型题目必须深刻理解题意，结合题目具体背景，将不同情况进行拆分，分别考虑其概率，最后再综合考虑． 13. 方程解是________． 【答案】 . 【解析】 【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验得到分式方程的解. 【详解】去分母得：， 解得:， 经检验是的根， 所以，原方程的解是：. 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 14. 如图，ABC被撕去了一角，经测量得∠A=68°，∠B=21°，则ABC是 ___________三角形.（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【解析】 【分析】由三角形内角和定理求出∠C=91°＞90°，即可得出结论． 【详解】解：由三角形内角和定理得： ∠C=180°∠A∠B=180°68°21°=91°＞90°， ∴ABC是钝角三角形； 故答案为：钝角． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及钝角三角形的定义；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 15. 若方程有两个相等的实数根，则_____， 两个根分别为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系．根据一元二次方程有两个相等的实数根可判断其根的判别式，即可求出m的值，再根据一元二次方程根与系数关系，结合即可解答． 【详解】解：根据题意得：，即， ， 设这两个根为，则， 这两个根相等， ， ． 故答案为：； 16. 若点是反比例函数的图象上一点，当时，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入求出其解析式，进而可得出结论． 【详解】解：将代入， 得， 反比例函数的解析式为：， 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 17. 如图1，位于市区“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为__________m.（计算结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ 解得， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键． 18. 如图，在正方形中，点E在上，将沿折叠，点A的对应点落在正方形内部的点G处，连接并延长交于点F，若点F是的中点，，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件证明，求出，再证明，根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：设与的交点为O，如图所示， 由翻折可得：，， ∴是等腰三角形，O是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点F是的中点，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形几何问题，灵活运用所学知识是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】-3 【解析】 【分析】分别进行零指数幂、绝对值的化简、立方根、特殊角的三角函数值等运算，然后合并． 【详解】解： =1-2+-2-2× =1-2+-2- =-3． 【点睛】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，再将x代入计算即可． 【详解】解： = = = 将代入， 原式==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 21. 某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A．B．C．D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）该课题研究小组共抽查了_____名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B级所占的百分比___，D级所在小扇形的圆心角的大小为______； （2）请直接补全条形统计图； （3）若该校九年级共有600名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）的人数 【答案】（1）80，40%，18°．（2）见解析；（3）570人． 【解析】 【分析】（1）根据A组人数及其百分比可得抽查总人数，将B级人数除以总人数可得其百分比，用D等级人数占被抽查人数的比例乘以360°即可； （2）总人数减去A、B、D三等级人数可得C等级人数，补全条形图即可； （3）用样本中C等级及其以上（即A、B、C三等级）人数占被抽查人数的比例乘以总人数600可得． 【详解】解：（1）课题研究小组共抽查学生：20÷25%=80（名），b=×100%=40%， D级所在小扇形的圆心角的大小为×360°=18°； 故答案为：80，40%，18． （2）C等级人数为：80-20-32-4=24（名），补全条形统计图如图： （3）（人）， 答：估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）的约有570人． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22. 盘锦某旅行社组织旅行活动，去我市红海滩旅行，报名的人数有40人，其中成人人数比儿童人数的2倍少5人．（列二元一次方程组或一元一次不等式解答） （1）参加报名的儿童和成人各有多少人？ （2）旅行社为吸引游客，打算给每个游客准备一顶帽子．购买时，成人每顶帽子打八折优惠，儿童每顶帽子40元，打五折优惠，旅行社预算不超过1200元，请问每顶成人帽子的价格最高是多少元？ 【答案】（1）报名的儿童有人，成人有人； （2）每顶成人帽子的价格最高是元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）设报名的儿童有人，成人有人，根据题意列二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每顶成人帽子的价格是元，根据题意列不等式，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设报名的儿童有人，成人有人， 根据题意得， 解得， 答：报名的儿童有人，成人有人； 【小问2详解】 解：设每顶成人帽子价格是元， 根据题意得， 解得， 答：每顶成人帽子的价格最高是元． 23. 如图，在中，连接，取中点O，过点O作直线，分别交于点E，F． （1）求证：； （2）连接，试说明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由平行四边形性质得，则，而，，即可证明，得； （2）由，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”说明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵O为中点， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 如图：连接， 由（1）得， ， ∴四边形是平行四边形． 24. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，的坡度为，， ∴， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：设， 在中，， ∴． 在中，由，，， 则． ∴． 即的长为． 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）作轴于点，为抛物线上位于点，之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标得出抛物线对称轴为直线，继而得出点的坐标为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意经过的中点，待定系数法求得直线解析式，进而联立抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是抛物线的顶点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∵点，在抛物线图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ∵恰好平分的面积， ∴经过的中点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为， ∵直线：与抛物线交于点，， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，直线与抛物线的交点问题，中点坐标公式，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 26. 已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D． （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可； （2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可． 【详解】证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△CAE与△ABD中 ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴AE＝BD； （2）连接AH ∵AB＝AC，BH＝CH， ∴∠BAH＝，∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD， ∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD， ∴∠EAH＝∠DBH， 在△AEH与△BDH中 ∴△AEH≌△BDH（SAS）， ∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD， ∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90° 即∠EHD＝90°， ∴∠EDH＝∠DEH＝； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T． ∵DG⊥FH，ER⊥FH， ∴∠DGH＝∠ERH＝90°， ∴∠HDG+∠DHG＝90° ∵∠DHE＝90°， ∴∠EHR+∠DHG＝90°， ∴∠HDG＝∠HER 在△DHG与△HER中 ∴△DHG≌△HER （AAS）， ∴HG＝ER， ∵ET∥BC， ∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET， ∠ETF＝∠FHM， ∵∠EHB＝∠BHG， ∴∠HET＝∠ETF， ∴HE＝HT， 在△EFT与△MFH中 ， ∴△EFT≌△MFH（AAS）， ∴HF＝FT， ∴， ∴ER＝MS， ∴HG＝ER＝MS， 设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k， ， k＝， ∴FH=， ∴HE＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $