2023年湖北省黄冈市自主招生考试数学模拟试题（六）

2023春季自主招生考试优录精典 优录模拟训练数学试题（六） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ） A. 16的4次方根是2 B. 32的5次方根是 C. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大 2. 如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 12 6. 如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，则图中a的值为__． 10. 如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______． 11. 如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）． 12. 对于任意实数，抛物线与轴都有公共点．则的取值范围是_______． 13. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元． 14. 两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________． 15. 如图，是的中线，点在上，延长交于点．若，则______． 16. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________． 三、解答题（共72分） 17. 已知二次函数的图像经过两点． （1）求b的值． （2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________． （3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围． 18. 已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 20. 某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园．按设计要求，使点O，P，M，N分别在边，，，上，且满足，，，米，米，米，米．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖?若存在，求四边形面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由． 21. 已知：在正方形的边上任取一点，连接，一条与垂直的直线（垂足为点）沿方向，从点开始向下平移，交边于点． （1）当直线经过正方形的顶点时，如图1所示．求证：； （2）当直线经过的中点时，与对角线交于点，连接，如图2所示．求的度数； （3）直线继续向下平移，当点恰好落在对角线上时，交边于点，如图3所示．设，求与之间的关系式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． （1）若，求抛物线对应的函数表达式； （2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标； （3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）．点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2023春季自主招生考试优录精典 优录模拟训练数学试题（六） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、填空题（每小题3分，共24分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】1264 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（共72分） 【17题答案】 【答案】（1）；（2）1；（3）或． 【18题答案】 【答案】（1），；（2）存在，或． 【19题答案】 【答案】（1）证明：如图，取的中点M，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【20题答案】 【答案】存在，面积最小值为平方米，此时点N到点A的距离为米 【21题答案】 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵AF⊥ED， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）；（3） 【22题答案】 【答案】（1） （2） （3）以为顶点的四边形成为矩形时，以为矩形的对角线时点，；以为矩形的边时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $