专题3.8 代数式（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.8 代数式（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】整式的相关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【要点提示】（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数；（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 【要点提示】（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 【要点提示】（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4． 整式：单项式和多项式统称为整式． 【知识点2】整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 【要点提示】辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 【要点提示】合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】代数式书写方法及代数式的值 【例1】（22-23七年级上·浙江·期中）（1）已知的值为3，求的值． （2）已知当时，代数式的值为18，求的值． 【变式1】（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元．表示 ；当，，则 元． 【题型2】单项式的系数、次数及系数与次数形成的规律题 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）【观察与发现】 ，，，，，，， （1）直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； （2）第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． 【题型3】多项式的项、次数、升（降）幂排列 【例3】（24-25七年级上·全国·假期作业）若关于x的多项式不含二次项和一次项，求m、n的值． 【变式1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）若多项式是关于x的五次三项式，则m的值为 ． 【题型4】同类项及合并同类项 【例4】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【变式1】（22-23七年级上·云南文山·期末）已知与是同类项，则的值是（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 【变式2】（2023·四川自贡·模拟预测）若与的和仍为单项式，则 ． 【题型5】去括号与添括号 【例5】（22-23八年级上·广东江门·期中）先去括号，再合并同类项 (1) (2) 【变式1】（21-22七年级上·河南信阳·期末）下列去括号与添括号变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2021七年级·全国·专题练习）去括号：a－（－2b＋c）＝ ．添括号：－x－1＝－ ． 【题型6】整式的加减运算 【例6】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）化简： (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）若，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【题型7】整式的化简求值 【例7】（22-23七年级上·山东日照·期中）已知代数式，． （1）求； （2）当，时，求的值； （3）若的值与的取值无关，求的值． 【变式1】（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】（22-23七年级下·广东佛山·期中）要使多项式化简后不含x的二次项，则m的值是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【例2】（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示） 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·四川达州·期末）阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： （1）若是成立的“特异数对”，则 ； （2）写出一对成立的“特异数对”，其中，； （3）若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 【例2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④________；⑤；… （2）若n表示任意一个整数，则2n可以表示任意一个偶数，请你写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.8 代数式（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】整式的相关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【要点提示】（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数；（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 【要点提示】（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 【要点提示】（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4． 整式：单项式和多项式统称为整式． 【知识点2】整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 【要点提示】辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 【要点提示】合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】代数式书写方法及代数式的值 【例1】（22-23七年级上·浙江·期中）（1）已知的值为3，求的值． （2）已知当时，代数式的值为18，求的值． 【答案】（1）11；（2）32 【分析】本题考查代数式求值，结合已知条件将代数式进行适当的变形是解题的关键． （1）由题意可得，然后将变形后代入已知数值计算即可； （2）将代入可得，整理可得，然后将变形后代入已知数值计算即可． 解：（1）由题意可得， 则， 那么； （2）将代入可得， 则， 那么． 【变式1】（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 解：A、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； C、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元．表示 ；当，，则 元． 【答案】 买个足球和个篮球一共的价钱 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，求代数式的值，根据单价数量总价，确定，分别表示的意义，再根据加法的意义，得出这个代数式表示的含义，把的值代入代数式，求出结果即可，熟练掌握知识点额应用是解题的关键． 解：表示买个足球的价钱； 表示买个篮球的价钱； 故答案为：买个足球和个篮球一共的价钱， 当，时， ， ， ， 故答案为：． 【题型2】单项式的系数、次数及系数与次数形成的规律题 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）【观察与发现】 ，，，，，，， （1）直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； （2）第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为： 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 解：（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：． 【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式系数、次数，解题的关键是掌握：数字与字母的积是单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和是单项式的次数．据此求出、的值即可． 解：∵单项式的系数为，次数为， ∴，， ∴， ∴的值是． 故选：B． 【变式2】（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的系数、次数的定义，深刻理解定义是解题关键． 根据单项式的系数（单项式中的数字因式）、次数（单项式中所有字母指数的和为单项式的次数）的定义即可得． 解：由题意，这个单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型3】多项式的项、次数、升（降）幂排列 【例3】（24-25七年级上·全国·假期作业）若关于x的多项式不含二次项和一次项，求m、n的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式不含问题，不含哪一项，则哪一项的系数为0．根据多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0列式求解即可． 解：∵关于x的多项式不含二次项和一次项， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据升幂的定义结合题意对多项式进行排序，即可求解，本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是：明确是关于哪个字母，按升幂还是降幂排列． 解：由题意得将多项式按的升幂排列的结果是：， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）若多项式是关于x的五次三项式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式项和次数的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 解：∵多项式是关于x的五次三项式， ∴， ∴， 故答案为：。 【题型4】同类项及合并同类项 【例4】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，先确定同类项，再合并同类项即可． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式1】（22-23七年级上·云南文山·期末）已知与是同类项，则的值是（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查同类项的概念、解一元一次方程等，同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式．解题的关键是理解同类项的概念求出的值． 根据同类项的概念列出关于的一元一次方程，解得的值后，代入式子即可得出结论． 解：与是同类项， ，， 解得：，， 故选：B． 【变式2】（2023·四川自贡·模拟预测）若与的和仍为单项式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项，熟练掌握“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项”是解题的关键．根据同类项的定义可得出关于的方程，解之即可得出的值，将其相加即可得出结论． 解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【题型5】去括号与添括号 【例5】（22-23八年级上·广东江门·期中）先去括号，再合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式去括号，再根据整式加减混合运算法则进行化简即可； （2）先将原式去括号，再根据整式加减混合运算法则进行化简即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ； 【点拨】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“−”号，去掉“−”号和括号，括号里的各项都变号）． 【变式1】（21-22七年级上·河南信阳·期末）下列去括号与添括号变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的去括号及添括号，熟练掌握去括号及添括号的法则是关键．根据去括号与添括号法则逐一判断即可． 解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C． 【变式2】（2021七年级·全国·专题练习）去括号：a－（－2b＋c）＝ ．添括号：－x－1＝－ ． 【答案】 a+2b-c （x+1） 【分析】根据去添括号法则：如果括号前为减号，去掉括号后，括号里面的所有项的符号改变；反之如果括号前为加号，去掉括号后，括号里面的所有项的符号不变；如果添括号，括号前为减号，添括号后里面的所有项的符号改变，反之括号前为加号，添括号里面的所有项的符号不变判断即可. 解：a-（-2b+c）=a+2b-c -x-1=-（1+x） 故答案为：a+2b-c；（x+1） 【点拨】本题主要考查去添括号法则，解题的关键是能够熟练地掌握去添括号时项什么情况符号改变，什么情况项的符号不变即可. 【题型6】整式的加减运算 【例6】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）先去括号，然后合并同类项； （2）先去括号，然后合并同类项． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）若，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，首先将代数式去括号，再根据加法的交换律与结合律得，然后整体代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：， ， 将，代入得，， 故选：． 【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】a 【分析】本题考查了根据有理数在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式的加减运算，正确地判断式子的符号化简绝对值是解题的关键．由数轴可知：，，，进而可得出，，，然后化简绝对值，最后再行进加减运算即可． 解：由数轴可知：，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：a． 【题型7】整式的化简求值 【例7】（22-23七年级上·山东日照·期中）已知代数式，． （1）求； （2）当，时，求的值； （3）若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减、整式的加减—化简求值、整式的加减中的无关题型，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出式子，先去括号，再合并同类项即可得出答案； （2）把，代入（1）中化简后的式子计算即可得出答案； （3）根据题意得出，求解即可得出答案． 解：（1） ； （2）当，时，原式； （3）， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：． 【变式1】（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得，移项得，将化简为，再将代入计算，即得答案． 解：是方程 的解， ， ， ． 故选B． 【变式2】（22-23七年级下·广东佛山·期中）要使多项式化简后不含x的二次项，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了多项式不含项问题，单项式乘以多项式，整式的混合运算，根据整式混合运算法则先化简整式，根据多项式化简后不含x的二次项，得，求出m的值，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键 解： ∵多项式化简后不含x的二次项， ∴， 解得， 故答案为4 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个． 故选：D 【例2】（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示） 【答案】 【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可． 解：系数为，次数为1； 系数为，次数为2； 系数为，次数为3； 系数为，次数为4； 第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n， ∴第n个单项式为：． 【点拨】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·四川达州·期末）阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： （1）若是成立的“特异数对”，则 ； （2）写出一对成立的“特异数对”，其中，； （3）若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)；（答案不唯一） (3)． 【分析】（）根据“特异数对”的定义计算即可求解； （）令，再根据“特异数对”的定义计算即可求解； （）由“特异数对”的定义可得，再化简代数式，把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减化简求值，理解“特异数对”的定义是解题的关键． 解：（1）由题意可得，， ∴， 故答案为：； （2）令， ∴， ∴， ∴是一对“特异数对”； （3）∵是成立的“特异数对”， ∴， ∴原式 ， ， ， ， ． 【例2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④________；⑤；… （2）若n表示任意一个整数，则2n可以表示任意一个偶数，请你写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算： 【答案】(1) (2) (3)2100 【分析】本题考查了图形类和数字类规律探究，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）观察图形的变化情况即可填空； （2）结合（1）即可得第n个等式； （3）结合（2）的规律进行计算即可． 解：（1）根据题意得：④， 故答案为：； （2）∵； ； ； ； ；… ∴ 故答案为：； （3） ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$