拓展04利用导函数构造原函数（六大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

拓展04利用导函数构造原函数 题型一 构造 题型四 构造或 题型二 构造或 题型五 构造或 题型三 构造或 题型六 构造或 题型一 构造 例1．已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例2．定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知定义域为R的函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知定义在上的函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习4．定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 . 题型二 构造或 例3．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习1．（多选）若函数，的导函数都存在，且，则的值可能为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 练习2．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 练习3．已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知定义在上的函数的导函数都存在，若，且为整数，则的可能取值的最大值为 . 题型三 构造或 例5．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例6．已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 练习1．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 练习2．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四 构造或 例7．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例8．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 练习1．已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习4．设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集是（    ） A． B． C． D． 题型五 构造或 例9．已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例10．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则 A． B． C． D． 练习4．已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ） A． B． C． D． 题型六 构造或 例11．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 . 例12．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（        ） A． B． C． D． 练习1．已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 ． 练习3．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（    ） A． B． C． D． 练习4．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，且，则不等式的解集为 ． 1．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 ． 4．已知是上的偶函数且满足，若对，恒成立，则实数a的取值范围为 ． 5．定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 7．已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是 . 8．已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为 . 9．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 10．已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 . 11．已知函数及其导函数的定义域为，，且，则不等式的解集为 . 12．已知函数在R上连续，且存在导函数，对任意实数x，满足，当时，．若，则x的取值范围是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展04利用导函数构造原函数 题型一 构造 题型四 构造或 题型二 构造或 题型五 构造或 题型三 构造或 题型六 构造或 题型一 构造 例1．已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令函数，因为，所以在R上单调递增． 因为，所以不等式等价于， 所以． 故选：B. 例2．定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，故单调递减， 即，得，解得：. 故选：B. 练习1．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 所以． 故不等式的解集为. 故选：B. 练习2．已知定义域为R的函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 则在R上单调递增，， 由可得，即， 得，， 故选：B． 练习3．已知定义在上的函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，令，， ，则函数在上单调递增， 又，所以不等式，即， 即为，即变形为，即得， ，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 练习4．定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因时，，即，也即， 取，则，即在上单调递减， 又，则， 由可得，故得，，解得，. 故答案为：. 题型二 构造或 例3．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，，令， 则， 故为上的奇函数， 因为当时，， 即时，， 所以在区间上单调递减， 所以奇函数在区间上也单调递减， 又，所以，所以， 所以当时，. 故选：B. 例4．若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，， 则， 当时，， 故在上单调递减， 则当时，，； 当时，，； 又函数可导，则该函数必连续，所以当时，； 因为可导函数是定义在R上的奇函数，故， 当时， 所以，解得， 又，故不等式的解集为. 故选：B 练习1．（多选）若函数，的导函数都存在，且，则的值可能为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】CD 【详解】由，得. 设函数，则， 所以在上单调递减，所以，即， 则.故的值可能为5，6. 故选：CD 练习2．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 【答案】 【详解】、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且， ， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 不等式的解集是. 故答案为：. 练习3．已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：， 设，则， 由得， 因为，所以， 又、是定义域为的恒大于0的可导函数， 故，B错误，，A错误； ， 因为，不知道正负，所以C不一定成立； ， 即，D正确. 故选：D. 【点睛】 函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 练习4．已知定义在上的函数的导函数都存在，若，且为整数，则的可能取值的最大值为 . 【答案】14 【详解】因为， 设函数，则， 所以在上单调递减， 则，即， 整理得， 又因为为整数， 所以的可能取值的最大值为14. 故答案为：14. 题型三 构造或 例5．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 故在上单调递减， 不等式可变形为 ， 即， 所以且，解得. 故选：A 例6．已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，,则，则函数为偶函数， 可得函数在上单调递增， 又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为,,． 故选：B． 练习1．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义域为的偶函数，所以， 又定义域为，所以， 所以为偶函数， 对任意正实数满足，所以， 因为，所以， 所以函数在上单调递增，则在上单调递减， 不等式，等价于， 等价于，解得或， 所以不等式的解集是. 故选：D. 练习2．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，令，则， 所以在上单调递减， 因为，所以， 于是当时，，即； 当时，，即. 又为上的奇函数， 所以当时，，当时，， 又， 所以的解集为. 故选：A. 练习3．已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，当时，， 令，则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以，解得. 故选：A. 练习4．已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，在上单调递增，则， 不等式恒成立转化为，即， 设，则， 所以在上单调递减，则， 由，得， 即，所以，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D 题型四 构造或 例7．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 因为， 所以， 故在上单调递减， 又，故， 故当时，，当时，， ， 故的解集为. 故选：A 例8．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， ，， 在定义上单调递减； 又为偶函数，，， ， 则不等式，即， 解得，即不等式的解集为. 故选：A． 练习1．已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 因为即， 则， 所以在上单调递增， 故若，即，即， 由定义域及单调性可得，， 所以不等式的解集为. 故选：A. 练习2．已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设函数，可得， 所以函数在上单调递减， 由，可得，即， 可得，所以，即不等式的解集为. 故选：D. 练习3．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，因为对任意的，都有， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以， 由可得，即，所以. 故选：A 练习4．设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】定义在上的函数的导函数为，， 令函数，求导得，即函数在上单调递减， 由，得，不等式等价于，解得， 所以不等式的解集是. 故选：D 【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键. 题型五 构造或 例9．已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 所以函数单调递增， ， 即，得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 例10．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 则，且不恒为， 所以在上单调递增. 又因为偶函数，所以， 所以. 又， 所以不等式等价于， 根据函数的单调性可知，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 练习1．已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令函数，，求导得， 因此函数在上单调递减，不等式， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 练习2．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则， 所以在上单调递减. 又因为偶函数，所以， 所以. 又， 所以不等式等价于， 根据函数的单调性可知，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 练习3．已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令 ,则,所以 在上单调递增,因此 , ,所以选C. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 练习4．已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误. 偶函数在上为增函数，在上为减函数， ，故B正确； ，，故C错误； ，，故D错误. 故选：B 题型六 构造或 例11．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为时，， 所以，即， 因此，从而在上单调递增， 又是上的偶函数，且是偶函数， 所以， 即是上的偶函数，故在上单调递减， 由于，因此，又即，即， 所以，故由的单调性和偶函数特点可知， 因此的取值范围为. 故答案为：. 例12．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数，，则，所以在上单调递增， 则，所以，即，故A不正确； 则，所以，即，故B不正确； 则，所以，即，故C正确； 则，所以，即，故D不正确. 故选：C. 练习1．已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 因为，则，由可得， 即，所以，，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：A. 练习2．已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数， 由于，关于的不等式可化为， 即，所以且，解得， 不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型. 练习3．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：令， 则， 因为， 所以， 则在上单调递减. 所以， 故，， 故选：C 练习4．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由，可构造函数： ，则：； 故在上单调递减； 由，可得； 而等价于，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查：利用导数构造函数，求解不等式的问题，属导数中的中档题；本题中的构造形式需要注意. 1．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以不等式等价转化为不等式，即， 构造函数，则， 由题意，，所以为上的增函数， 又，所以， 所以，解得，即， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 2．已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 则， 所以在上单调递减． 因为当时，， 所以当时，；当时，． 由于当时，且，所以； 当时，且，所以； 当时，因为，令，得，所以在上恒成立． 故选：C． 3．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则， 因为，所以当时，， 易知函数在单调递增，所以， 即可得在上单调递减， 由不等式可得； 即，因此可得，解得. 即不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解函数不等式解集问题时，利用已知条件并合理构造函数，再由导函数求得函数单调性，根据单调性即可求得不等式解集. 4．已知是上的偶函数且满足，若对，恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为是上的偶函数，则， 对等式两边同时求导得：， 又因为，则， 可得， 由，可得， 因为在定义域内单调递增， 可知在定义域内单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且是上的偶函数，若， 则， 若，则，符合题意，； 若，则，可得， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 故答案为：. 5．定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，化简得， 构造函数， 即当时，单调递增， 所以由， 则， 即.因为为偶函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：C. 6．已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可推得，. 令，则， 所以， 所以，为偶函数. 又， 因为当时，， 所以，，所以在上单调递增. 又为偶函数，所以在上单调递减. 由可得， . 因为， 所以，. 因为在上单调递减，为偶函数， 所以有， 平方整理可得，， 解得. 故选：C. 【点睛】关键点睛：构造函数，根据已知得出函数的奇偶性以及单调性. 7．已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】构造函数，则； 因为， 所以当时，，即，此时在上单调递增； 当时，，即，此时在上单调递减； 又，所以，即； 所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上， 即函数图像关于直线对称， 不等式变形为，即； 可得， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得. 则不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据的结构特征构造函数，判断出其单调性，再由得出其对称性解不等式即可. 8．已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】构造函数，则， 所以函数在上为增函数， 且. 显然当时，不等式不成立， 故我们只需讨论时，不等式的解集即可； ①当时，由可得， 即， 即，可得，解得，此时不存在； ②当时，由可得， 即. 即，可得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下： （1）根据导数不等式的结构构造原函数； （2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性； （3）将所求不等式变形为或（偶函数）； （4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解. 9．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则， 可知在上为减函数，而， 在上，，，所以 ； 在上，，，而，； 可得在上， 又因为是定义在上的奇函数，则在上，， 不等式等价于或 ，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 10．已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】设，则， 因为，所以，所以在上单调递减； 不等式等价于，即， 因为，所以， 所以，即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题干信息构造函数，并利用导数得出函数单调性；将不等式转换为比较函数值大小问题，利用函数单调性解不等式即可得结果. 11．已知函数及其导函数的定义域为，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】构造函数，则 所以函数在上单调递减， 又由，得， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故答案为：. 12．已知函数在R上连续，且存在导函数，对任意实数x，满足，当时，．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，可知的定义域为，且在R上连续， 因为，则， 即，可知为奇函数， 又因为当时，，则在内单调递增， 结合为奇函数可知在内单调递增， 且在R上连续，则在R上单调递增， 若，则， 整理得， 即，可得，解得， 所以x的取值范围是. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 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