精品解析：黑龙江省大庆市萨尔图区大庆实验中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题

大庆实验中学实验一部2023级高一下学期期末考试 数学学科试题 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，且，则与可能平行 D. 若，则与可能垂直 3. 已知向量，若向量与向量平行，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 4. 一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 5. 2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B. 成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C. 高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D. 成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 6. 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（ ） A. B. C. 5 D. 7. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ） A. B. C. D. 8. 一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中一定不能出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为4 B. 中位数为4，众数为3 C. 平均数为2，方差为2.1 D. 中位数为3，方差为0.85 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 三棱锥外接球表面积为 10. 已知一组样本数据的标准差，其平均数，则下列数据的标准差与不相等的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 平面 D. 直线与所成的角的取值范围是 12. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（ ） A. 的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D. 若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 一组数据分别是82，84，86，88，94，95，96，则该组数据的上四分位数是______． 14. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______． 15. 在中，分别为内角的对边，若，，且，则______. 16. 如图，棱长为1的正四面体的底面在平面上，现将正四面体绕棱逆时针旋转，当直线与平面第一次成角时，点A到平面的距离为_______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，立体几何用坐标法不给分. 17. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． （1）求和的值； （2）求两次摸到的不都是红球的概率． 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 19. 在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （1）该同学得4分的概率； （2）该同学得分不超过3分的概率. 20. 如图，已知平面，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 21. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 22. 代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． （1）证明：； （2）求角的大小； （3）若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学实验一部2023级高一下学期期末考试 数学学科试题 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算求出，进而得到. 【详解】， ， 故选：C. 2. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，且，则与可能平行 D. 若，则与可能垂直 【答案】D 【解析】 【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误； 对B：当时，与不是异面直线，故B错误； 对C：若，且，与为异面直线，故C错误； 对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确. 故选：D. 3. 已知向量，若向量与向量平行，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得,由与向量平行,可得,进而求解即可. 【详解】∵向量, ∴,，又向量与向量平行, ∴,，解得. 故选：A. 4. 一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率值判断相等，再应用独立事件概率乘法公式判断独立事件. 【详解】因为A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，A与B不相等，D选项错误； 则, ,A与B相互独立，C选项正确； A与B可以同时发生，A选项错误；B选项错误； 故选：C. 5. 2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B. 成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C. 高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D. 成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【解析】 【分析】由饼状图可计算出高一年级共90人，高二年级共60人，高三年级共50人，再由高一学生排名分布的频率条形图可计算出各排名段中高一年级学生的人数，由此即可判断出答案. 【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确； 由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为， 而高三的学生成绩在第名的人数最多为人， 故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为， 高二成绩在第名的人数最多为， 即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，D错误. 故选：D. 6. 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】当人在点时，根据两角和的正切公式求出和，当人运动到中点时，作于点，由勾股定理即可求解． 【详解】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示， 设，则， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得或， 因为，所以，则，则， 当人运动到中点时，作于点，如下图所示， 则，， 所以， 在中， 故选：B． 7. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量． 【详解】 设线段、、、的中点分别为、、、，如图所示： 由题可知，四边形为等腰梯形， 设，因为，所以， 设棱台的高为，体积为，棱台的高为，体积为，则， ， 所以，又，所以， 所以该“方斗”可盛米的总质量为． 故选：B． 8. 一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中一定不能出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为4 B. 中位数为4，众数为3 C. 平均数为2，方差为2.1 D. 中位数为3，方差为0.85 【答案】C 【解析】 【分析】举例判断ABD，C用反证法证明不能出现6． 【详解】对于A，10次点数为符合题意，故A错误； 对于B，10次点数为符合题意，故B错误 ； 对于C，设10次点数为，且，平均数为， 假设有一次点数为6，不妨设， 由方差公式， 代入，，， 则，则最大取4， 不妨设，则，方程无解，故， 当，，最大取3， 不妨设，则，则， 则这10次点数为，但平均数为，不合题意，故； 当时，，方程无解，故； 当时，，方程无解， 综上所述，假设有一次点数为6不成立，故C正确； 对于D，10次点数为符合题意，故D错误 ； 故选：C． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 三棱锥外接球表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定及性质即可判断A；由线面关系即可判断B；由线面角的定义即可判断C；由球的表面积公式即可判断D． 【详解】对于A，连接，则，因为，所以， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故A正确； 对于B，连接，由正方体得，， 又，所以， 因为平面，即与平面不平行， 所以与平面不平行，故B错误； 对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且， 所以直线与平面所成的角不是，故C错误； 对于D，由正方体得，平面，且，， 所以三棱锥外接球的直径， 所以，外接球表面积为，故D正确； 故选：AD． 10. 已知一组样本数据的标准差，其平均数，则下列数据的标准差与不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方差（标准差）的性质及方差公式一一判断即可. 【详解】因为的标准差，其平均数， 则， 对于A：数据的标准差为，故A符合题意； 对于B：数据的标准差为，故B不符合题意； 对于C：因为 ， 又数据的平均数为， 设数据的标准差为， 则的方差， 所以，则，故C符合题意； 对于D：数据的标准差为，故D符合题意； 故选：ACD 11. 如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 平面 D. 直线与所成的角的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等积转化和体积公式计算三棱锥的体积后可判断A的正误，利用反例可判断B的正误，可证平面平面，结合面面平行的性质可判断C的正误，可证（或其补角）为直线与所成的角，求出的范围后可求判断D的正误. 【详解】对于A，由正方体可得平面平面，且，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，当与重合时，， 所以的最小值不为，故B错误； 对于C，连接，， 由正方体可得，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面 因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故C正确： 对于D，因为，所以（或其补角）为直线与所成的角， 由图可得当与重合时，此时最大为， 当与重合时，此时最小为0， 所以直线与所成的角的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 12. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（ ） A. 的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D. 若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由样本空间的定义判断A，根据古典概型概率计算公式，互斥事件的加法及独立事件的乘法公式判断BCD． 【详解】对于A，由于的各位数字中，都可能为0或1，则的所有实验结果构成的样本空间中有个样本点，正确； 对于B，若的各位数字都是等可能地取值0或1，则，所以的概率等于的概率，错误； 对于C，若的各位数字都是等可能地取值为0或1，如果中各位数字之和是4，即5个数字中有4和“1”和1个“0”， 可能情况有：，共有5种等可能情况，其概率，正确； 对于D，由于，数字中恰有2个0，即在四个数中恰好有2个0,2个1， 可能情况有：，共有6种情况， 启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为，正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 一组数据分别是82，84，86，88，94，95，96，则该组数据的上四分位数是______． 【答案】95 【解析】 【分析】根据上四分位数的定义，求出第75百分位数即可． 【详解】将数据从小到大排序：82，84，86，88，94，95，96，共7个数； ，为非整数，故上四分位数是第6个数95. 故答案为：95． 14. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 15. 在中，分别为内角的对边，若，，且，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据正弦定理角化边，三角形面积公式及余弦定理，即可求解． 【详解】因为，所以， 所以，即， 由题干及正弦定理得，①， 由余弦定理得，②， 由①②得，，即， 故答案为：4． 16. 如图，棱长为1的正四面体的底面在平面上，现将正四面体绕棱逆时针旋转，当直线与平面第一次成角时，点A到平面的距离为_______． 【答案】 【解析】 【详解】取的中点D，折叠后A在平面内的射影为E，则 ， ， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，立体几何用坐标法不给分. 17. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． （1）求和的值； （2）求两次摸到的不都是红球的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解； （2）利用对立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5． 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有4种等可能的结果． 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果， 第一次摸到红球的可能结果有8种，即， 所以． 第二次摸到红球的可能结果也有8种，即， 所以． 【小问2详解】 事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即， 则两次摸到都是红球的概率， 故两次摸到的不都是红球的概率． 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求的值. （2）根据分层抽样的概念，古典概型概率公式求解即可. （3）根据加权平均数与方差公式计算即可． 【小问1详解】 由题意，解得：. 【小问2详解】 由题可知，成绩在区间的频数为：； 成绩在区间的频数为：. 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为. 再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：. 【小问3详解】 因为落在与的频率比为， 所以，． 19. 在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （1）该同学得4分的概率； （2）该同学得分不超过3分的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析该同学得4分的情况，利用独立事件的概率公式即可得解； （2）利用独立事件的概率公式，依次求出该同学得0分、2分，3分的概率，从而得解. 【小问1详解】 设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B， 在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立， 依题意， 则该同学得4分的概率为 . 【小问2详解】 该同学得分不超过3分的情况为得0分、2分，3分， 该同学得0分的概率为； 得2分的概率为； 得3分的概率为； 则该同学得分不超过3分的概率为. 20. 如图，已知平面，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：取中点，连接，，，如图所示， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行证明平面平面，再由面面平行的性质证明线面平行即可； （2）先证明出平面，结合（1）得结论得出直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 因为，点为的中点， 所以， 因为平面平面平面， 所以平面， 由（1）得四边形为平行四边形，所以， 所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等， 因为平面， 所以即为直线与平面所成角， 因为点为的中点，， 所以， 所以，由， 所以， 所以直线与平面所成角为． 21. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 设，连接，由平面，平面，得， 因为，，，分别为的中点， 所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，所以， 因为分别是的中点，所以， 已知平面，平面，所以平面平面， 又，为中点，则， 而平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接，由已知得出，再证出，即可证明平面，由线面垂直的性质即可证明； （2）在平面内过点作，交延长线于，连接，证出平面，进而得出，则是二面角的平面角，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内过点作，交延长线于，连接，则， 因为平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，，是的中点，所以， 因为，，平面，， 所以平面，由平面，所以， 所以是二面角的平面角， 设，则， 由得，， 在，， 所以， 所以二面角的正弦值． 22. 代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． （1）证明：； （2）求角的大小； （3）若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 【答案】（1） 证明： ． （2） （3） 证明：设，，则， 由余弦定理得，， 整理得，，代入， 得，解得，或 因为，所以， 设，则，， 则， 在中，由余弦定理得，，即， 整理得，， 所以 ， 因为， 当且仅当时，即时等号成立， 又 ， 所以， 即，所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）将和代入，根据两角和与差的正弦公式即可证明； （2）由得出，由得出，根据（1）的结论及二倍角公式化简即可求解； （3）根据余弦定理求出和，设，则，，根据三角形面积公式及余弦定理表示出和，进而表示出，再根据基本不等式即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，所以， 因为， 所以，由正弦定理得，， 由（1）得， ， 所以，即， 因为，所以，所以，即． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $