精品解析：2024年辽宁省沈阳市九年级学业水平考试模拟数学试卷

2024年沈阳市初中学业水平考试模拟测试 数 学 试 卷 (本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟) 第一部分 选择题 (共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图是一个由6个相同的小立方块组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个图形中，对称轴最多的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 平行四边形的对角互补 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6. 化简的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. a D. 7. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出九，盈六；人出七．不足十四．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出九钱，那么多了六钱；如果每人出七钱，那么少了十四钱，问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买兔，根据题意，可列一元一次方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点D在边上，，连接，在上截取，使，分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交边于点H，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题 (本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 不等式组的解集为______． 12. 将点沿轴向右平移个单位，平移后的点恰好在反比例函数的图象上，则常数的值为______． 13. 如图，某一时刻停车场内有序号为的三个空车位顺次排成一排，现有甲、乙两车需要随机停放到其中一个车位，则甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是__________． 15. 如图，在菱形中，， 点为直线上方一点，且，分别作点关于直线AB和直线AD的对称点，，连接当与菱形的边平行时，的面积为________． 三、解答题(本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算 （1） （2）． 17. 某汽车租赁公司决定采购型和型两款新能源汽车．已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的倍，若用万元购进型汽车的数量比用万元购进型汽车的数量少辆，求每辆型汽车和每辆型汽车的进价分别为多少万元． 18. 从“冬日雪暖阳”到“春天花正开”，沈阳魅力更加迷人.相关数据显示，五一小长假期间，南方“小土豆”到沈阳旅游的人数大幅增加．乐乐一家计划暑假来沈阳游玩，为了更好的了解沈阳的景点，乐乐对网友进行了线上调查，想根据调查的数据制定自己一家人的沈阳游玩计划，调查的过程及不完整的统计结果如下表. 调查目的 了解网友最喜爱的沈阳景点 调查方式 抽样调查 调查对象 部分网友 调查内容 你最喜爱的沈阳景点（每名网友只能从下列五个选项中选择一个景点） A.沈阳故宫B.张学良旧居C.沈阳世博园D.中街步行街E.工业博物馆 调查结果 请回答下列问题： （1）本次线上调查共有多少名网友参与? （2）根据上表的调查结果，若有9000名网友参与调查，请你估计最喜爱“沈阳故宫”的人数； （3）若返程当天还有景点F，景点G，景点H可以去游玩，各景点建议游玩时间和景点间路程用时情况见下图．乐乐一家人打算上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，如果按图中景点建议游玩时间选择两个景点游玩，请你帮助乐乐设计一个游玩路线．先游玩__________，再游玩__________，然后16：40前到达机场． 19. 某超市的消费卡做促销活动．消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡．使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． （1）求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； （2）小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 20. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． （1）求点O到楼的距离的长； （2）求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 21. 如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点， 且F为弧 的中点， 连接． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的半径的长． 22. 【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 23. 【问题情境】 如图1，正方形，点E是边上一动点，点E由点A运动到点B，动点F在边上，且，连接，以为一边，在正方形内部作等边，连接．设的长为x，的面积为S． 【初步感知】 （1）经探究发现S是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，其顶点坐标是、请根据图象信息，求S关于x的函数表达式； 【延伸探究】 （2）当的周长为 时，求线段的长度： （3）当是以为底的等腰三角形时， ①小智同学根据学习函数的经验，想尝试结合函数相关知识求线段的长度．根据点E在上的不同位置．通过画图软件画出相应的图形，并测量线段，的长度(同一单位)，得到下表的几组对应的近似值： 0 … 4 … … 将线段AE的长度作为自变量x，EG和BG的长度分别为，，发现，都是x的函数，在平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图3所示．请结合表格和图象信息，当是以为底的等腰三角形时，直接写出线段的长度：(结果精确到) ②因为①的方法得到的是线段长度的近似值，所以小慧同学还想求出线段长度的准确值，请你帮助小慧同学求出线段长度的准确值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年沈阳市初中学业水平考试模拟测试 数 学 试 卷 (本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟) 第一部分 选择题 (共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，根据题意可得点A表示的数是，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是， ∴比数轴上的点A表示的数大1的数是， 故选：B． 2. 如图是一个由6个相同的小立方块组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到他图形分为上下两层，共4列，从左数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第三列有一个小正方形，即看到的图形如下： ， 故选：D． 3. 下列四个图形中，对称轴最多的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A选项图形有4条对称轴，B选项图形有3条对称轴，C选项图形有3条对称轴，D选项图形有两条对称轴， 故选：A． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式、单项式除以单项式，幂的乘方法则，合并同类项的法则，根据完全平方公式、单项式除以单项式，幂的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行解答即可． 【详解】解：A、与不能合并，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 平行四边形的对角互补 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定与性质定理直接判断即可 【详解】解：A.矩形平行四边形的对角线相等，而平行四边形的对角线互相平分，故选项A说法错误； B. 对角线相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，故选项B说法错误； C. 平行四边形的对角相等，故选项C说法错误； D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确， 故选：D 6. 化简的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. a D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 7. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出九，盈六；人出七．不足十四．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出九钱，那么多了六钱；如果每人出七钱，那么少了十四钱，问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买兔，根据题意，可列一元一次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x个人共同出钱买兔，根据买兔需要的总钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x个人共同出钱买兔，根据题意得： 9x-6=7x+14． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9. 如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角的计算，平行线的性质，过点C作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出结果即可． 【详解】解：过点C作，如图所示： 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，，点D在边上，，连接，在上截取，使，分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交边于点H，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，平行线的性质与判定，先证明是等边三角形推出，由作图方法可知，平分，则，证明，进而证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题 (本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 不等式组的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定不等式组的解集，掌握求不等式组解集的口诀是解题的关键． 【详解】解：由不等式组可得，不等式组的解集为， 故答案为：． 12. 将点沿轴向右平移个单位，平移后的点恰好在反比例函数的图象上，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，反比例函数图象上点的坐标特征，根据平移的性质求出平移后点的坐标，再把平移后点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求解，掌握平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：将点沿轴向右平移个单位，得到的点的坐标为， ∵平移后的点恰好在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，某一时刻停车场内有序号为的三个空车位顺次排成一排，现有甲、乙两车需要随机停放到其中一个车位，则甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中甲、乙两车停放在不相邻的位置的有种结果， ∴甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率是， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及对称性，因为与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，设这个二次函数图象与x轴另一个交点的横坐标为， ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴， 解饿， 则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是， 故答案为：， 15. 如图，在菱形中，， 点为直线上方一点，且，分别作点关于直线AB和直线AD的对称点，，连接当与菱形的边平行时，的面积为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形中位线性质定理等知识，掌握菱形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形中位线性质定理等知识是解本题的关键． 分和两种情况，在时先证明点F与点A重合，求出，的长，再由中位线定理求出的长，再根据三角形面积公式求解即可；同理可求出时的结论． 【详解】解：当时， ， ，如图， 设与交于点E，交于点F，则有，连接， 又由对称性可知，垂直平分，垂直平分， 为的中位线， ， 又点F在直线上，也在直线上， 与点重合， 设，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 在中，， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ，如图， 设与交于点M，交于点N，连接 同理可得为的中位线， ， ， ∴点M在直线上，M，A重合， 则垂直平分于点A， 是等腰直角三角形， ，，， ，垂直平分， ，， 在中，， ，， ， 综上，的面积为或， 故答案为：或 三、解答题(本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算 （1） （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整数的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键． （）利用有理数的运算法则计算即可求解； （）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ， ， ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 某汽车租赁公司决定采购型和型两款新能源汽车．已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的倍，若用万元购进型汽车的数量比用万元购进型汽车的数量少辆，求每辆型汽车和每辆型汽车的进价分别为多少万元． 【答案】每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元，根据题意，列出方程解答即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元． 18. 从“冬日雪暖阳”到“春天花正开”，沈阳魅力更加迷人.相关数据显示，五一小长假期间，南方“小土豆”到沈阳旅游的人数大幅增加．乐乐一家计划暑假来沈阳游玩，为了更好的了解沈阳的景点，乐乐对网友进行了线上调查，想根据调查的数据制定自己一家人的沈阳游玩计划，调查的过程及不完整的统计结果如下表. 调查目的 了解网友最喜爱的沈阳景点 调查方式 抽样调查 调查对象 部分网友 调查内容 你最喜爱的沈阳景点（每名网友只能从下列五个选项中选择一个景点） A.沈阳故宫B.张学良旧居C.沈阳世博园D.中街步行街E.工业博物馆 调查结果 请回答下列问题： （1）本次线上调查共有多少名网友参与? （2）根据上表的调查结果，若有9000名网友参与调查，请你估计最喜爱“沈阳故宫”的人数； （3）若返程当天还有景点F，景点G，景点H可以去游玩，各景点建议游玩时间和景点间路程用时情况见下图．乐乐一家人打算上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，如果按图中景点建议游玩时间选择两个景点游玩，请你帮助乐乐设计一个游玩路线．先游玩__________，再游玩__________，然后16：40前到达机场． 【答案】（1）本次线上调查共有1000名网友参与 （2）估计最喜爱“沈阳故宫”的人数为3600人 （3）G；F（或G，H） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图，扇形统计图以及用样本估计总体： （1）用B的人数除以所占百分比即可得出被调查的人数； （2）用样本估计总体即可； （3）根据参观时间加路程用时不大于7时40分进行设计游玩路线即可． 【小问1详解】 解：（名） 答：本次线上调查共有1000名网友参与 【小问2详解】 解：（名） 答：估计最喜爱“沈阳故宫”的人数为3600人； 【小问3详解】 解：因为上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，共需用时7时40分， 方案一：从景点G开始，再至景点F，最后到达机场需用时：时7时40分， 故设计的路线为先游玩G，再游玩F， 方案二：从景点G开始，再至景点H，最后至到达机场需用时：时7时40分， 故设计的路线为先游玩G，再游玩H， 故答案为：G；F（或G，H） 19. 某超市的消费卡做促销活动．消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡．使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． （1）求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； （2）小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 【答案】（1）小张购买这张消费卡实际花费的钱数为850元； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）设，把代入中，利用待定系数法求出对应的解析式，进而求出当时，y的值即可得到答案； （2）先求出大米实际的单价，再乘以20即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 把代入中得：， 解得， ∴， 当时，， 答：小张购买这张消费卡实际花费的钱数为850元； 【小问2详解】 解：由题意得，． 20. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． （1）求点O到楼的距离的长； （2）求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定： （1）根据直角三角形的性质求得； （2）过C作于H，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 答：点O到楼的距离的长为； 【小问2详解】 解：过C作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∴两栋楼与的高度之差为． 21. 如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点， 且F为弧 的中点， 连接． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的半径的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 22. 【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 【答案】（）选择小创同学的解题思路：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小新同学的解题思路：如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （）； （）． 【解析】 【分析】（）选择小创同学的解题思路：由等腰直角三角形的性质可得，，，，进而得到，，即可得到，得到，即可求证； 选择小新同学的解题思路：在线段上截取，连接，可得，又根据等腰直角三角形的性质可得，进而得，，由得，得到，即可证明，得到； （）同理（）小新同学的解题思路解答即可求解； （）延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在在线段上截取，连接，过点作于，则，，由得，，，解直角三角形得，，由可得，得到，由得到，得，，设，则，，由得，得，即得，，由（）知，可证，得到，解直角三角形求出，得到，即可求解． 【详解】解：（）略 （）如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在线段上截取，连接，过点作于，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 又由（）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 【问题情境】 如图1，正方形，点E是边上一动点，点E由点A运动到点B，动点F在边上，且，连接，以为一边，在正方形内部作等边，连接．设的长为x，的面积为S． 【初步感知】 （1）经探究发现S是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，其顶点坐标是、请根据图象信息，求S关于x的函数表达式； 【延伸探究】 （2）当的周长为 时，求线段的长度： （3）当是以为底的等腰三角形时， ①小智同学根据学习函数的经验，想尝试结合函数相关知识求线段的长度．根据点E在上的不同位置．通过画图软件画出相应的图形，并测量线段，的长度(同一单位)，得到下表的几组对应的近似值： 0 … 4 … … 将线段AE的长度作为自变量x，EG和BG的长度分别为，，发现，都是x的函数，在平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图3所示．请结合表格和图象信息，当是以为底的等腰三角形时，直接写出线段的长度：(结果精确到) ②因为①的方法得到的是线段长度的近似值，所以小慧同学还想求出线段长度的准确值，请你帮助小慧同学求出线段长度的准确值． 【答案】（1） （2）1或3 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）用顶点式假设函数的解析式，利用待定系数法解答即可求解； （2）由图2可知正方形的边长为4，得，再利用等边三角形的性质得，根据勾股定理得，即，解方程即可求解； （3）①由图3可知，，有两个交点，可排除当时，；又根据图象知在之间两图象还有一个交点，由表可知，当时，，，据此即可由求解； ②以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，过交的延长线于点，作轴于点，由等边三角形的性质可得，进而得为的中点，利用三角函数得，再证明，得到，可得，，即得，得到，利用中点坐标公式得，得到，又可得，根据构建方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设， 抛物线经过， ， 解得， ； 【小问2详解】 ，由图2可知正方形的边长为4， ， 的周长为，为等边三角形， ， ， ， ， 解得， 的长为1或3； 【小问3详解】 ①由图3可知，有两个交点， 当时，，但不存在，故此种情况不符，舍去； 在之间两图象还有一个交点， 由表可知，当时，，， 时，的长度为； ②以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 过交的延长线于点，作轴于点，则， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为的中点， ， 即， ， ， ， 又， ， 整理得， 或， （不符合题意，舍去），， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形三角形，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线及看懂函数图象是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $