（3）三角函数与解三角形 讲义-2025届高考数学一轮复习

（3）三角函数与解三角形 ——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义 【高考考情分析】 三角函数定义的应用，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简与求值都是高考中的热点考查内容，常与三角恒等变换结合命题，同时应注意象限角、终边相同的角等与三角函数的综合，以及扇形的弧长和面积公式的考查，考查基本运算能力，题型以选择题、填空题为主. 三角恒等变换在高考中重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在：（1）三角函数式的化简；（2）三角函数的求值；（3）通过恒等变换研究函数的性质等.注意三角恒等变换与三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量的综合命题，难度中等偏下. 高考考查三角函数的命题点主要有三个方面：（1）三角函数的图象及应用；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查.多以选择题和填空题的形式出现，难度中等，多了解命题新角度、新综合以及三角函数模型的应用问题. 解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档. 【基础知识复习】 1.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 2.角度与弧度的换算：；；. 3.扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，为圆心角，则扇形的弧长公式为，；扇形的面积公式为，. 4.三角函数及其定义域：将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数，；余弦函数，；正切函数，. 5.诱导公式一：，，，其中，即终边相同的角的同一三角函数值相等. 6.同角三角函数的基本关系： （1）； （2）. 7.诱导公式二：；；. 诱导公式三：；；. 诱导公式四：；；. 诱导公式五：；. 诱导公式六：；. 8.两角和与差的余弦公式：， ； 两角和与差的正弦公式：，； 两角和与差的正切公式：，. 9.二倍角的正弦公式：. 二倍角的余弦公式：. 二倍角的正切公式：. 10.函数的图象与的图象的关系：函数的图象向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象. 11.正弦定理：在中，角的对边分别为，则.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 12.余弦定理：在中，角的对边分别为，则 ，，. 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 【重点难点复习】 1.三角函数的单调性： （1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”. （2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数. （3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 2.三角函数的奇偶性：对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则. 3.三角函数的周期性：求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解. 4.三角函数的对称性：函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行. 5.辅助角公式 ，其中. 6.正弦定理的常见变形： （1）（边角互化）. （2）.其中，为外接圆的半径. （3）（边化角）. （4）（角化边）. 7.余弦定理的推论：，，. 8.三角形的面积公式 （为外接圆的半径）. 【基本方法与技能复习】 1.利用诱导公式化简求值的思路 （1）给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用. （2）在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错. 2.弧长和扇形面积问题的解题策略 （l）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量. （2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. （3）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. 3.三角函数定义问题的常见类型及解题策略 （1）已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解. （2）已知角的某个三角函数值，求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值. （3）三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况. 4.应用三角恒等变换公式的策略 （1）正用三角函数公式时，要记住公式的结构特征和符号变化规律，如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”. （2）逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式. （3）注意和差角和倍角公式的变形. （4）三角恒等变换常与同角三角函数基本关系、诱导公式等综合应用. 5.解决三角函数的图象变换问题的基本方法 （1）直接法：平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么要先把x的系数提取出来再确定平移的单位长度和方向. （2）方程思想法：可以把变换前后的两个函数变为同名函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解. （3）数形结合法：平移变换的实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移交换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移，一般可选定变换前后的两个函数，的图象与x轴的交点（如图象上升时与x轴的交点），其分别为，（，），则由的值可判断出左右平移的情况，由的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况. 6.给值求值问题的解题策略 从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换. 7.解给值求角问题的一般步骤 （1）确定角的范围，根据条件确定所求角的范围. （2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. （3）结合三角函数值及角的范围求角. 8.利用三角函数处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性. （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 9.正、余弦定理判断三角形形状的方法 （1）角化边：通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系进行判断. （2）边化角：通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系进行判断. 10.解三角形中的最值（取值范围）问题的求解方法 （1）函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换:及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解， （2）基本不等式法：利用正、余弦定理，面积公式建立，，之间 的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解. （3）几何法：根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解. 11.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 （1）找条件.寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向. （2）定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，进行边角之间的转化. （3）求结果，根据前两步的分析，代入求值得出结果. （4）反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性. 12.几个典型三角形应用问题的处理方法. （1）求距离问题的注意事项： ①选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. ②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. （2）处理高度问题的注意事项： ①在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角（视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角）是一个关键. ②在实际问题中，可能会遇到空间与平面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. （3）测量角度问题的一般步骤： ①在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； ②用正弦定理或余弦定理解三角形； ③将解得的结果转化为实际问题的解. 【典型例题复习】 1.【2023年新课标Ⅰ卷】已知，，则( ) A. B. C. D. 2.【2023年新课标Ⅱ卷】已知为锐角，，则( ) A. B. C. D. 3.【2022年新高考Ⅰ卷】记函数的最小正周期为T.若，且的图象关于点中心对称，则( ) A.1 B. C. D.3 4.【2022年新高考Ⅱ卷】若，则( ) A. B. C. D. 5.【2022年新高考Ⅱ卷】（多选）已知函数的图象关于点中心对称，则( ) A.在区间单调递减 B.在区间有两个极值点 C.直线是曲线的对称轴 D.直线是曲线的切线 6.【2022年新高考Ⅰ卷】（多选）下图是函数的部分图像，则( ) A. B. C. D. 7.【2023年新课标Ⅰ卷】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是___________. 8.【2023年新课标Ⅱ卷】已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_________. 9.【2023年新课标Ⅰ卷】已知在中，，. （1）求； （2）设，求AB边上的高. 10.【2023年新课标Ⅱ卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知面积为，D为BC的中点，且. (1)若，求； (2)若，求b，c. 答案以及解析 1.答案：B 解析：依题意，得，所以，所以，所以，故选B. 2.答案：D 解析：法一：由题意，，得，又为锐角，所以，所以，故选D. 法二：由题意，，得，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D. 3.答案：A 解析：因为，所以，解得. 因为的图象关于点中心对称，所以，且，即，所以，又，所以，所以，解得，所以，所以.故选A. 4.答案：C 解析：当时，由题设可得，故可取.于是，，，因此可以排除选项A，D.同理，当时，可取，于是有，因此可以排除选项B.故正确选项为C. 5.答案：AD 解析：解法一：由，得.因为函数的图象关于点中心对称，所以，即，结合，得，所以. 解法二：因为函数的图象关于点中心对称，所以，可得，结合，得，所以. 对于A，解法一：由，得，当时，.因为，所以函数在区间单调递减，故A正确； 解法二：当时，，所以函数在区间单调递减，故A正确； 对于B，解法一：由，得，当时，，当时，，当时，，所以函数在区间只有一个极值点，故B不正确； 解法二：当时，，所以函数在区间只有一个极值点，故B不正确； 对于C，解法一：由选项B解法一的分析知，函数图象的对称轴方程为，而方程无解，故C不正确； 解法二：因为，所以不是曲线的对称轴，故C不正确； 对于D，因为，若直线为曲线的切线，则由，得，，所以或.当时，，则由，解得；当时，，方程无解.综上所述，直线为曲线的切线，故D正确. 综上所述，选AD. 6.答案：BC 解析：由题图可知，函数的最小正周期，，.当时，，将点代入得，，，即，故.由于，故选项B正确；，选项C正确；对于选项A，当时，，错误；对于选项D，当时，，错误.当时，，将代入，得，结合函数图象，知，得，，但当时，，与图象不符合，舍去.综上，选BC. 7.答案： 解析：方法一：令，得，又，则，所以，解得，即的取值范围是. 方法二：令，得，即，，解得，.因为在区间有且仅有3个零点，且，所以的3个零点对应，所以且，解得，即的取值范围是. 8.答案： 解析：对比正弦函数的图象易知，点为“五点（画图）法”中的第五点，所以①. 由题知，，两式相减，得，即，解得.代入①，得，所以. 9.答案：（1） （2）AB边上的高为6 解析：（1）在中，， 因为，所以，所以. 因为， 所以， 展开并整理得， 得， 又，且， 所以. （2）由正弦定理得， 得， 由余弦定理得， 则， 整理得， 解得或， 由（1）得，，所以， 又，所以， 即，所以，所以， 设AB边上的高为h， 则， 即， 解得， 所以AB边上的高为6. 10.答案：(1) (2) 解析：(1)因为D为BC的中点， 所以， 解得， 所以，. 因为，所以. 在中，由余弦定理，得， 所以. 解法一：在中，由余弦定理，得 所以. 在中，由余弦定理，得， 所以. 解法二：在中，由正弦定理，得， 所以， 所以. 所以. (2)解法一：因为D为BC的中点，所以. 因为，所以， 则在与中，由余弦定理，得， 得， 所以，所以，所以. 解法二：因为D为BC的中点，所以. 在与中，由余弦定理，得， 整理，得， 得，所以. 在中，由余弦定理，得， 所以， 解得. 则由，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$