（1）集合与常用逻辑用语 讲义-2025届高考数学一轮复习

（1）集合与常用逻辑用语 ——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义 【高考考情分析】 集合是高考的必考内容，一般试题较为简单，属于送分题，集合主要考查集合的基本运算，常结合不等式进行考查. 常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全（特）称命题的否定，难度中等偏易，以选择题和填空题为主. 【基础知识复习】 1.集合中元素的三个特征： （1）确定性：对于给定的集合，元素必须是确定的. （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，相同的对象归入同一个集合时，只能算作集合的一个元素. （3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的. 2.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作. 3.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作：或.读作：“A包含于B”（或“B包含A”）. 4.集合的相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作. 也就是说，若，且，则. 5.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集. 6.并集的运算性质： （1），即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身； （2），即任何集合与空集的并集等于这个集合本身. 7.交集的运算性质： （1），即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身； （2），即任何集合与空集的交集等于空集. 8.充分条件与必要条件的定义： 一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．由p可以推出q，记作．并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q．此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 9.充要条件的定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.如果，那么p与q互为充要条件. 10.全称量词命题的真假判断：全真为真，一假为假. 存在量词命题的真假判断：一真为真，全假为假. 11.全称量词的否定：，的否定：，.也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 12.存在量词的否定：，的否定：，.也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 【重点难点复习】 1.集合的运算性质及重要结论 （1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性. （2）集合与集合之间的关系：，． （3）空集是任何集合的子集. （4）含有n个元素的集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有个. （5）a.，，； b.，，； c.，； d.，. 2.集合运算中的常用方法 （1）数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解. （2）图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解. （3）Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解. 3.全(特)称命题及其否定 (1)全称命题p：．它的否定：； (2)特称命题p：．它的否定：； 4.充分与必要条件的判断：若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A，B，那么有以下结论： p与q的关系 集合关系 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 【基本方法与技能复习】 1.根据两集合的关系求参数的方法 （1）若集合中元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性； （2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 2.判断集合之间关系的方法 （1）列举法：根据题中限定条件把集合中元素表示出来，然后比较集合中元素的异同，从而找出集合之间的关系. （2）结构法：从集合中元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断. （3）数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点值之间的大小关系，从而确定集合之间的关系. 3.求解集合的基本运算问题的步骤 （1）确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件. （2）化简集合：根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，将集合清晰表示出来. （3）运算求解：利用交集、并集、补集的定义求解，必要时可应用数轴或 Venn 图直观求解. 4.判断充分条件和必要条件的方法 （1）定义法：直接判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假，并注意和图示相结合. （2）等价法：利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. （3）集合法：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若，则A是B的充要条件. 5.全（特）称命题的否定步骤 （1）改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； （2）否定结论：对原命题的结论进行否定. 【典型例题复习】 1.【2023年新课标Ⅰ卷】已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.【2023年新课标Ⅰ卷】记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列.则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3.【2023年新课标Ⅱ卷】设集合，，若，则( ) A.2 B.1 C. D.-1 4.【2022年新高考Ⅰ卷】若集合，，则( ) A. B. C. D. 5.【2022年新高考Ⅱ卷】已知集合，，则( ) A. B. C. D. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为或，所以，故选C. 2.答案：C 解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则， 所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙.所以甲是乙的充要条件，故选C. 3.答案：B 解析：依题意，有或.当时，解得，此时，，不满足；当时，解得，此时，，满足.所以，故选B. 4.答案：D 解析：通解（直接法）因为，所以；因为，所以.所以，故选D. 光速解（特取法）观察选项进行特取，取，则，，所以，排除A，B；取，则，，所以，排除C.故选D. 5.答案：B 解析：通解：由，得，解得，所以，所以，故选B. 优解：因为，所以，故排除C，D；又，所以，故排除A.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$