（4）平面向量——2025届高考数学一轮复习讲义

（4）平面向量 ——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义 【高考考情分析】 平面向量的概念及运算、平面向量基本定理及坐标运算，在高考中的考查突出向量的基本运算与工具性，命题重点为平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及平面向量共线的坐标表示，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度较低，要注重掌握向量的数与形的特征，同时要掌握用坐标法解决向量问题. 平面向量的数量积及应用是高考命题的热点，每年必考，主要考查平面向量的数量积运算，模、夹角问题的求解，平行或垂直问题的求解，有时也会与平面几何、三角函数、不等式、解析几何等内容综合考查，主要以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，要掌握运用数形结合思想和函数与方程思想解决有关最值等综合问题. 【基础知识复习】 1向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则. 三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做a与b的和，记作，即. 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作，，以，为邻边作，则对角线上的向量. 2.对于零向量与任意向量a，有. 3.向量加法的运算律： 交换律：； 结合律：. 4.向量形式的三角不等式：，当且仅当方向相同时等号成立. 5.相反向量： ①定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量. ②性质：零向量的相反向量仍是零向量； 和互为相反向量，于是； 若互为相反向量，则，，. 6.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，. 7.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有： ①； ②； ③. 特别地，有；. 8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 9.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 10.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 11.基底：若不共线，则把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 12.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 13.平面向量的坐标运算： 设向量，则有下表： 运算 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知， 则 14.平面向量共线的坐标表示 （1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使. （2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是. 15.向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角.记作. 当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向. 16.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即. 17.投影向量：如图，设是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 18.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或； （4）由可得，； （5） 19.向量数量积的运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：； （3）分配律：. 20.平面向量数量积的坐标表示：设向量，则. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 21.向量模的坐标表示： （1）若向量，则； （2）若点，向量，则. 由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算. 22.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，，是与的夹角，则. 23.向量垂直的坐标表示：设向量，则. 【重点难点复习】 1.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 2.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 3.投影向量：设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 4.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或； （4）由可得，； （5）. 【基本方法与技能复习】 1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路 （1）先选择一组基底，并运用该基底将相关向量表示出来，再通过向量的运算来解决. （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理. 2.向量线性运算的解题策略 （1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则. （2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 3.已知平面向量的坐标求解相关问题的技巧 （1）利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. （2）利用相等向量的坐标相同以及共线向量的坐标表示列方程（组）进行求解. 4.求非零向量a，b的数量积的方法 （1）定义法：已知或可求两个向量的模和夹角. （2）基底法：直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底（基底中的向量要已知模或夹角），利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解. （3）坐标法：已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积. 5.求模的取值范围或最值时常用的技巧 （1）常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值. （2）要充分利用平面向量“形”的特征，充分挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值. 6.向量的坐标运算问题的求法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 7.解决向量在平面几何中的应用问题的方法 （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决. （2）基底法：选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解. 8.解决向量在物理中的应用问题的策略 （1）力、速度、加速度、位移等都是向量，它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成； （2）动量是数乘向量； （3）功W是一个标量，它是力F与位移s的数量积，即（为F与s的夹角）. 9.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 （l）若题中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，则运用向量共线或垂直或等式成立等得到三角函数的关系式，然后求解. （2）若给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模，则解题思路是通过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性等解决问题. 10.平面向量中有关最值（或取值范围）问题的求解思路 （1）“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； （2）“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决. 【典型例题复习】 1.【2023年新课标Ⅰ卷】已知向量，.若，则( ) A. B. C. D. 2.【2022年新高考Ⅰ卷】在中，点D在边AB上，.记，，则( ) A. B. C. D. 3.【2022年新高考Ⅱ卷】已知向量，，，若，则( ) A.-6 B.-5 C.5 D.6 4.【2021年新高考Ⅰ卷】（多选）已知O为坐标原点，点，，，，则( ) A. B. C. D. 5.【2023年新课标Ⅱ卷】已知向量a，b满足，，则___________. 6.【2021年新高考Ⅱ卷】已知向量，，，则____________. 答案以及解析 1.答案：D 解析：因为，，所以，，因为，所以，所以，整理得.故选D. 2.答案：B 解析：法一：因为，所以，所以 . 法二：如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A，C，D，故选B. 3.答案：C 解析：，，即，解得，故选C. 4.答案：AC 解析： 选项 正误 原因 A √ 因为，，所以 B × 因为，，所以，，由于与的关系不确定，所以无法判断 C √ 因为，，所以 D × 因为，，由于与的关系不确定，所以无法判断 5.答案： 解析：由，得，即①.由，得，整理得，，结合①，得，整理得，，所以. 6.答案： 解析：由，得，所以，所以，解得.由，得，所以，所以，解得.同理可得，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$