精品解析：2024年山东省潍坊市押题数学试题

2024年山东省潍坊市押题卷 一、选择 1. 若圆锥的底面直径为6，高为4，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是以为直径的半圆的一条弦，且．设的面积为，阴影部分面积为，则（ ） A B. C. D. 3. 已知二次函数图象与其向上平移m个单位所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形； 第二步：分别取、的中点M、N，连接； 第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E； 第四步：过点E作，交的延长线于F． 则所作图形中是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形和 5. 现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空 6. 量子点是一种重要低维半导体材料，一般为球形或类球形，直径常在之间．用科学记数法表示是____（其中）． 7. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是________． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，…都是菱形，点，，，…都在x轴上，点，，，…都在直线上，且，，则点C 的坐标是_____． 三、解答 9. 图①是A， B两款新能源汽车在2023 年 6月到12月期间月销量（单位： 辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是_______． ①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势； ②2023年6月到12月，A 款汽车的月平均销量高于 B 款汽车： ③2023年6月到12月，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车： ④2023年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定． （2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出 B 款汽车的平均得分． （3）由图①可以看出，2023年6月~12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A 款汽车的厂家提出一条改进建议． 10. 学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 11. 【建立模型】（1）如图1，点是线段上的一点，，，垂足分别为，．求证：； 【类比迁移】（2）如图2，直线交轴于点，交轴于点垂直于且，求直线的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 12. 一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究： 课本再现： （1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少? 类比探究 （2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值． 13. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 14. 某中学综合实践小组为制作弹簧测力计，需要先了解在弹性限度内，弹簧长度和所挂物体质量的关系．因此设计了如下实验． 【实验操作】 弹簧未挂重物之前长度为，在弹性限度内，将弹簧依次挂上不同质量的物体，然后测量出相应的弹簧长度．得到如下数据: 所挂物体质量 0 1 2 3 4 弹簧长度（测量值） 3 3.5 4.1 4.5 4.8 任务1: 将这些数据表示为点的坐标: ,，经过描点、连线发现点和点 在同一条直线上． 【建立模型】 讨论发现:“”是初始状态下的准确数据，弹簧长度的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画弹簧长度与所挂物体质量的关系． 任务2: 根据以上点的坐标求出三条直线的函数解析式． 反思优化】 经过上面的计算，到底选择哪个函数更合适呢?小组成员决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道:将值代入函数解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的测量值之差的平方和的平均值，记为，即，越小，偏差越小． 任务3: ①计算任务2中三条直线的值； ②如果从这三条直线中选择一条来描述弹簧长度与所挂物体质量的关系，你认为最接近的是直线 ； ③实际上，经过的直线有无数条，我们把最小时对应的函数称为最优函数．若最优函数表达式为，则 ． 15. 阅读理解： （1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ，（定角） 点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． 16. 某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省潍坊市押题卷 一、选择 1. 若圆锥的底面直径为6，高为4，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【详解】解：如图所示， ∵圆锥的底面直径为6，高为4， ∴半径，高， 由勾股定理得：母线， ∴该圆锥的侧面积． 故选B． 2. 如图，是以为直径的半圆的一条弦，且．设的面积为，阴影部分面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，解直角三角形，连接OC，OD，判断出，则根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接OC，OD，过点作于点， 设半径为， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 已知二次函数的图象与其向上平移m个单位所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，以及函数平移规律，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先求得抛物线与x轴的两个交点横坐标，再结合二次函数的图象向上平移m个单位后与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，得到平移后的解析式与x轴有两个交点其横坐标分别为，，利用两点式得到平移后的解析式，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：当时，解得，， 二次函数与x轴的两个交点横坐标为，， 且， 二次函数的图象向上平移m个单位后与x轴有两个交点， 且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 每相邻两点间的距离为； 平移后的解析式与x轴有两个交点其横坐标分别为，， 平移后的解析式为， 即， 解得， 故选：C． 4. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形； 第二步：分别取、的中点M、N，连接； 第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E； 第四步：过点E作，交的延长线于F． 则所作图形中是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理．设正方形的边长为，结合线段中点特点得到，，由勾股定理可得，进而可得，再利用黄金矩形的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为， 、N为、的中点， ，， ， 由画图可知：， 对于矩形，，不是黄金矩形； 对于矩形，，是黄金矩形； 对于矩形，，不是黄金矩形； 对于矩形，，是黄金矩形； 矩形和是黄金矩形， 故选：D． 5. 现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④． 【详解】解：①当，时，则，， ∴， ∴若，则错误，故①错误； ②当，时， ∵， ∴，即， ∴，故②正确； ③∵， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时， ，解得，舍去； ∴方程的解为或，故 ③错误； ④∵， 其图象为： 由图象可得：当时，，故④正确． 综上，正确的有②④，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键． 二、填空 6. 量子点是一种重要的低维半导体材料，一般为球形或类球形，直径常在之间．用科学记数法表示是____（其中）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 7. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和共求出六边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补即可求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：∵图中六边形为正六边形， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正多边形的内角和公式，正多边形的外角与内角的互补，熟记正多边形的内角和公式是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，…都是菱形，点，，，…都在x轴上，点，，，…都在直线上，且，，则点C 的坐标是_____． 【答案】(47,16) 【解析】 【分析】根据菱形的边长求得、、…的坐标然后分别表示出、、…的坐标找出规律进而求得的坐标． 【详解】解：， ， ， 的纵坐标为：，横坐标为， ， ∵四边形，，，…都是菱形，OA1=1， ，，，…， 的纵坐标为：，代入求得横坐标为2， ， 的纵坐标为：，代入求得横坐标为11， ， ， ； 故答案为． 【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键． 三、解答 9. 图①是A， B两款新能源汽车在2023 年 6月到12月期间月销量（单位： 辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是_______． ①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势； ②2023年6月到12月，A 款汽车的月平均销量高于 B 款汽车： ③2023年6月到12月，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车： ④2023年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定． （2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出 B 款汽车的平均得分． （3）由图①可以看出，2023年6月~12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A 款汽车的厂家提出一条改进建议． 【答案】（1）①③④ （2）分 （3）生产A 款汽车的厂家要提高舒适程度和售后服务． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和折线统计图，从图中获取正确信息是解题的关键． （1）由折线统计图逐项分析即可； （2）求加权平均数即可； （3）根据A 款汽车和B款汽车各项得分情况对比提出建议即可． 【小问1详解】 解：①由折线统计图可知，2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；故①正确； ②2023年6月到12月，A 款汽车的月平均销量稳定，但不高于 B 款汽车的月平均销量：故②不正确； ③2023年6月到12月，A 款汽车和B汽车月销量中位数都是在9月份，由图可知，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车：故③正确； ④2023年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，故④正确． 故选：①③④ 小问2详解】 B 款汽车的平均得分为（分）， 答：B 款汽车的平均得分为分． 【小问3详解】 由条形统计图可知，生产A 款汽车的厂家要提高舒适程度和售后服务． 10. 学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 【答案】活动一：见解析；活动二：见解析 【解析】 【分析】活动一：作，，如图，四边形是所求作的平行四边形； 活动二：利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点F是线段的黄金分割点． 【详解】解：活动一：如图所示，四边形是所求作的平行四边形． 活动二：证明：∵在中，， ∴是菱形， ∴，，， ∴，， ，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴点F是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，利用相似三角形得线段比例关系是解题的关键． 11. 【建立模型】（1）如图1，点是线段上的一点，，，垂足分别为，．求证：； 【类比迁移】（2）如图2，直线交轴于点，交轴于点垂直于且，求直线的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）直线解析式为（3）或 【解析】 【分析】[建立模型]（1）根据题意得出，，证明，即可得证； [类比迁移] （2）①过点作轴于点，证明，利用相似的性质得出，设，则，求出比例的各个值，然后代入可得点的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可． [拓展延伸]（3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解． 【详解】[建立模型]（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； [类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点， 则， ∴ ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， 又∵，， ∴．，，， ∴即， 解得：，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为， （3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧， 当时，， 解得：， ∴，； ①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：（舍去），； ②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点， 同理可得， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12. 一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究： 课本再现： （1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少? 类比探究 （2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值． 【答案】【小问1】 【小问2】，理由见解析 【小问3】①；② 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）设正方形零件的边长为，则，证明，得到，代入计算即可得出答案； （2）设每个正方形的边长为，证明得出，从而得到，证明，推出，即可得证； （3）①设每个正方形的边长为．证明得出，从而得到，证明，推出，即可得解；②设每个正方形的边长为．证明得出，证明，推出，即可得解． 【详解】解：（1）设正方形零件的边长为，则， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得． ∴正方形零件的边长为． （2）．理由如下：如图． 设每个正方形的边长为． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）①如图， ， 设每个正方形的边长为． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； ②如图，设每个正方形的边长为． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ． 13. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 【答案】（1）或或或 （2）①15，15；②，理由见解析 （3）cm或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解： ，sin∠BME= 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90° 由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90° ∴BM=BC ① ∴ ② 【小问3详解】 当点Q在点F的下方时，如图， ，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm) 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点Q在点F的上方时，如图， cm，DQ =3cm， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 14. 某中学综合实践小组为制作弹簧测力计，需要先了解在弹性限度内，弹簧长度和所挂物体质量的关系．因此设计了如下实验． 【实验操作】 弹簧未挂重物之前长度为，在弹性限度内，将弹簧依次挂上不同质量的物体，然后测量出相应的弹簧长度．得到如下数据: 所挂物体质量 0 1 2 3 4 弹簧长度（测量值） 3 3.5 41 4.5 4.8 任务1: 将这些数据表示为点的坐标: ,，经过描点、连线发现点和点 在同一条直线上． 【建立模型】 讨论发现:“”是初始状态下的准确数据，弹簧长度的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画弹簧长度与所挂物体质量的关系． 任务2: 根据以上点的坐标求出三条直线的函数解析式． 【反思优化】 经过上面的计算，到底选择哪个函数更合适呢?小组成员决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道:将值代入函数解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的测量值之差的平方和的平均值，记为，即，越小，偏差越小． 任务3: ①计算任务2中三条直线值； ②如果从这三条直线中选择一条来描述弹簧长度与所挂物体质量的关系，你认为最接近的是直线 ； ③实际上，经过的直线有无数条，我们把最小时对应的函数称为最优函数．若最优函数表达式为，则 ． 【答案】任务1：；任务2：AB：；AC：；AE：；任务三：①；；；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和新定义的应用: 任务1：描点、连线画出图象，得出结论； 任务2：利用待定系数法求函数解析式即可； 任务3：①利用w的计算公式分别求出的w值； ②由①和题意得出结论； ③按照w的计算公式计算出，由函数性质得出结论． 【详解】解：任务1：描点、连线： 由图象可知，点和点在同一条直线上． 故答案为：； 任务2：设直线的解析式为 把代入解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为； 同理：直线的解析式为； 直线的解析式为； 任务3：①； ； ； ②由①可知，最接近的是直线， 故答案为：； ③ ， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为0.0076． 故答案为：0.48． 15. 阅读理解： （1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ，（定角） 点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）， （2）2 （3）， 【解析】 【分析】本题要考查的是圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等等，理解题意运用各种性质解题即可． （1）①以点A(定点)为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，得出是的圆心角，而是圆周角，即可求出答案； ②先判断出，进而判断出，进而判断出点P在上，即可求出答案； （2）连接，，由，点B，点M关于直线对称，得出，进而推出点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值； （3）①由正方形性质可证可得，，由余角的性质可证②由题意可得点P的运动路径是以为直径的圆的，由弧长公式可求解． 【小问1详解】 解：①∵ ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1： ∴， 故答案为∶． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以(定弦)为直的上，如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴ ∴， ∴最小值为2， 故答案为∶ 【小问2详解】 如图3，连接，， ∵点B，点M关于直线对称， ∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵ ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶2 【小问3详解】 ①结论∶，， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， 在和中， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以AD为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为 ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 16. 某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 【答案】（1） （2）①能；② 【解析】 【分析】本题是二次函数综合，考查的是二次函数的实际应用，读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来，建立坐标系求出函数解析式是解本题的关键． （1）由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出当时，当时的函数值，再和队员身高比较即可；②求出时，或，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴拋物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴5名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是，， 当时，， 当时，， 长绳能高过所有跳绳队员的头顶； ②当时，， 解得或， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为， 两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全， 最左边的跳绳队员与离他最近的用绳队员之间距离的最大值为， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$