第18练 同角三角函数的基本关系及诱导公式（精练：基础+重难点）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第18练 同角三角函数的基本关系及诱导公式（精练） 1.理解同角三角函数的基本关系式： ，. 2.借助单位圆及三角函数定义推出诱导公式. 3.能够运用同角三角函数基本关系和诱导公式解决相关问题. 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 3．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 4．（2023·全国·高考真题）若，则 ． 【A级 基础巩固练】 一、单选题 1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·三模）已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·浙江·学业考试）已知，则（    ） A． B．1 C． D．0 5．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北邢台·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·甘肃酒泉·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（22-23高一下·四川宜宾·期中）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高三上·江西·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（23-24高一下·甘肃武威·开学考试）点在角终边上，则 ． 15．（23-24高三下·河南·阶段练习）若，则 ． 16．（23-24高三下·广东云浮·开学考试）已知，则 ． 17．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，则 . 18．（2024·江西鹰潭·二模）已知，且，则 . 四、解答题 19．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且． (1)求的值； (2)求的值． 20．（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）（1）化简：； （2）已知，且，求的值． 【B级 能力提升练】 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东泰安·模拟预测）若 ， 则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·浙江·期中）若α为锐角，且，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·河北沧州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．若，则 三、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知π＜α＜2π，若cos （α－7π）＝－，则sin （3π＋α）tan （α－）＝ ． 10．（2024·四川内江·模拟预测）已知，则 ． 11．（2024高三·全国·专题练习）已知是关于的方程的两个实根，则的值为 ． 12．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第18练 同角三角函数的基本关系及诱导公式（精练） 1.理解同角三角函数的基本关系式： ，. 2.借助单位圆及三角函数定义推出诱导公式. 3.能够运用同角三角函数基本关系和诱导公式解决相关问题. 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题 3．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 4．（2023·全国·高考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【A级 基础巩固练】 一、单选题 1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助诱导公式、同角三角函数基本关系与二倍角公式计算即可得. 【详解】由，有为第二象限角，则， 故. 故选：B. 2．（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的平方关系与商数关系即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，又为第二象限角，所以. 故选：A. 3．（2024·四川内江·三模）已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，即，代入即可求解. 【详解】已知向量，，若，则， 即， 所以的值为. 故选：C 4．（2024高二下·浙江·学业考试）已知，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】对两边平方，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，两边平方可得， 即，解得. 故选：D. 5．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据及两角和差的余弦公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 6．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得， 可得 则， 因为，所以与异号，可得为第二或第四象限， 当为第二象限角时，可得； 当为第四象限角时，可得. 故选：C. 7．（2024·河北邢台·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角余弦公式和诱导公式化简即可. 【详解】， 故选：B 8．（2024·甘肃酒泉·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式可得，利用诱导公式结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，即， 所以. 故选：B. 9．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角形函数的平方关系、商数关系，结合二倍角公式，转化求值即可． 【详解】A．，故选项正确，不符合题意； B．，故选项正确，不符合题意； C．，故选项不正确，符合题意； D．，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 二、多选题 10．（22-23高一下·四川宜宾·期中）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角函数诱导公式一一化简各选项中的三角函数式，判断正误，即可得答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误， 故选：BC 11．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC. 12．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断. 【详解】由.故A正确； ，故C正确； ，故D错误； 因为，所以为第一或第三象限角. 若为第一象限角，则，所以； 若为第三象限角，则，所以. 所以B错误. 故选：AC 13．（23-24高三上·江西·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由同角三角函数基本关系，二倍角公式，两角和的正弦公式判断 【详解】因为，且， 所以，，故A正确，B错误； ，故C正确； ， 则，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 14．（23-24高一下·甘肃武威·开学考试）点在角终边上，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解. 【详解】∵点在角终边上， ∴，， ∴， 故答案为：. 15．（23-24高三下·河南·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】先求出，再利用二倍角公式及商数关系化弦为切计算即可. 【详解】由，可知， ． 故答案为：. 16．（23-24高三下·广东云浮·开学考试）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用角的变换，结合诱导公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 17．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，则 . 【答案】/0.875 【分析】根据弦切互化可得，平方得，即可根据完全平方求解. 【详解】由得，平方可得， 故， ， 故答案为： 18．（2024·江西鹰潭·二模）已知，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得，即可得到，由正弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，又， 所以， 所以 . 故答案为： 四、解答题 19．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正切函数定义得到，从而得到正弦和余弦； （2）弦化切代入计算即可. 【详解】（1），， ，，则． （2）原式． 20．（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）（1）化简：； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）（2）利用三角函数的诱导公式与基本关系式化简求值即可. 【详解】（1） . （2）因为，所以， 又，所以， 所以. 【B级 能力提升练】 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合和角的正切公式求出，再利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法计算即得. 【详解】由，得，解得， 所以. 故选：B 2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知角表示待求角，根据二倍角的余弦公式，诱导公式求解. 【详解】 ， 故选：D． 3．（2024·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：由已知得，可得，两边平方化简可求结论. 法二：由已知得，利用辅助角公式可得，可求得，进而可求结论. 【详解】法一：由题知， 得， 所以，两边同时平方，可得， 所以，所以． 法二：由，得， 所以， 即， 即，又， 所以，所以． 故选：B． 4．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，可求出P点坐标，根据三角函数定义即可求得，利用二倍角公式化简求值，即可得答案. 【详解】由于， ， 所以， 由于点在角的终边上，所以， 故， 故选：C. 5．（2024·山东泰安·模拟预测）若 ， 则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的正切公式化简可得，再由二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】由 ，得， 所以，即， 所以． 故选：D． 6．（23-24高二下·浙江·期中）若α为锐角，且，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据α为锐角和的值，得到的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出的值，然后根据二倍角的正弦公式求出的值，再根据诱导公式及正弦函数为奇函数，即可得到cos2α的值． 【详解】∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， 则． 故选：A． 二、多选题 7．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】A选项由同角三角函数的基本关系式可解； B选项先结合诱导公式化简，再利用两角和与差的正切公式化简求值； C选项将原式变形得，再代值求解； D选项活用“1”，再结合三角函数的基本关系式化简求值. 【详解】对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，，故C选项错误； 对于D选项，，故D选项错误． 故选：AB． 8．（23-24高三下·河北沧州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用平方关系及二倍角判断ABC,利用商数关系及差角的正切公式判断D. 【详解】对A,因为，则，即， 所以，所以选项不正确； 对B,因为，所以，又，所以， ， 又，所以，所以B选项正确； 对C，， 所以C选项正确； 对，因为， 若，则，所以选项正确， 故选：BCD. 三、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知π＜α＜2π，若cos （α－7π）＝－，则sin （3π＋α）tan （α－）＝ ． 【答案】 【详解】 解析：因为cos （α－7π）＝cos （7π－α）＝cos （π－α）＝－cos α＝－，所以cos α＝，所以sin （3π＋α）tan （α－）＝sin （π＋α）[－tan （－α）]＝sin αtan （－α）＝sin α·＝sin α·＝cos α＝. 10．（2024·四川内江·模拟预测）已知，则 ． 【答案】. 【分析】由三角函数同角关系及二倍角公式计算即可. 【详解】因为, 所以, 即, 因为，且异号， 所以，即, 所以. 所以. 故答案为：. 11．（2024高三·全国·专题练习）已知是关于的方程的两个实根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用韦达定理，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 可得，平方可得，可得， 所以. 故答案为： 12．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】先将条件式化简可得，再利用诱导公式和二倍角余弦公式将所求式子变形得解. 【详解】由，得， 即，所以， 所以 . 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$