拓展03值域问题（八大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

拓展03值域（最值）问题 题型一 单调性法 题型五 导数法 题型二 二次函数结合其他函数 题型六 分类讨论 题型三 数形结合法 题型七 已知值域（最值）求参数 题型四 换元法 题型八 已知值域（最值）求定义域 题型一 单调性法 例1．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 例2．函数的值域是 ． 练习1．若，则函数的最大值与最小值的和为 . 练习2．函数的值域为 . 练习3．函数的值域为 ． 练习4．已知函数 . (1)判断 的奇偶性，并说明理由； (2)求 时， 的值域. 题型二 二次函数结合其他函数 例3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数，，求函数的定义域和值域. 练习1．函数的最小值为 ． 练习2．函数在的最小值是 ． 练习3．函数的最小值为 . 练习4．函数，的值域为 ． 题型三 数形结合法 例5．记实数的最小数为，若，则函数的最大值为 ． 例6．函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 练习1．定义运算，例如，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 练习2．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为 练习4．对，记，函数 ，其的最小值是 ． 题型四 换元法 例7．函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 例8．函数的最大值是（    ） A． B． C． D．4 练习1．函数的值域是 ． 练习2．求函数的值域． 练习3．求函数的值域 练习4．求函数的最大值． 题型五 导数法 例9．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 例10．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数，求在上的值域. 练习1．函数的最小值为 ． 练习2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知均为正实数，，则的最大值为 ． 练习4．已知函数． (1)若，求a的取值范围． (2)点在的图象上，设函数，求在上的值域． 题型六 分类讨论 例11．已知二次函数的图象过点，且最小值为． (1)求函数的解析式； (2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值． 例12．已知函数（，）． (1)若，，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 练习1．已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)求函数的最小值. 练习2．已知函数是定义在R上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)设，当时，试求函数的最大值． 练习3．已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，设函数最小值为，求函数的解析式. 练习4．已知函数（，且）． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的差为1，求a的值． 题型七 已知值域（最值）求参数 例13．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 例14．已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值. 练习2．函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数，若存在实数、，使函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 练习4．若函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是 . 题型八 已知值域（最值）求定义域 例15．设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 例16．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 练习1．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）函数的定义域为，值域，则下列结论中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数在处取得极小值，且，若值域为，则其定义域可以为 ．（写出一个符合条件的即可） 练习4．已知函数，若存在实数m，使得函数的定义域和值域都是(m>1)，则m的值是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展03值域（最值）问题 题型一 单调性法 题型五 导数法 题型二 二次函数结合其他函数 题型六 分类讨论 题型三 数形结合法 题型七 已知值域（最值）求参数 题型四 换元法 题型八 已知值域（最值）求定义域 题型一 单调性法 例1．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 例2．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】当时，，所以， 当时，， 综上，所以的值域是 故答案为： 练习1．若，则函数的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，， 所以 故答案为： 练习2．函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为，且在单调递减， 则，且， 所以的值域为. 故答案为：. 练习3．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】若，则，可知在内单调递减， 当时，；当时，； 所以； 若，则， 对于，可知在内单调递增， 当时，；当时，； 所以当时，； 综上所述：函数的值域为. 故答案为：. 练习4．已知函数 . (1)判断 的奇偶性，并说明理由； (2)求 时， 的值域. 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2) 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 由题意知，的定义域为R， 由，得， 所以， 故为奇函数； （2）， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 则函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，且， 所以在上的值域为. 题型二 二次函数结合其他函数 例3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 因为， 所以当时，可得；当时，可得， 所以函数的值域为. 故选：D. 例4．已知函数，，求函数的定义域和值域. 【答案】定义域为，值域为. 【详解】由题意，在函数中，需满足，解得， 所以函数的定义域为. 由 . 因为，所以， 因此，当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. 由二次函数和对数函数的连续性，可得函数的值域为. 【点睛】关键点点睛：求解函数的值域时，将函数的解析式变形为，利用二次函数的基本性质求解是解题的关键. 练习1．函数的最小值为 ． 【答案】0 【详解】解：设，则， 的定义域为， 所以函数，在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减可得：在区间上单调递减，在上单调递增， ，最小值是0． 故答案为：0． 练习2．函数在的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 练习3．函数的最小值为 . 【答案】 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 练习4．函数，的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，， ， 当时，；当时，； ，的值域为. 故答案为：. 题型三 数形结合法 例5．记实数的最小数为，若，则函数的最大值为 ． 【答案】 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实红线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故答案为：． 例6．函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】， 由于在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增， 又，即分段处端点值相等， 故在处取得最小值，最小值为. 故选：B 练习1．定义运算，例如，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意函数， 当时，， 当时，， 故作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 由图可知，函数的值域为. 故选：B 练习2．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数满足，且当时， 当时，可得； 当时，可得， 所以在区间上，可得， 作函数的图象，如图所示， 所以当时，， 故选：B.    练习3．已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为 【答案】5 【详解】函数的图象如下：    所以， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以在时取得最小值，最小值为5. 故答案为：5. 练习4．对，记，函数 ，其的最小值是 ． 【答案】 0 【详解】当，当时，，，即，当时等号成立， 当时，，解得：或，即 当时，， 如图所示为函数图像， 函数表示上述两个函数值中最大者， 题目要求为两个最大者中较小的那个，． 故答案为：； 题型四 换元法 例7．函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 令，则， 设，可得， 当时，有最大值为2， 所以函数的最大值为2. 故选：D. 例8．函数的最大值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】由，解得，故的定义域为. 设， 则， 其中，， ∵，则， ∴当，即时， 取最大值，即函数的最大值是. 故选：B. 练习1．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】法一：由题且， 令，则，且， ∴且. 故函数的值域是. 法二：由题且， 令，则，，且， ∴且. 故函数的值域是. 故答案为：. 练习2．求函数的值域． 【答案】． 【详解】令，则，． ①当时，； ②当时，． ∵（当且仅当，即时“=”成立）， ∴． 综上，函数的值域为． 练习3．求函数的值域 【答案】 【详解】函数，定义域为， 令，所以， 所以， 函数的图象为开口向下，对称轴方程为的抛物线， 所以时，函数取最大值，最大值为， 故函数的值域为 练习4．求函数的最大值． 【答案】 【详解】不妨设，，则， 因，由可得 ，当且仅当时等号成立， 由，因， 故得：，当且仅当时函数取得最大值. 题型五 导数法 例9．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，，， 所以函数在上的值域为. 故选：A. 例10．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数，求在上的值域. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以. 因为函数在上单调递增，所以恒成立， 则，解得， 即实数的取值范围是； （2）因为，所以. 由，得或；由，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 因为，，，， 所以在上的值域为. 练习1．函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】由函数的定义域为， 1.若，函数，此时在上单调递减， 此时函数的最小值为； 2.若，函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以此时的最小值为； 又由，即， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 练习2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 设， 则，从而， 由，得；由，得或； 则在和上单调递减，在上单调递增． 因为，所以， 即的值域为． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是化解函数的解析式，从而可以利用换元，转化为三次函数求函数的值域问题. 练习3．已知均为正实数，，则的最大值为 ． 【答案】1 【详解】因为均为正实数，，所以， 所以 令， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，上递减， 所以， 所以的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是由已知条件求出，代入中化简，再构造函数，转化为求函数的最值问题，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 练习4．已知函数． (1)若，求a的取值范围． (2)点在的图象上，设函数，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），故在上单调递增， 则有，故，即； （2）由在的图象上，则，即，得， 则，， 令，可得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得极大值，， 当时，取得极小值，， 又， 所以在上的值域为. 题型六 分类讨论 例11．已知二次函数的图象过点，且最小值为． (1)求函数的解析式； (2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值． 【答案】(1) (2)1或3 【详解】（1）由题意设函数的解析式为， 由已知可得二次函数的顶点坐标为， 代入得，解得， 所以二次函数解析式为，即． （2）由（1）知， 则其图象的开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以，解得或（舍去），所以； 当，即时，在对称轴处取得最小值，不满足题意； 当时，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以，解得或（舍去）． 综上所述：t的值为1或3． 例12．已知函数（，）． (1)若，，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）依题意，函数， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是. （2）由（1）知，令，，， 函数图象的对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 则当，即时，； 当，即时，当，即时，， 所以当时，在上的最小值为0； 当时，在上的最小值为. 练习1．已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，函数， 令， 则函数为，， 当对称轴时， 函数y在上严格单调递减， 所以最大值在处取到， ； 当对称轴时， 函数在单调递增，在单调递减， 所以最大值在处取到，； 当对称轴时， 函数在上严格单调递增， 所以最大值在处取到，. 综上 （2）如图所示， 当时，函数单调递减，最小值为； 当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以最小值为； 当时，函数单调递增，最小值为； 综上所述，的最小值为，此时.    练习2．已知函数是定义在R上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)设，当时，试求函数的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得，解得， 又，解得，于是， 显然，因此当，时，是奇函数， 所以 （2）设，则， 由，得，，， 因此，即， 所以在上为增函数． （3）由（1）知，， 令，由，得，函数， 当时，函数在上单调递增，则， 当时，抛物线开口向下，对称轴方程为， 当，即时，函数在上单调递增，则， 当，即时，函数在上单调递减，则， 当，即时，， 所以函数的最大值. 【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可. 练习3．已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，设函数最小值为，求函数的解析式. 【答案】(1)-4 (2) 【详解】（1）当时，， 结合二次函数的性质可得，当，即时，取最小值-4； （2）因为，令， 所以有，由二次函数的性质可知对称轴为， 当时，函数最小值， 当时，函数最小值， 当时，函数最小值， 综上：. 练习4．已知函数（，且）． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的差为1，求a的值． 【答案】(1)详解和证明见解析； (2)或. 【详解】（1）当时，函数为减函数；当时，函数为增函数. 证明如下： 由，得函数的定义域为， ，且，则， ， 当时，函数在上为减函数， 所以，即， 此时函数在上为减函数； 当时，函数在上为增函数， 所以，即， 此时函数在上为增函数； （2）由(1)知，当时，函数在上为减函数； 则在上，， 得，解得； 当时，函数在上为增函数； 则在上，， 得，解得； 综上，a的值为或. 题型七 已知值域（最值）求参数 例13．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【详解】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 例14．已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】（1）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， （2）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 练习1．函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值. 【答案】3或 【详解】∵ 令，则， 则，其对称轴为. 该二次函数在上是增函数. ①若，由，得， 故当，即时， ，解得(舍去). ②若，由，可得， 故当，即时， . ∴或(舍去). 综上可得或. 练习2．函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的值域为R，得的值域包含正实数集， 因此，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 练习3．已知函数，若存在实数、，使函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得， 所以在上递增，所以在上递增， 因为在上的值域为， 所以，， 所以方程在上有两个不同非负数解， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 练习4．若函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，函数在上单调递减，， 当时，，函数在上单调递增， 则， 函数在上单调递减，则，此时函数的值域为， 当时，由，得， 当时，由，得，      由在既有最大值，又有最小值，得，， 则，由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 题型八 已知值域（最值）求定义域 例15．设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 【答案】D 【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误； 对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误； 对于C、D项， ①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或. 当时，即，此时有； 当时，即，则，此时有. 综上所述，. 故C项错误，D项正确. 故选：D. 例16．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】若函数单调，则的长度最小，若函数单调递增， ，此时区间长度是1，若函数单调递减， 则，此时区间长度是1，所以区间的长度的最小值是1， 若函数在区间不单调，值域又是，则区间的最大值， 此时区间长度是，则区间的长度的最大值和最小值的差是. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是区间的概念，函数的定义域和值域，对数函数的单调性，属于基础题型. 练习1．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 练习2．（多选）函数的定义域为，值域，则下列结论中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】∵， ∴令（），则， 由已知，， ∵，∴由二次函数的性质可知， 当且仅当，即时，；当且仅当，即时，， ∴，，故选项A错误，选项C正确，选项D正确； 设集合， 由二次函数的性质，若当时，值域为， 则，∴由指数函数的单调性知，，故选项B正确. 故选：BCD. 练习3．已知函数在处取得极小值，且，若值域为，则其定义域可以为 ．（写出一个符合条件的即可） 【答案】(答案不唯一) 【详解】由题意知，， 因为函数在处取得极小值，且， 所以，解得， 所以， 令或， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增， 故函数在处取得极小值，在处取得极大值，且， 令，则，解得， 若满足的值域为，则定义域可以为. 故答案为：(答案不唯一) 练习4．已知函数，若存在实数m，使得函数的定义域和值域都是(m>1)，则m的值是 ． 【答案】3 【详解】函数的图象对称轴为，因此，在上单调递增， 依题意，而，则，即，而m>1，解得， 所以m的值是3. 故答案为：3 2 学科网（北京）股份有限公司 $$