精品解析：2024年山东青岛市中考数学模拟押题预测试试题

2024年中考模拟押题预测 数 学 试 题 注意事项: 1.本试卷总分120分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上. 3.答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;答 非选择题时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效。 4.考试结束,监考人员将答题卡收回。 卷Ⅰ(选择题 30分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 华为Mate60Pro搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000纳米．数据7000000000用科学记数法为（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0.1010010001 D. 3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）． A. 这组数据的中位数是 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据众数是 D. 这组数据的方差是 7. 某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如下表：动力动力臂阻力阻力臂 动力臂() 动力() 请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近的是( ) A. 300N B. 180N C. 150N D. 120N 8. 如图所示，为了测量一个圆形徽章的半径，小明把徽章与直尺相切于点，水平移动一个含角的三角尺与徽章相切时停止，三角尺与直尺交于点．小明测量出，则这枚徽章的半径是（ ）． A. B. C. D. 4 9. 如图所示，直线相交于点O，“阿基米德曲线”从点O开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为2，，6，，10，，…那么标记为“”的点在（ ） A. 射线上 B. 射线上 C. 射线上 D. 射线上 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列说法： ①； ②； ③； ④当时，函数y随x的增大而增大； ⑤当时，． 其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 卷Ⅱ（非选择题 90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 化简： ______． 13. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小，则的取值范围是_________． 14. 若、是一元二次方程的两根，则的值为_____． 15. 正六边形内接于，的半径为，则该正六边形的面积为______． 16. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为_____． 三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 计算：． 18. 先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值. 19. 解方程或方程组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 20. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接与交于点，连接．求证：． 21. 为了让同学们养成良好的劳动习惯，某班开展了“一人一件家务事”的主题活动，要求全班同学人人参与经统计，同学们做的家务类型分为“洗衣”“拖地”“做饭”“其他”学习委员根据班上同学反馈的信息绘制成了如下的统计图表． 家务类型 洗衣 拖地 做饭 其他 人数人 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）填空： ______； （2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为______； （3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的名同学，其中有名男生，名女生，现准备从表现优异的同学中随机选取名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选名同学均为男生的概率． 22. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于的二次多项式的特征系数对为______； （2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，求的值． 23. 如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求劣弧的长． 24. 在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°(∠MON＝30°)，站立在水平地面上身高1.7米的小明AB在地面的影长BP为1.2米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5米，求大树的高度． 25. 抛物线交x轴于A，B两点（A在B左边），C是抛物线的顶点． （1）当时，直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，点，N均为（1）中抛物线上的点，，求点N的坐标； （3）如图2，将抛物线平移使其顶点为，点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由． 26. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求长； 深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考模拟押题预测 数 学 试 题 注意事项: 1.本试卷总分120分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上. 3.答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;答 非选择题时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效。 4.考试结束,监考人员将答题卡收回。 卷Ⅰ(选择题 30分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 华为Mate60Pro搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000纳米．数据7000000000用科学记数法为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1，进行作答即可． 【详解】解：7000000000大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴7000000000用科学记数法表示为， 故选：D． 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0.1010010001 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A. 是无理数，符合题意； B. 是有理数，不符合题意； C. 0.1010010001是有理数，不符合题意； D. ，是有理数，不符合题意； 故选A． 3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：   故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标，即， 故选：B． 6. 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）． A. 这组数据的中位数是 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据的众数是 D. 这组数据的方差是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为，，，，，再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】根据方差公式可得这一组数据为，，，，， 、这组数据的中位数是，原选项不符合题意； 、这组数据的平均数是，原选项不符合题意； 、由于出现次数最多，则这组数据的众数是，原选项不符合题意； 、∵这组数据的平均数是， ∴， ∴原选项符合题意； 故选：． 7. 某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如下表：动力动力臂阻力阻力臂 动力臂() 动力() 请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近的是( ) A. 300N B. 180N C. 150N D. 120N 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由表格可知动力臂与动力成反比的关系，设，将代入得出，再令，计算即可得解，解题的关键是从表格中得出动力臂与动力成反比的关系． 【详解】解：由表格可知动力臂与动力成反比的关系， 设， 将代入得：， 解得：， ， 把代入得：， 解得：， 故选：C． 8. 如图所示，为了测量一个圆形徽章的半径，小明把徽章与直尺相切于点，水平移动一个含角的三角尺与徽章相切时停止，三角尺与直尺交于点．小明测量出，则这枚徽章的半径是（ ）． A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，锐角三角形函数． 设徽章的圆心为点O，连接，，．由求得，从而在中，，代入即可求解． 【详解】解：如图，设徽章的圆心为点O，连接，，， 由题意得，与、分别相切于B、C， ∴，， 因为 ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 9. 如图所示，直线相交于点O，“阿基米德曲线”从点O开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为2，，6，，10，，…那么标记为“”的点在（ ） A. 射线上 B. 射线上 C. 射线上 D. 射线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了规律型−图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 观察图形的变化可知：偶数项交点为：、、、…．且的奇数倍在射线上，的偶数倍在射线上，根据是偶数项，然后计算求解即可． 【详解】解：观察图形的变化可知：奇数项交点为：2、6、、…（为正整数）； 偶数项交点为：、、、…． ∵射线上，，，射线上，，， ∴的奇数倍在射线上，的偶数倍在射线上， ∵是偶数项， ∴， 解得，． ∴在射线上， 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列说法： ①； ②； ③； ④当时，函数y随x的增大而增大； ⑤当时，． 其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式等知识点的应用，根据图象的开口向下和与轴的交点位置，求出，，即可判断①；根据抛物线的顶点的横坐标，即可判定②；把代入抛物线，根据纵坐标的值，即可判断③；根据图象的性质（部分图象的延伸方向）即可判断④；根据图象在轴的上方时，，即可求出⑤． 【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点在轴的正半轴上， ，， ， ①错误； 由图象可知：， ， ②正确； 当时，， ③错误； 由图象可知：当时，函数y随x的增大而增大， ④正确； 根据图象，当时，， ⑤正确； 正确的说法有②④⑤． 故选：D 卷Ⅱ（非选择题 90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式、分式有意义的条件，根据二次根式、分式有意义的条件可求解x的取值范围，进而可求解． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义， 则，解得：． 故答案为：． 12 化简： ______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．先将分母变为相同的形式，然后进行分子的运算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小，则的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数时，它图象所在的每个象限内y随x的增大而减小． 【详解】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，对于反比例函数 （），（1），反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大． 14. 若、是一元二次方程的两根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得，再代入即可解决此题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ， 则 ， 故答案为：． 15. 正六边形内接于，的半径为，则该正六边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．连接，易证是等边三角形，由等边三角形的性质可得正六边形的边长． 详解】解：连接， 设边的高为h， ∵多边形是正六边形，的半径为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ， 正六边形的面积为 故答案为：． 16. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得到三角形的面积，由于，得到，即可得到结论． 【详解】解：轴， ， ∴三角形的面积， ， ， ， ． 故答案：2． 三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，立方根，绝对值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．根据乘方，立方根，去绝对值、然后计算加减法即可得到结果． 详解】解：原式 ． 18. 先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值. 【答案】；时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴把代入得：原式． 19. 解方程或方程组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），； （2）； 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解不等式组： （1）用因式分解法求解即可得到答案； （2）分别解不等式，再根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解即可得到答案； 【小问1详解】 解：因式分解得， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：解不等式①得， ， 解不等式②得， ， ∴不等式组的解集为：． 20. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接与交于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，先由平行四边形的性质得到，，进而证明，再证明即可利用证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴。 21. 为了让同学们养成良好的劳动习惯，某班开展了“一人一件家务事”的主题活动，要求全班同学人人参与经统计，同学们做的家务类型分为“洗衣”“拖地”“做饭”“其他”学习委员根据班上同学反馈的信息绘制成了如下的统计图表． 家务类型 洗衣 拖地 做饭 其他 人数人 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）填空： ______； （2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为______； （3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的名同学，其中有名男生，名女生，现准备从表现优异的同学中随机选取名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选名同学均为男生的概率． 【答案】（1）5 （2）144 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计表，扇形统计图，用画树状图或列表的方法求概率．熟练掌握从统计图表中获取有用信息和用画树状图或列表的方法求概率是解题的关键． （1）用做饭的人数除以做饭点的百分比，得抽取的总人数，再减去“洗衣”、“拖地”、 “刷碗”的人数即可求得到m值； （2）用乘以“拖地”人数所占的百分比，即可求解； （3）画树状图或列表分析出所有可能的结果数和均为男生的结果 数，再用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为人， 则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中所选名同学均为男生的的结果有种， 选名同学均为男生的概率为． 22. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于的二次多项式的特征系数对为______； （2）求有序实数对特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义，整式的乘法，熟练运用整式乘法法则是解题的关键． （1）根据特征系数对的定义直接得出结果； （2）根据有序数对写出对应的多项式，由多项式的乘法法则求解即可； （3）根据有序数对写出含有m、n的多项式，再由其乘积为即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据题意可知关于的二次多项式的特征系数对为； 【小问2详解】 解：有序实数对的特征多项式为：， 有序实数对的特征多项式为：， ； 【小问3详解】 解：有序实数对的特征多项式为：， 有序实数对的特征多项式为：， ， 有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为， ，，， ，即的值为． 23. 如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求劣弧的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得，从而证得是的切线； （2）根据圆周角定理、勾股定理得出，根据三角函数的定义求得，进而得到，然后根据弧长公式解答即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵是⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； 【小问2详解】 连接，， ， ， ， ， , ， ， 劣弧的长 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以解直角三角形等，综合运用这些知识是解决问题的关键． 24. 在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°(∠MON＝30°)，站立在水平地面上身高1.7米的小明AB在地面的影长BP为1.2米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5米，求大树的高度． 【答案】米． 【解析】 【分析】根据题意过点Q作QE⊥DC于点E，由题意可得：△ABP∽△CEQ，进而得出EQ，DE，EC的长，即可得出答案． 【详解】过点Q作QE⊥DC于点E，由题意可得：△ABP∽△CEQ，则， 故． ∵EQ∥NO，则∠1＝∠2＝30°． ∵QD＝5， ∴DE，EQ， 故，解得：EC， 故CD=CE+DE（米）． 答：大树的高度为米． 【点睛】本题考查了平行投影以及解直角三角形的应用，根据题意得出EQ的长是解题的关键． 25. 抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点． （1）当时，直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，点，N均为（1）中抛物线上的点，，求点N的坐标； （3）如图2，将抛物线平移使其顶点为，点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由． 【答案】（1），, （2） （3）直线过定点，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，令，求出x的值，可求A、B的坐标，把解析式化为顶点式可求C的坐标； （2）过点作，过点作轴于点，过点作延长线于点， 证明， 得到，利用，，即可求出点坐标，结合，可求出直线解析式，联立抛物线方程即可求出另一个交点，也就是点． （3）将抛物线平移使其顶点为可得此时抛物线解析式为：，设，设过点P的直线为，与抛物线解析式联立方程组，利用过点P的直线与抛物线只有一个公共点，得出a与p的关系式，则直线解析式为，直线解析式为，分别与抛物线解析式联立，设点E的横坐标为，则是的根，利用根与系数的关系可求，同理可求，则是方程的两个实数根，方程变形为，于是得到点E、F是抛物线与直线的交点，则结论可得． 【小问1详解】 当时，抛物线为， 当时，，解得， ，， ， ． 【小问2详解】 根据图1，可知抛物线经过原点，代入，得，解得，（由于，故舍去）， 抛物线解析式为：． 点在抛物线上， ． ． 过点作，如图所示， ，， ． 过点作，过点作轴于点，过点作延长线于点，如图所示， 设点，则，，，， ，， ，又， ， ， ， ， 又， ， ，即，解得， 点， 设直线解析式为，将，，代入得 ，解得， 直线解析式为， 联立，解得，， 直线与抛物线的另一个交点为， 点N的坐标． 【小问3详解】 将抛物线平移使其顶点为， 此时抛物线解析式为：， 点P为直线上的一点， 设， 设过点P的直线为， ， ， 过点P的直线为， 联立方程组， ， 过点P的直线，与抛物线只有一个公共点， ，即， ，， 则直线解析式为：， 直线解析式为：， 联立方程组， ， 设点E的横坐标为，则是的根， 过点P的直线与抛物线只有一个公共点， 有两个相等的实根， ， ， 同理设点F的横坐标为，， ， ， 是方程的两个实根， ， ，即点的坐标满足方程组， 点是抛物线与直线的交点， ，过定点， 直线过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，包括求二次函数与坐标轴交点问题，特殊图形及一次函数与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系，三角形相似的判定和性质，作出合适的辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 26. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【解析】 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$