精品解析：四川省成都市新津中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题

四川省新津中学高2021级（高一）下学期3月月考试题 数 学 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若则（ ） A. B. C. D. 3. 对于向量，有下列表示： ①，；②，； ③，；④，． 其中，向量，一定共线的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 4. 如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 5. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ） A B. C. D. 6. 已知向量＝(0,－2)，＝(1,)，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. 3 C. － D. －3 7. 在中，点是上一点，且，又，则的值为 A. B. C. D. 8. 已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量若则的值为 A. B. C. D. 10. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则单调递增区间是 A B. C. D. 12. 定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13. 已知两个不共线向量，且，若三点共线，则的值为________． 14. 求函数的定义域为_________． 15. 已知，，且，，则______． 16. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 已知. （1）求值； （2）求的值. 18. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标; （2）若，且与垂直，求与的夹角θ. 19. 设向量 （I）若 （II）设函数 20. 已知，函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）若将函数向右平移个单位得到函数，且为奇函数，求的最小值； 21. 已知函数（，，是常数，）的最小正周期为，并且当时，． （1）求的解析式； （2）在闭区间上是否存在的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在．请说明理由． 22. 已知函数. （1）若为锐角，， ，求及的值； （2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值； （3）已知，，求及的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省新津中学高2021级（高一）下学期3月月考试题 数 学 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式的逆用，将条件中的式子进行化简，从而得到答案. 【详解】 . 故选：D. 【点睛】本题考查根据两角差的正弦公式的逆用求值，属于简单题. 2. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式变形后求得，平方后结合正弦的二倍角公式可得． 【详解】因为，， ，所以， 平方得，，． 故选：A． 3. 对于向量，有下列表示： ①，；②，； ③，；④，． 其中，向量，一定共线的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线定理逐个分析判断 【详解】解：对于①，因为，，所以，所以向量，一定共线，所以①正确， 对于②，因为，，所以，所以向量，一定共线，所以②正确， 对于③，因为，，所以，所以向量，一定共线，所以③正确， 对于④，若非零向量，共线，则存在一个实数使，即，所以，无解，所以非零向量，不共线，所以④错误， 故选：A 4. 如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 【答案】A 【解析】 【分析】由单位圆中的余弦线即可求解. 【详解】如图：角的终边与单位圆相交于点，过点作轴于点， 由三角函数线的定义可知：， 由图知：设角的终边与单位圆相交于点，当角的终边与角的终边关于轴对称时， 过点作轴的垂线，则垂足为点，所以， 所以当角与的终边关于轴对称时，， 故选：A. 5. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据扇形面积公式即可求出. 【详解】设扇形的圆心角为， 则，即，解得. 故选：C. 6. 已知向量＝(0,－2)，＝(1,)，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. 3 C. － D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】若向量与的夹角为，则向量投影与向量数量积的关系有，即可求投影. 【详解】若向量与的夹角为，则， 而向量在方向上的投影为， ∴. 故选：D 7. 在中，点是上一点，且，又，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先由条件以及两个向量的加减法的原则，以及其几何意义，可得，从而得到答案. 详解：由题意可得, 又， . 故选：A. 点睛：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 8. 已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，根据题意列出关于、的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标. 【详解】设，其中，则. 由题意得，解得，即. 故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题. 9. 已知向量若则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析： ,又因为,故,所以. 考点：1、三角恒等变换；2、同角三角函数基本关系. 10. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算． 【详解】由得，所以， 又，所以， 由，解得，或（舍去，此时不是锐角）， ，是锐角，， ，则， 所以． 故选：C． 【点睛】思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式．解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序．． 11. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间. 【详解】因为对任意恒成立，所以， 则或， 当时，，则（舍去）， 当时，，则，符合题意， 即， 令，解得，即的单调递增区间是；故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题. 12. 定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表达式，在根据函数思维求出f（x）最小值解不等式即可. 【详解】因为，所以， 因为时，， 所以, 因为函数满足， 所以， 所以，， 又因为，恒成立， 故， 解不等式可得或. 【点睛】考查函数的解析求法，解本题关键就是要能合理的运用已知条件将变量的范围变化到已知表达式范围中，然后根据函数的最值思维即可得出结论. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13. 已知两个不共线向量，且，若三点共线，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，由三点共线，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由两个不共线向量，且， 可得， 又因且三点共线，可得， 即，可得，解得. 故答案为：. 14. 求函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答. 详解】函数有意义，则，即， 解，得， 解，得，于是， 所以所求定义域为. 故答案为： 15. 已知，，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】题目为给值求值的应用，观察题目中角度可得：所求角等于已知两个角的差，同时根据题目中角的范围，应用同角三角函数关系，已知正余弦其中一个，可以求出另外一个的值，最后代入余弦的差角公式即可 【详解】因为，，所以， 由题得：，所以； 同理：，所以，所以： 故答案为： 16. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得. 【详解】因t=2sin18°，则有 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确. 试题解析：（1）由题意， 所以． （2）由（1）得，， 所以． 【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式． 18. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标; （2）若，且与垂直，求与的夹角θ. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出，再根据条件建立方程组即可求出结果； （2）利用两向量垂直，数量积为0，得到，再根据条件得到，进而可求出结果. 【小问1详解】 设， 因为，，， 所以，解得或， 所以或 【小问2详解】 因为与垂直，所以， 即，又，， 所以，得到， 所以，又，所以. 19. 设向量 （I）若 （II）设函数 【答案】（I）（II） 【解析】 【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x， ＝(cosx)2＋(sinx)2＝1， 及，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sinx＝，所以x＝. (2) sinx·cosx＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 当x∈时，－≤2x－≤π， ∴当2x－＝时， 即x＝时，sin取最大值1. 所以f(x)最大值为. 20. 已知，函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）若将函数向右平移个单位得到函数，且为奇函数，求的最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用整体法求解， （2）根据平移可得的表达式，即可根据三角函数的奇偶性求解. 【小问1详解】 因为 ， 令，则 所以函数的单调递减区间为：； 【小问2详解】 ，由为奇函数， 故， 由于，取，可得， 故最小值为 21. 已知函数（，，是常数，）的最小正周期为，并且当时，． （1）求的解析式； （2）在闭区间上是否存在的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在．请说明理由． 【答案】（1）；（2）一条对称轴，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，由最小正周期求的值，再根据最值列关于，的方程，解方程即可求，，进而可得的解析式； （2）求出对称轴，再根据对称轴位于区间求出整数的值，即可求解. 【详解】（1），其中， 所以最小正周期为，解得：， 因为当时，， 所以且， 解得：，， 所以， （2）令，可得：， 令，解得： 因为，所以，此时， 所以在闭区间上存在的一条对称轴 22. 已知函数. （1）若为锐角，， ，求及的值； （2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值； （3）已知，，求及的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解的值； （2）由余弦函数的有界性求得的值域，再将不等式分离参数，并令，可得对恒成立.易知函数在单调递增，求出其最小值，则可得，从而求得的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成，再结合，即可求出及的值. 【详解】解：（1），且为锐角， ，， 则， 又，为锐角， ，， ； （2）， 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令， 对恒成立， 又函数在单调递增， 当时，， ，则的最大值为； （3）， 即 ， ， ， ， 又， ， 则， ， 即， ， 又，， . 【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$