精品解析：2024年江苏省泰州市中考数学仿真模拟试题

2024年江苏省泰州市中考数学仿真模拟卷 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是(　　) A. p一定等于 B. p一定不等于 C. 多投一次，p更接近 D. 投掷次数逐步增加，p稳定在附近 5. 函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，随的增大而减小； ④当时，关于的方程有个实数根． 其中正确的结论个数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 8. 华为正在研制厚度为0.000 000 005m的芯片．用科学记数法表示0.000 000 005是_____． 9. 如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为_____． 10. 当时，代数式的值为______ ． 11. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______． 12. 甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 45 109 181 110 乙 45 111 108 110 某同学分析如表后得到如下结论：①甲，乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110次为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是____． 13. 若是一元二次方程的两根，则的值是______． 14. 如图，二次函数的图象与x轴交于，对称轴是直线，当函数值时，自变量x的取值范围是___． 15. 如图，在矩形中，，垂足为，点P、Q分别在上，则最小值为_________． 16. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ___________． 三、解答题（共10题，共102分） 17. （1）解方程： （2）解不等式： 18. 工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，请将下列过程补充完整： 收集数据： 从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下： 整理、描述数据： 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩 人数 部门 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 甲 0 0 1 11 7 1 乙 （说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70—79分为生产技能良好，60—69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格） 分析数据： 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 部门 平均数 中位数 众数 甲 78．3 77．5 乙 78 81 得出结论： ．估计乙部门生产技能优秀的员工人数约为 ． ．可以推断出 部门员工的生产技能水平高．理由为 ． （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 19. 即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热，小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方注列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率． 20. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是矩形； (2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积． 21. 阅读下面材料： 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于和两点． 观察图象可知：①当或时，；②当或时，，即通过观察函数的图象，可以得到不等式的解集． 有这样一个问题：求不等式的解集． 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式的解集进行了探究． 下面是他探究过程，请将（）、（）、（）补充完整： （）将不等式按条件进行转化： 当时，原不等式不成立． 当时，原不等式可以转化为． 当时，原不等式可以转化为． （）构造函数，画出图象． 设，，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线如图所示，请在此坐标系中画出抛物线．（不用列表） （）确定两个函数图象公共点的横坐标． 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足的所有的值为__________． （）借助图象，写出解集． 结合（）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式的解集为__________． 22. 小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：） 23. 公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 24. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证： （1）△AFG≌△AFP； （2）△APG为等边三角形． 25. 如图，一次函数图象经过，两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是线段上一点，若，求点坐标； （3）若点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 26. 已知：，过平面内一点分别向、、画垂线，垂足分别为、、． 【问题引入】 如图①，当点在射线上时，求证：． 【类比探究】 （1）如图②，当点在内部，点在射线上时，求证：． （2）当点在内部，点在射线的反向延长线上时，在图③中画出示意图，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【知识拓展】 如图④，、、是的三条弦，都经过圆内一点，且．判断与的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年江苏省泰州市中考数学仿真模拟卷 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】==2． 2. 中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答，即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握根轴对称图形的性质：有一条直线是对称轴，图形沿轴折叠，折叠后互相重合；根据中心对称图形的性质：有一个对称中心，图形绕中心旋转180°，旋转后互相重合是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂乘法，幂的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据积的乘方，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D． 【详解】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误； C、积的乘方等于乘方的积，故C正确； D、通敌数幂的除法底数不变指数相减，故D错误． 4. 投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是(　　) A. p一定等于 B. p一定不等于 C. 多投一次，p更接近 D. 投掷次数逐步增加，p稳定在附近 【答案】D 【解析】 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果． 【详解】投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在附近． 故选：D． 【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生． 5. 函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，随的增大而减小； ④当时，关于的方程有个实数根． 其中正确的结论个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断． 【详解】解：如图： ①如图所示，函数图象关于y轴对称，故①符合题意． ②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意． ③如图所示，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故③符合题意． ④如图所示，当-2＜a＜-1时，关于x的方程x2-2|x|-1=a有4个实数根，故④符合题意． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：A． 【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题． 6. 如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度． 根据已知证，利用勾股定理求出的长，再证明，得出，然后证明，得出对应边成比例，建立关于a、x的方程，求解即可． 【详解】解：∵平分交于点E，且， ， ∴， 又∵， ∴， 设， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握以上知识． 根据分母不为零，被开方数大于等于零，列式，解答即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 8. 华为正在研制厚度为0.000 000 005m的芯片．用科学记数法表示0.000 000 005是_____． 【答案】5×10－9 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000 000 005=5×10-9， 故答案为：5×10-9． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 9. 如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】∵矩形ABCD与矩形EABF相似， ∴＝，即， 解得，AD＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质. 10. 当时，代数式的值为______ ． 【答案】2 【解析】 【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果. 【详解】解： 当时，原式， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键. 11. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式，设圆锥的母线长是，利用扇形面积公式表示出圆锥侧面积，再利用圆锥侧面积公式表示出圆锥侧面积，根据面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥的母线长是， 则有， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 圆锥的母线长是； 故答案为：． 12. 甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 45 109 181 110 乙 45 111 108 110 某同学分析如表后得到如下结论：①甲，乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110次为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】首先根据表格信息即可得出二者平均数一样，然后再观察表格发现甲班的中位数是109，乙班的中位数是111，由此进一步比较二者的优秀人数即可，最后根据二者的方差大小即可得出哪个班波动大或小，据此进一步得出答案即可． 【详解】甲、乙两班的平均数都是110，故①正确， ∵甲班的中位数是109，乙班的中位数是111，乙班中位数比甲班的大， ∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，故②正确， ∵甲班的方差大于乙班的方差， ∴甲班的波动情况大，故③正确； 综上所述，①②③都正确， 故答案为①②③ 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数与方差的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 13. 若是一元二次方程的两根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．据此即可求解． 【详解】解：方程整理得， ∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象与x轴交于，对称轴是直线，当函数值时，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的抛物线与x轴交于（3，0），对称轴是直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为：（-1，0）， 故当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：-1＜x＜3． 故答案为-1＜x＜3． 【点睛】观察图像可知二次函数y=ax2+bx+c有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键． 15. 如图，在矩形中，，垂足为，点P、Q分别在上，则最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的应用-最短距离问题，利用最小值的常规解法确定出的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算． 已知，因此证明，表示出的长，在中，运用勾股定理求出的长，再运用勾股定理或求三角形的面积法求出的长．根据两点之间线段最短，添加辅助线将和转化到同一条线段上，因此作A点关于的对称点为，连接，可证得是等边三角形，由垂线段最短可知当时，最小，即可求出结果． 【详解】解：设，则， ∵四边形为矩形，且， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ∴，，， ∴， 如图，设A点关于的对称点为，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∴当三点在一条线上时，最小， 又垂线段最短可知当时，最小， ∴， 故答案是：． 16. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ___________． 【答案】##24度 【解析】 【分析】由，得，根据外角性质可证，由旋转的性质可知，则，根据三角形内角和为得即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，证明出是解题的关键． 三、解答题（共10题，共102分） 17. （1）解方程： （2）解不等式： 【答案】（1）x=13；（2）-2＜x≤2 【解析】 【分析】（1）按照解分式方程的步骤：去分母化为整式方程、解整式方程、代入最简公分母中检验； （2）分别解每一个不等式，求出它们的公共解集即可. 【详解】解：（1） 分式方程两边同时乘以得：， 解得：， 检验：当时，≠0， 所以：原分式方程的解为. （2） 由得， 由得x≤2， ∴不等式组的解集为：-2＜x≤2. 【点睛】本题考查了分式方程的解法、不等式组的解法，解分式方程一定要检验. 18. 工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，请将下列过程补充完整： 收集数据： 从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下： 整理、描述数据： 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩 人数 部门 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 甲 0 0 1 11 7 1 乙 （说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70—79分为生产技能良好，60—69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格） 分析数据： 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 部门 平均数 中位数 众数 甲 78．3 77．5 乙 78 81 得出结论： ．估计乙部门生产技能优秀的员工人数约为 ． ．可以推断出 部门员工的生产技能水平高．理由为 ． （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【答案】整理、描述数据：1，0，0，7，10，2．分析数据：75，80.5；得出结论：a.240人；b.见解析 【解析】 【分析】整理、描述数据：把甲、乙两组数据按大小顺序排列后，进行解答即可； 分析数据：分别根据中位数的概念和众数的概念进行求解即可； 得出结论： a、根据收集数据填写表格即可求解；用乙部门优秀员工人数除以20乘以400即可得出答案； b、根据情况进行讨论分析，理由合理即可． 【详解】整理、描述数据： 乙在40≤x≤49有1人，在70≤x≤79有7人，在80≤x≤89有10人，在90≤x≤100有2人，其余为0人 填表如下： 成绩 人数 部门 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 甲 0 0 1 11 7 1 乙 1 0 0 7 10 2 故答案为1，0，0，7，10，2． 分析数据： 甲组数据中，出现次数最多的75，故众数为：75； 乙组数据中，按大小顺序排列，最中间的两个数分别为：80和81，故中位数为： 填表为： 部门 平均数 中位数 众数 甲 78.3 77.5 75 乙 78 80.5 81 故答案为75，80.5． 得出结论： a、乙20人中优秀的员工有12人．×400=240（人）． 故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240人； 故答案为240人． b、答案不唯一，理由合理即可． 可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为： ①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高； ②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高． 或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为： ①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高； ②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高． 故答案为甲或乙． 【点睛】本题考查众数，中位数，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 19. 即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热，小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方注列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率． 【答案】 【解析】 【分析】通过列表展示所有6种等可能的结果数，找出恰好经过通道A与通道D的结果数，然后根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求解． 【详解】解：列表如下： C D E A AC AD AE B BC BD BE ∵由表可知共有6种等可能的结果数，其中恰好经过通道A与通道D的结果有1种， ∴P(恰好经过通道A与通道D)=． 答：他恰好经过通道A与通道D的概率为． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是列出所有等可能的结果． 20. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是矩形； (2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)矩形ABCD的面积为16(cm2)． 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG； （2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD. ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH， 即OE＝OF＝OG＝OH， ∴四边形EFGH是矩形． 解：∵G是OC的中点， ∴GO＝GC. 又∵DG⊥AC， ∴CD＝OD. ∵F是BO中点，OF＝2cm， ∴BO＝4cm. ∴DO＝BO＝4cm， ∴DC＝4cm，DB＝8cm， ∴CB＝＝4 (cm)， ∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)． 【点睛】本题主要考查矩形判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等． 21. 阅读下面材料： 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于和两点． 观察图象可知：①当或时，；②当或时，，即通过观察函数的图象，可以得到不等式的解集． 有这样一个问题：求不等式的解集． 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（）、（）、（）补充完整： （）将不等式按条件进行转化： 当时，原不等式不成立． 当时，原不等式可以转化为． 当时，原不等式可以转化为． （）构造函数，画出图象． 设，，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线如图所示，请在此坐标系中画出抛物线．（不用列表） （）确定两个函数图象公共点的横坐标． 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足的所有的值为__________． （）借助图象，写出解集． 结合（）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式的解集为__________． 【答案】【答题空1】和． 【答题空2】或． 【解析】 【分析】（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象； （3）根据图象即可直接求解； （4）根据已知不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞；当x＜0时，x2+4x-1＜，根据图象即可直接写出答案． 【详解】（）首先确定二次函数的对称轴， 顶点，与轴交点， 与一个交点， 即可作出二次函数的图象． （）两个函数图象公共点的坐标是和， 则满足的所有的值为和， 故答案是：和． （）不等式， 即①时，，此时的范围是； ②当时，，则． 故答案是：或． 22. 小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】古塔的高度ME约为39.8m． 【解析】 【分析】作交EP的延长线于点C，作于点F，作于点H，先在Rt△DCP中利用已知条件利用勾股定理求出DC和PC的长，从而可得DH和EF的长，设，分别在Rt△MPE和Rt△MFD中根据60°和30°的三角函数用y的代数式表示出PE和DF，再根据PE、DF和DH的关系列出方程，解方程后即可求出结果. 【详解】解：作交EP的延长线于点C，作于点F，作于点H，则，，， 设，∵，∴， 由勾股定理得，，即，解得，， 则，， ∴，， 设，则， 在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴，解得，， ∴. 答：古塔的高度ME约为39.8m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键. 23. 公路上正在行驶甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 【答案】（1）s＝﹣t2+16t，v＝﹣t+16 （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m （3）6秒时两车相距最近，最近距离是2m 【解析】 【分析】（1）根据图象信息，利用待定系数法分别求出一次函数和二次函数解析式即可； （2）把代入一次函数解析式求出，再把的值代入二次函数解析式求出即可； （3）根据当时，甲车的速度为16，当时，两车之间的距离逐渐变大，当时，两车之间的距离逐渐变小，得出当时，两车之间距离最小，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知：二次函数图象经过原点， 设二次函数表达式为，一次函数表达式为， 二次函数经过，， ，解得：， 二次函数表达式为． 一次函数经过，， ，解得：， 一次函数表达式为． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 当时， ，解得， ， 当时，， 当甲车减速至9时，它行驶的路程是87.5； 【小问3详解】 解：当时，甲车的速度为16， 当时，两车之间的距离逐渐变大， 当时，两车之间的距离逐渐变小， 当时，两车之间距离最小， 将代入中，得， 将代入中，得， 此时两车之间的距离为：， 秒时两车相距最近，最近距离是． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂函数图象，求出函数表达式． 24. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证： （1）△AFG≌△AFP； （2）△APG为等边三角形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证； （2）由（1）的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证． 【详解】证明：（1）由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点， ∵DC∥MN∥AB， ∴F为PG的中点，即PF=GF， 由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2， 在△AFP和△AFG中， ， ∴△AFP≌△AFG(SAS)， （2）∵△AFP≌△AFG， ∴AP=AG， ∵AF⊥PG， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°， ∴△APG为等边三角形． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，以及矩形的性质，熟练掌握相关的性质与定理是解本题的关键． 25. 如图，一次函数的图象经过，两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是线段上一点，若，求点的坐标； （3）若点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） （3）存在，，，或 【解析】 【分析】（1）本题主要考查一次函数和反比例函数图象和性质，根据待定系数法的求解方法即可求得答案． （2）本题主要考查一次函数和反比例函数图象和性质，可求得，由可知点的横坐标为． （3）本题主要考查一次函数和反比例函数图象和性质，等腰三角形的判定及性质、勾股定理，分三种情况讨论：当点为等腰三角形的顶角顶点时；当点为等腰三角形的顶角顶点时；当点为等腰三角形的顶角顶点时． 【小问1详解】 将，代入，得 解得 ，． 所以一次函数的表达式为． 将代入中，得 ． 解得 ． 所以点的坐标为． 因为反比例函数的图象过点，得 ． 解得 ． 所以反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 根据题意，得 ． 则 ． 可得 ． 由可知点的横坐标为． 将代入中，得 ． 所以点的坐标为． 【小问3详解】 设点坐标为． 根据题意可得． ①如图所示． 当点为等腰三角形的顶角顶点时，，则点的坐标为或． ②如图所示． 当点为等腰三角形的顶角顶点时，，则 ． 解得 (舍去)，． 所以，点坐标为． ③如图所示． 当点为等腰三角形的顶角顶点时，，则 ． 解得 ． 所以，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为，，或． 26. 已知：，过平面内一点分别向、、画垂线，垂足分别为、、． 【问题引入】 如图①，当点在射线上时，求证：． 【类比探究】 （1）如图②，当点在内部，点在射线上时，求证：． （2）当点在内部，点在射线的反向延长线上时，在图③中画出示意图，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【知识拓展】 如图④，、、是的三条弦，都经过圆内一点，且．判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】【问题引入】见解析；【类比探究】（1）见解析；（2）图见解析，；【知识拓展】 ，证明见解析 【解析】 【分析】[问题引入] 利用AAS证明△POE≌△POD，即可得出结论； [类比探究] （1）过点F作FN⊥OB，FM⊥OA，垂足分别为N、M，FM与PE交于点Q，先证明△PFQ为等边三角形，得出FG=PH，再运用矩形性质得出OM=OF，ON=OF，即可证得结论； （2）作FN⊥OB于点N，FM⊥OA于点M，射线FM交PE于点Q，作PH⊥FQ于点H，FG⊥PQ于点G，同（1）可证：NE=FG=PH=MD，ON=OM=OF，即可得出结论； [知识拓展] 过点O作OM⊥AB，ON⊥EF，OQ⊥CD，垂足分别为M、N、Q，利用垂径定理可得出PB-PA=2PM，PF-PE=2PN，PD-PC=2PQ，再运用[类比探究]得：PM+PN=PQ，从而证得结论． 【详解】[问题引入] 证明：∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴． [类比探究] （1）过点作，，垂足分别、，与交于点． ∵，，， 则为等边三角形， 、边上的高相等，即． 在矩形、矩形中， 有，， ∴． ∴． ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴． （2）结论：． 作于点，于点，射线与的交点为，作于点，于点， 同（1）可证，， ∴． [知识拓展] 数量关系：． 理由如下： 过点作，，，垂足分别为、、． 由垂径定理可得． ∴． 同理，， 由[类比探究]得， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，角平分线性质，矩形性质，垂径定理等，熟练掌握全等三角形判定和性质及垂径定理等相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$