精品解析：2024年黑龙江省大兴安岭地区松岭区中学升学模拟大考数学试题（四 ）

二○二四年升学模拟大考卷（四） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 下列天气预报图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 4. 如图的几何体是由六个棱长为的正方体组合而成的，若再加几个棱长为的正方体，使其主视图和左视图都不变，则最多能加（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握简单组合体的三视图画法和形状．在实物图的相应位置添加小正方体，直至最多即可得出答案． 【详解】解：在第一列的最后添加个，第二列的最前面添加个，在第三列的最后面和最前面各添加个，其主视图和左视图都不变，所以最多能加个， 故选：A． 5. 如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，，，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平行的性质得到，求出，再计算求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数及二次函数与几何动点问题的综合运用．熟练掌握动点产生的三角形面积计算方法，是解题关键． 根据题意，当Q点分别在、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用x将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可． 【详解】正方形的边长为，点P的速度为，点Q的速度为，P，Q两点同时出发，运动的时间为， ①当时，如下图， ，， ∴， ∵的面积为， ∴， 是开口向下顶点为的抛物线， ∴B、D符合； ②当时，如下图， ， 是y随x增大而减小的线段， ∴只有B符合． 故选：B． 7. 如图，在中，，轴，O为坐标原点，点A的坐标为，反比例函数的图象的一支过点A，反比例函数的图象的一支过点B，过点A作轴于点H，若的面积为12，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数k值的几何意义，反比例函数的图象与性质，勾股定理的应用，熟练的利用勾股定理建立方程是解本题的关键．利用的面积为12，先求解 再求解的坐标，再设出B的坐标，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解： 轴于H，的面积为12， ， ， 又A的坐标为， ，即 ， 轴，设B的坐标为： ， ， ， ， 解得： ， ， ， 故选：D． 8. 一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白、红三种除颜色不同外其余都相同的球，其中白球3个，红球4个，且从中任意摸出一个球，是白球的概率为，若在这个不透明的纸盒中第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，设黑球有个，根据概率公式得出黑球有2个，进而根据列表法求概率，即可求解． 【详解】解：设黑球有个，依题意，， 解得：， ∴黑球有2个． 列表如下： 黑 黑 白 白  白 红 红 红 红 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白）  （黑，白） （黑，红）  （黑，红） （黑，红）  （黑，红） 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） （黑，红）  （黑，红）  （黑，红） （黑，红） 白 （白，黑） （白，黑） （白，白）  （白，白）  （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白）  （白，红） （白，红）  （白，红）  （白，红） 白  （白，黑）  （白，黑）  （白，白）  （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红  （红，黑）  （红，黑） （红，白）  （红，白）  （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红  （红，黑）  （红，黑）  （红，白）  （红，白）  （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红  （红，黑）  （红，黑）  （红，白）  （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，黑）  （红，黑）  （红，白）  （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 共有72种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色相同的结果有20种， ∴两次摸到的球颜色相同的概率为 故选：D． 9. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、解直角三角形，作于，令交于，解直角三角形求出，结线段垂直平分线的性质得出，证明四边形是矩形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，作于，令交于， ， 则， ∵，， ∴， 由作图可得：垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为．结合图象给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，由图象得出，，的符号，即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；把代入抛物线结合即可判断③；将方程化为，解方程即可判断④；根据，当时，取到最大值，即可判断⑤；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线的图象与轴的另一个交点横坐标为，即坐标为， ∴由图象可得，当时，，故②错误； ∵抛物线的图象与轴的一个交点坐标为， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； ∴， ∴方程可以化为：， ∴， ∴， 解得：或，故④正确； 当时，，当时，， 由图象可得，当时，取到最大值， ∴，即，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤，共个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，满分21分》 11. 国家外汇管理局数据显示，截至年月末，我国外汇储备规模为亿美元，数据亿用科学记数法表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握绝对值大于的数的表示方法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】亿 故答案为： 12. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，代入计算即可． 【详解】解：∵ 要有意义，必须满足：， ∴， 又∵在分式分母位置，分母不能为零，既， ∴， ∴自变量的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件判断，熟练掌握相关的内容是解题的关键． 13. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，请添加一个条件________，使（填一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据可得，由，根据等式的性质可得，再加上条件可利用定理证明． 【详解】 ， ， 即 在和中 故答案为： 14. 已知圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面半径为2，则它的侧面展开图的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，扇形弧长与面积的计算，掌握圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键；先由弧长公式计算出展开图扇形的半径，即可求得扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图半径为l，则， 解得：， 圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：． 15. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为________． 【答案】或0 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤聚和分式方程无解的条件． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程无解， ∴， 解得：，即， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 16. 在矩形中，，，点P在矩形的边上，且，连接对角线，则与对角线所夹锐角的正切值为________． 【答案】18或 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、求正切等知识，分点P在上和点P在上两种情况，分别进行解答即可． 【详解】解：如图1，当点P在上时， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 过点C作于点E， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴, ∴ 如图，当点P在上时， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 综上可知，与对角线所夹锐角的正切值为18或. 故答案为：18或. 17. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为顶点，边长为1且的菱形的对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点……以此类推，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查规律探究，涉及菱形的性质、等边三角形的判定和性质和解直角三角形，根据题意可得点，且为等边三角形，，则，那么，则，同理可求得，即可得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴点， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 则， 同理可求得， 即可得， 那么，， 故答案为：． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值，计算零指数幂，立方根，正弦，然后进行乘法、加减运算即可； （2）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题考查了化简绝对值，零指数幂，立方根，正弦，综合提公因式和公式法进行因式分解等知识．熟练掌握化简绝对值，零指数幂，立方根，正弦，综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 19. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练运用因式分解是解题的关键；先移项，合并同类项，然后因式分解即可求解． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 20. 为落实“双减”政策，减轻学生学业负担，丰富学生课后服务内容，某校计划成立体育、航模、舞蹈、声乐、书画，共五个学生社团，要求每位学生都只选其中一个社团．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次被抽查学生的人数； （2）求扇形统计图中表示体育社团的扇形的圆心角的度数； （3）将条形统计图和扇形统计图补充完整； （4）该校共有1800名学生，根据抽查结果，试估计全校选择航模社团的学生人数． 【答案】（1）200名 （2） （3） 补全图，如图所示 （4）估计全校选择航模社团的学生人数有432名 【解析】 【分析】本题考查了从条形统计图和扇形统计图关联获取信息； （1）由舞蹈的人数和所占百分比，即可求解； （2）体育所占的百分比，即可求解； （3）计算出航模的人数、声乐的人数、体育人数所占百分比、书画人数所占百分比，补全图，即可求解； （4）航模的人数所占百分比，即可求解； 能正确从条形统计图和扇形统计图关联获取信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：（名）． 答：本次被抽查学生的人数为200名． 【小问2详解】 解：； 答：扇形统计图中表示体育社团的扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：航模的人数：（名）， 声乐的人数：（名）， 体育人数所占百分比：， 书画人数所占百分比：， 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计全校选择航模社团的学生人数有432名． 21. 如图，是的直径，为的弦，与相切于点A，，垂足为M，射线经过点B，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． ． ，， ． ． 与相切， ，． ． ． 为的半径， 是的切线． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质、圆周角定理、正切的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． （1）如图，连接．先证明可得，再根据切线的性质可得，即，进而证明结论； （2）由题意可得，再由圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，即；再根据正切的定义可得，易得；再根据勾股定理可得，进而完成解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ． 是的直径， ． ． ， ． ． ， ． ． ， ． ． ， ． ． ． 的半径为． 22. 一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发，沿同一路线前往乙地，两车出发1.5h，货车出现故障停车，轿车立刻掉头按原路加速返回帮忙修车（掉头的时间忽略不计），货车修好后，轿车与货车均按照各自在货车出现故障前的速度继续开往乙地，两车距甲地的路程y（单位：km）与离开甲地的时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）图中a的值是________；b的值是________；轿车在货车出现故障前的速度是________km/h； （2）求货车从甲地前往乙地的过程中，货车距甲地的路程y与离开甲地的时间x之间的函数关系式； （3）直接写出轿车在行驶过程中，从甲地出发多长时间与货车相距20km． 【答案】（1）150，2，100； （2）； （3）或或3h． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据图象分别求出轿车未加速时的速度以及货车的速度，根据路程等于速度乘以时间，逐一进行计算即可； （2）分，，三种情况，进行讨论求解即可． （3）分货车故障前，故障中，故障后，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，货车小时，行驶了90千米，轿车从2.5小时到5.2小时行驶了千米， ∴货车的速度为（千米/小时），轿车的速度为：（千米/小时）， ∴，， 故答案为：150，2，100； 【小问2详解】 由（1）知货车的速度为， ∴， 当时，， 当时，， 当时，设， 图象过：， ∴，解得：， ∴， 综上：； 【小问3详解】 当时，，解得， 当时，， 当时，，解得； 综上：或或3． 23. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，还蕴含着丰富的数学知识． 已知正方形纸片的边长为． 实践操作： （）如图，连接，将正方形纸片分别沿过点和点的直线折叠，使点和点都落在上，对应点分别是点和点，折痕分别与和交于点．猜想线段与线段之间的数量关系和位置关系是________； （）将图的纸片展开，如图，顺次连接点，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由； 操作探究： （）折叠正方形，使点落在上的点处，得到折痕（点分别是折痕与边和边的交点）． 如图，若恰好是边的中点，则的长为________； 如图，若为等腰直角三角形，连接，则四边形的面积是________． 【答案】（1），； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）①；② 【解析】 【分析】（）证明即可求解； （）证明得到，同理可得，再证明得到，即可得，即可求解； （）如图，设与相交于点，设，则，在中，由勾股定理得，解得，即得，，再由得，可得，，进而得，又由得，可得；同理可得，，，再根据计算即可求解． 【详解】（）解：由折叠可得，，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （）略 （）解：如图，设与相交于点， ∵是边的中点， ∴， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得，， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，设与相交于点， 当为等腰直角三角形时，，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于点，，与轴交于点，直线的解析式为，为此抛物线的顶点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线下方的抛物线上一个动点（点与点不重合），连接，，当时，求点的坐标； （3）请直接写出的值； （4）若是对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出，，再利用待定系数法计算即可得出答案； （2）令抛物线对称轴交于，求出，，得到，作轴，交于，设，则，，分别表示出和，结合得出，解方程即可得答案； （3）连接、，作于，令交轴于，利用等面积法求出，再由勾股定理得出，最后由正切的定义计算即可得出答案； （4）设，，分三种情况：当为对角线时，当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令，则，即， 令，则，解得，即， 将，代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，令抛物线对称轴交于， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴ ∴， 作轴，交于， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，即，符合题意； 当时，，即，与重合，不符合题意； 综上所述，； 【小问3详解】 解：在中，令，则，解得或， ∴， 如图，连接、，作于，令交轴于， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设，， 当为对角线时，则， 解得：，即， 当为边，为对角线时，则， 解得：或，即或； 当为边，为对角线时，则， 解得：，即， 综上所述，存在，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、二次函数综合—菱形的性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想与数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二四年升学模拟大考卷（四） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下列天气预报图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图的几何体是由六个棱长为的正方体组合而成的，若再加几个棱长为的正方体，使其主视图和左视图都不变，则最多能加（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，，，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，轴，O为坐标原点，点A的坐标为，反比例函数的图象的一支过点A，反比例函数的图象的一支过点B，过点A作轴于点H，若的面积为12，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白、红三种除颜色不同外其余都相同的球，其中白球3个，红球4个，且从中任意摸出一个球，是白球的概率为，若在这个不透明的纸盒中第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为．结合图象给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，满分21分》 11. 国家外汇管理局数据显示，截至年月末，我国外汇储备规模为亿美元，数据亿用科学记数法表示是________． 12. 函数中，自变量的取值范围是______． 13. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，请添加一个条件________，使（填一个即可）． 14. 已知圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面半径为2，则它的侧面展开图的面积是________． 15. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为________． 16. 在矩形中，，，点P在矩形的边上，且，连接对角线，则与对角线所夹锐角的正切值为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为顶点，边长为1且的菱形的对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点……以此类推，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）因式分解：． 19. 解方程：． 20. 为落实“双减”政策，减轻学生学业负担，丰富学生课后服务内容，某校计划成立体育、航模、舞蹈、声乐、书画，共五个学生社团，要求每位学生都只选其中一个社团．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次被抽查学生的人数； （2）求扇形统计图中表示体育社团的扇形的圆心角的度数； （3）将条形统计图和扇形统计图补充完整； （4）该校共有1800名学生，根据抽查结果，试估计全校选择航模社团的学生人数． 21. 如图，是的直径，为的弦，与相切于点A，，垂足为M，射线经过点B，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发，沿同一路线前往乙地，两车出发1.5h，货车出现故障停车，轿车立刻掉头按原路加速返回帮忙修车（掉头的时间忽略不计），货车修好后，轿车与货车均按照各自在货车出现故障前的速度继续开往乙地，两车距甲地的路程y（单位：km）与离开甲地的时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）图中a的值是________；b的值是________；轿车在货车出现故障前的速度是________km/h； （2）求货车从甲地前往乙地的过程中，货车距甲地的路程y与离开甲地的时间x之间的函数关系式； （3）直接写出轿车在行驶过程中，从甲地出发多长时间与货车相距20km． 23. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，还蕴含着丰富的数学知识． 已知正方形纸片的边长为． 实践操作： （）如图，连接，将正方形纸片分别沿过点和点的直线折叠，使点和点都落在上，对应点分别是点和点，折痕分别与和交于点．猜想线段与线段之间的数量关系和位置关系是________； （）将图的纸片展开，如图，顺次连接点，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由； 操作探究： （）折叠正方形，使点落在上的点处，得到折痕（点分别是折痕与边和边的交点）． 如图，若恰好是边的中点，则的长为________； 如图，若为等腰直角三角形，连接，则四边形的面积是________． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于点，，与轴交于点，直线的解析式为，为此抛物线的顶点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线下方的抛物线上一个动点（点与点不重合），连接，，当时，求点的坐标； （3）请直接写出的值； （4）若是对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $