21.2.2 公式法 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2.2 公式法 知识点1 用公式法解一元二次方程 1.用公式法解方程x2+x=2时,求根公式中的a,b,c的值分别是( ) A.a=1,b=1,c=2 B.a=1,b=-1,c=-2 C.a=1,b=1,c=-2 D.a=1,b=-1,c=2 2.小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解答过程如下: ∵a=1,b=-4,c=-2(第一步), ∴b2-4ac=(-4)2-4 1 (-2)=24(第二步), ∴x=(第三步), ∴x1=-2+,x2=-2-(第四步). 小明解答过程开始出错的步骤是( ) A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 3.用公式法解下列方程: (1)x2-8x-5=0; (2)(3x-5)(x-2)=1; (3)x2+10=2x. 知识点2 一元二次方程根的判别式的应用 4.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是( ) A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0 C.p2-4q>0 D.p2-4q<0 5.一元二次方程(x+3)(x-3)=2x-5的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 6.若关于x的方程x2=-x-2a没有实数根,则a的取值范围是( ) A.a< B.a> C.a<- D.a>- 7.关于x的方程(m-3)x2-4x-2=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 . 8.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( ) 9.(名师原创)若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是( ) A.x1=,x2= B.x1=,x2= C.x1=,x2= D.以上答案都不对 10.(2023 杭州期中)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法: ①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0; ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根; ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立; ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2. 其中正确的是( ) A.①② B.①②④ C.①②③④ D.①②③ 11.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-x+1=0有实数根,则m的取值范围是 . 12.关于x的一元二次方程x2-kx+-=0. (1)求证:方程有两个实数根. (2)若等腰 ABC的两边是此一元二次方程的两个根,当k=2时,求 ABC的周长. 13.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0. (1)若方程有一个根是2,求m的值; (2)求证:不论m取何值,方程总有实数根. 14.(几何直观、运算能力)已知 ABCD 的两边 AB,AD 的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个根. (1)当 m 为何值时,四边形 ABCD 是菱形?求出此时菱形的边长; (2)若 AB 的长为 2,则 ABCD 的周长是多少? 学科网(北京)股份有限公司 $$ 21.2.2　公式法 知识点1　用公式法解一元二次方程 1.用公式法解方程x2+x=2时,求根公式中的a,b,c的值分别是(C) A.a=1,b=1,c=2　　 B.a=1,b=-1,c=-2 C.a=1,b=1,c=-2 D.a=1,b=-1,c=2 2.小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解答过程如下: ∵a=1,b=-4,c=-2(第一步), ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24(第二步), ∴x=(第三步), ∴x1=-2+,x2=-2-(第四步). 小明解答过程开始出错的步骤是(C) A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 3.用公式法解下列方程: (1)x2-8x-5=0; 【解析】(1)a=1,b=-8,c=-5, ∵Δ=64+20=84, ∴x==4±, 即x1=4+,x2=4-. (2)(3x-5)(x-2)=1; 【解析】(2)方程整理得:3x2-11x+9=0, a=3,b=-11,c=9, ∵Δ=121-108=13,∴x=, 即x1=,x2=; (3)x2+10=2x. 【解析】(3)x2+10=2x,x2-2x+10=0, a=1,b=-2,c=10, Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×10=20-40<0, ∴方程没有实数根. 知识点2　一元二次方程根的判别式的应用 4.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是(A) A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0 C.p2-4q>0 D.p2-4q<0 5.一元二次方程(x+3)(x-3)=2x-5的根的情况是(A) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 6.若关于x的方程x2=-x-2a没有实数根,则a的取值范围是(B) A.a< B.a> C.a<- D.a>- 7.关于x的方程(m-3)x2-4x-2=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是　m>1且m≠3　.  8.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(B) 9.(名师原创)若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是(B) A.x1=,x2= B.x1=,x2= C.x1=,x2= D.以上答案都不对 10.(2023·杭州期中)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法: ①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0; ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根; ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立; ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2. 其中正确的是(B) A.①② B.①②④ C.①②③④ D.①②③ 11.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-x+1=0有实数根,则m的取值范围是　m≤5且m≠4　.  12.关于x的一元二次方程x2-kx+-=0. (1)求证:方程有两个实数根. 【解析】(1)∵Δ=(-k)2-4=(k-1)2≥0,∴方程有两个实数根; (2)若等腰△ABC的两边是此一元二次方程的两个根,当k=2时,求△ABC的周长. 【解析】(2)当k=2时, 方程可化为x2-2x+=0, ∴x1=,x2=, 当腰长为,底边长为时, △ABC的周长为++=; 当腰长为,底边长为时, +<,不能构成三角形, 综上所述,△ABC的周长为. 13.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0. (1)若方程有一个根是2,求m的值; 【解析】本题考查根的判别式、一元二次方程的解以及一元二次方程的定义,利用分类讨论思想,考虑m=0及m≠0两种情况. (1)将x=2代入原方程,得4m-2(m+2)+2=0,解得m=1.故m的值为1; (2)求证:不论m取何值,方程总有实数根. 【解析】(2)当m=0时,原方程为一元一次方程,此时x=1; 当m≠0时,Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0,∴当m≠0时,方程有实数根. 综上所述,不论m取何值,方程总有实数根. 14.(几何直观、运算能力)已知▱ABCD 的两边 AB,AD 的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个根. (1)当 m 为何值时,四边形 ABCD 是菱形?求出此时菱形的边长; 【解析】(1)当AB=AD时,四边形ABCD是菱形,即方程x2-mx+-=0的两个实数根相等,∴(-m)2-4=0, 解得 m=1. 此时方程为x2-x+=0, 解得x1=x2=, ∴菱形的边长为. (2)若 AB 的长为 2,则▱ABCD 的周长是多少? 【解析】(2)当AB=2时,则22-2m+-=0, ∴m=,则原方程变为x2-x+-=0,∴x2-x+1=0,∴x1=,x2=2, 即AD=,AB=2. ∴▱ABCD的周长为2×=5. 学科网（北京）股份有限公司 $$