精品解析：山东省临沂市兰陵县第十中学2025届高三上学期开学考试数学试题

2024-2025学年度上学期兰陵十中高三数学开学考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数满足：，则；当时，则（ ） A. B. C. D. 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 6. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 或3 D. 1或3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 10. 已知是方程的实根，则下列各数为正数的是（ ） A. B. C. D. 11. 根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（ ） A. B. C. 若声音强度由降到，需降为原来的 D. 若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则___________． 13. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是__________ 14. 若的图像上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若，恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 16. 已知函数． （1）当时，求的定义域； （2）若的最小值为3，求的值． 17. 已知函数的图象与函数的图象关于点对称． （1）求的解析式； （2）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：当时，. 19. 设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”． （1）判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由； （2）若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图象上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由； （3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期兰陵十中高三数学开学考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用对数运算律计算判断. 【详解】， ， ， ，即， 又， ，则. 4. 已知函数满足：，则；当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，先得到，再由时的解析式，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 而，时，， 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求分段函数值，涉及对数的运算，属于基础题型. 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解最小值 【详解】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是6 故选：B 6. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由在上单调递减，确定，以及的范围，再根据单调递减确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题. 【详解】解：由题意得： 是上的减函数 解得： 故 a的取值范围是 故选：C 7. 如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断. 【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y轴对称，而，，不满足； 的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当且仅当，即时，等号成立，不符合要求； 的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当时，函数取得最大值1，符合要求； 故选：C 8. 已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 或3 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为方程有唯一解，令，再次转化为在R上有唯一零点，通过判断函数的奇偶性，可得，从而可求得结果并验证. 【详解】因为函数的图象和函数的图象有唯一交点， 所以方程有唯一解， 令，则在R上有唯一零点， 因为， 所以为偶函数， 所以唯一的零点为，所以，即， 得，解得或， 当时，，则， 易知是R上的减函数， 当时，，， 所以，即在上单调递减， 当时，，所以， 所以在上单调递减， 所以在上单调递减，又是偶函数， 所以在上为增函数. 同理当时，在上为增函数，在上为减函数，合题意， 所以或. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题. 【详解】选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误. 选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确， 选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确， 选项D：令，即， 令，则令， 则 当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等， 当时同样切线方程不为，故选项D错误. 故选：BC. 10. 已知是方程的实根，则下列各数为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据是方程的实根可得，计算判断各个选项. 【详解】因为是方程的实根，令，当时，，当时，，可得 对于A，因为，所以，则，A错误； 对于B，因为，所以，则，B正确； 对于C，. 因为，所以，C正确； 对于D，因为，所以，则，D错误； 故选：BC. 11. 根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（ ） A. B. C. 若声音强度由降到，需降为原来的 D. 若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题目分贝数函数求出，，，即可判断ABC，再分别求出40分贝数和60分贝数对应的声音强度即可判断D. 【详解】由题意可知，，即，得， ，即，得， ，即，得， 则，所以，与大小关系不确定，由此可知A正确，B错误； 因为，，所以，C错误； 当声音强度的等级为60dB时，有，即，得， 此时对应的强度. 当声音强度的等级为40dB时，有， 即，得，此时对应的强度， 所以60dB的声音与40dB的声音强度之比，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值. 【详解】令，则由题意为奇函数， 所以当时，， 此时， 故，所以. 故答案为：. 13. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是__________ 【答案】3 【解析】 【分析】求出在点处的切线方程为，设该切线与切于点，求导得到，求出，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 14. 若的图像上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若，恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】要求“友情对点”，可把的函数图像关于原点对称，即研究对称过去的图像和的图像有两个交点即可. 【详解】解：关于原点对称的解析式为. 的图像与的交点个数即为方程根的个数，即. 设，于是 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取最小值. 于是作出的图像如图所示. ，即时与有两个交点，原函数有两对“友情对点”.故实数的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】（1）（） （2） 在区间上为严格增函数， 证明如下：设任意， 则， 由，得， 即，，， 所以，即，故在区间上为严格增函数. 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数和求出，即可得解； （2）利用作差法求解即可. 【小问1详解】 根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得，所以，定义域为， 且，所以（）； 【小问2详解】 略 16. 已知函数． （1）当时，求的定义域； （2）若的最小值为3，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据被开方数大于等于零，直接列不等式求解即可； （2）讨论和时的定义域，再根据单调性表示最小值求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 因为，所以，所以， 故的定义域为． 【小问2详解】 因为和在定义域内单调递增，所以在定义域内单调递增， 当时，由（1）得的定义域为， ，即，满足条件； 当时，由得，的定义域为， ，即，满足条件． 综上，或． 17. 已知函数的图象与函数的图象关于点对称． （1）求的解析式； （2）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）欲求的解析式，设图象上任一点坐标为，即寻找坐标，的关系式，这可从对称性方面考虑即可； （2）利用导数研究单调性，即在区间上恒成立，再利用参数分离法求出的范围． 【详解】解：（1）设图象上任一点坐标为， 点关于点的对称点在图象上． ． ，即，． （2）， ，在上递减， 在时恒成立， 即在时恒成立． 时，， ，即 【点睛】本题主要考查函数的导数，单调性，恒成立问题等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：当时，. 【答案】（1）f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)； （2）证明：设g(x)＝f（x）-3x+4=x2－2lnx-3x+4， ∴g′(x)＝2x-2--3=， ∵当x>2时，g′(x)>0， ∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数， ∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0， ∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4, 即当x>2时.. 【解析】 【分析】(1)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间； (2)作差构造新函数，研究函数的最值即可. 【小问1详解】 依题意知函数的定义域为{x|x>0}， ∵f′(x)＝2x-2=， 由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1 ∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用． 19. 设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”． （1）判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由； （2）若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图象上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由； （3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求的取值范围． 【答案】（1）是上的“一阶有界函数”；不是上的“一阶有界函数”；理由如下： 由，在上恒成立，故是上的“一阶有界函数”； 由，，当，，故不是上的“一阶有界函数”； （2）正确，理由如下： 若函数为上的“一阶有界函数”，则， 又函数在上单调递增，则，因此可得， 令，则，在上单调递减， 设，，其中， 则，故； 又在上单调递增，则，故，因此可得； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“一阶有界函数”的定义即可判断选项； （2）根据函数为上的“一阶有界函数”，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合函数单调递增的定义进行列式，化简判断； （3）根据函数为区间上的“一阶有界函数”，求得大致满足的范围．再构造函数，利用导数判断函数的单调性，求得最小值从而确定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数， 若为区间上的“一阶有界函数”，则，对恒成立 则，，；，，， 则． 令，，其中， 因为，在区间上单调递增，所以区间上单调递增， ∵，，所以存在，使，即， 当时，，单调递减；当，，单调递增． 所以，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以， 设， 则， 因为，所以， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又，所以， 所以，∴， 综上：． 【点睛】关键点点睛：新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $