精品解析：四川省成都市新津中学2021-2022学年高二下学期5月月考数学（理）试题

四川省新津中学高2020级（高二）下期5月月考试题 数学（理科） 第I卷（选择题） 一、单选题（共60分） 1. 已知集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性解出集合A，根据二次不等式解法解出集合B，再根据集合并集概念即可求解． 【详解】由题可得，，故． 故选：C． 2. 已知i为虚数单位，且复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算及共轭复数、复数的实部与虚部概念等求解即可 【详解】复数，可得，所以，可得的虚部为 故选：A． 3. 居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出，包括食品烟酒､衣着､居住､生活用品及服务､交通通信､教育文化娱乐､医疗保健以及其他用品及服务八大类.如图分别是我国2020年和2021年全国居民人均消费支出及构成的饼图，则下列结论错误的是（ ） A. 2021年全国居民人均食品烟酒消费支出比2020年增长约 B. 2021年有三类全国居民人均焇费支出占人均消费支出的比重比2020年有所下降 C. 2020年和2021年全国居民人均食品烟酒､居住两类消费支出之和占居民人均消费支出的比重都超过 D. 2021年全国居民人均教育文化娱乐消费支出比2020年增加了567元 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给饼图，逐项检验判断，即可得到结果. 【详解】2021年全国居民人均食品烟洒消费支出比2020年增长为正确； 2021年只有食品烟洒､居住两类全国居民人均消费支出占人均消费支出的比重比2020年下降了，B错误； 2020年和2021年全国居民人均食品烟洒､居住两类消费支出之和占居民人均消费支出的比重分别是，都超过，C正确； 2021年全国居民人均教育文化娱乐消费支出比2020年增加元，D正确， 故选：B. 4. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先作可行域，再根据目标函数的几何意义求解即可. 【详解】依题意，线性规划区域为下图阴影部分，其中 ，目标函数写为， 所以当时目标函数的值与过点的斜率为的直线在轴上的截距相等， 因为过点的斜率为的直线在轴上的截距最大， 所以当时，取最大值，最大值为16，, 所以的最大值为16， 故选：B. 5. 函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，以图像的对称性排除错误选项CD；再以图像的切线情况去排除错误选项A，即可得到函数的正确图像. 【详解】的定义域为 ， 则为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项CD； 则 即函数在点的切线斜率为正值， 选项A的图像在第一象限内每一点的切线斜率均为负值，故排除选项A. 选项B的图像在第一象限内存在切线斜率为正值的点. 故选：B 6. 下列命题中错误的是（　　） A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于，设平面∩平面=直线a, 设直线，直线平面，且ba, 根据线面平行的判定定理可得直线b， 故正确； 对于B，如果内存在直线与垂直， 则由面面垂直的判定定理可知平面⊥平面， 与已知矛盾，故正确； 对于C，设平面α平面γ，平面β平面γ, 在内作直线， 由面面垂直的性质定理可得， 又∵直线,∴, 又∵α∩β＝l，∴为相交直线， 又∵平面，∴l⊥平面γ， 故C正确； 平面α⊥平面β，设平面α∩平面β， 在平面α内与平行的直线都不与平面垂直， 故 D项错误． 故选:D. 7. 椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的方程,采用三角代换,利用点到直线的距离公式表示出点到直线：的距离，结合辅助角公式即可求得答案. 【详解】由，可知（为参数） ，故设， 设点到直线：的距离为d， 所以有， 其中， 所以当时，d有最小值， 故选：B 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三视图知该几何体为半圆柱，再结合面积公式求解即可 【详解】由三视图知该几何体为半圆柱，底面是半径为的半圆，高为， 因此表面积为. 故选：. 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用和倍角公式进行整理，同时注意，化简整理得，再利用求． 【详解】 ∵，则 ∴，整理得，则 故选：B． 10. 设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，得到，求得，进而求得椭圆离心率的范围. 【详解】如图所示，椭圆，可得焦距， 因为在直线上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距， 可得，即，可得，即，解得 又因为椭圆的离心率，所以. 故选：B. 11. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据题意可知，在区间恒成立，又，，根据分离参数法，可得在区间恒成立；令，原问题转化为，，再根据函数在区间单调递减，由此即可求出结果. 【详解】因为函数，所以， 由于函数在区间上单调递增， 所以，在区间恒成立， 又，，所以在区间恒成立， 令，即在区间恒成立； 即， . 又函数在区间单调递减， 所以当时，函数取最小值，即； 所以. 故选：B. 12. 已知函数最小值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可分别求得和的单调性，结合零点存在定理可确定和的最小值点，由此可求得，从而得到结果. 【详解】由题意知：定义域均为； ， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 又当时，，当时，， ，使得，此时，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ； ； 令，则，令，解得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， ，，使得，， 即，，，； 当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 的极小值，， ； . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的最值问题，解题关键是能够灵活应用零点存在定理确定导函数的零点，由此可确定导函数的正负，进而得到函数的单调性，进而根据函数的单调性确定最值点. 二、填空题（共16分） 13. 观察下列不等式：，，，按此规律，第个不等式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用归纳推理求解． 【详解】第一个不等式左边有两项，第二个不等式左边有3项，第三个不等式左边有4项，依此类推：第个不等式左边有项， 又每个不等式的左边最后一项的分母都是右边分母的平方， 每一个不等式的右边的分子都是分母的2倍减去1， 所以第个不等式为：. 【点睛】本题主要考查了归纳推理及考查观察能力，属于基础题． 14. 平面向量与的夹角为60°，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用数量积的运算性质即可求解. 【详解】因为，所以. 因为与的夹角为60°，，所以. 所以. 故答案为： 15. 年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近个月来手机的实际销量，如下表所示： 月份 年月 年月 年月 年月 年月 月份编号 销量/千部 若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法： ①；②与正相关；③与的相关系数为负数；④月份该手机商城的手机销量约为万部． 其中正确的是________．（把正确的序号填在横线上） 【答案】①② 【解析】 【分析】将月份编号的平均数代入线性回归方程，则可计算出销量的平均数，利用总销量可得值；由回归方程中的的系数为正可知，与正相关；将代入，可得7月份该手机商城的手机销量． 【详解】由表中数据，计算得，∴， 于是得，解得，则①正确， 由回归方程中的的系数为正可知，与正相关，且其相关系数，则②正确，③错误， 月份时，，（万部），则④错误， 故答案为：①② 16. 已知四面体ABCD中，△ABD和△BDC是等边三角形，二面角A﹣BD﹣C为直二面角.若AB＝，则四面体ABCD外接球的表面积为 __________________. 【答案】 【解析】 【分析】设为的中心，O为四面体的外接球的球心，过O作，然后在中，由求解. 【详解】如图所示：设为的中心，O为四面体的外接球的球心， 则平面． 设M为线段的中点，外接球的半径为R， 连接， 过O作于点G， 易知G为的中心，则， 因为， 故， 在中，， 故， 则． 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 三、解答题（共74分） 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，利用单调性可求出最大值与最小值. 【小问1详解】 ，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，； 当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值，为， ，， 因为，所以的最大值为. 综上所述：函数在上的最大值为、最小值为. 18. 设数列满足，. （1）求，，，并猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 【答案】（1），，，猜想： （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据首项和递推公式可求出，根据，可猜得通项公式； （2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可. 【小问1详解】 由，，可得： ，， 由，，，可猜想： 【小问2详解】 证明：①当时，成立； ②假设当时，猜想成立，即. 则当时， 即当时，猜想成立. 由①②可知，对于任意的，都有成立. 综上所述，猜想得证. 19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点． （1）证明：平面BDF； （2）若，，，，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设M是AC的中点，连接FM，证明 ，即可证得平面BDF； （2）设AD的中点为E，先证明平面PAD，再建立空间直角坐标系，求出平面BFP的一个法向量，通过向量夹角的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 连接AC，设，连接FM． ∵ABCD是平行四边形， ∴M是AC的中点． ∵F是PC的中点， ∴MF是△ACP的中位线． ∴． 又∵平面BDF，平面BDF， ∴平面BDF． 【小问2详解】 设AD的中点为E，连接BE，PE． ∵E为AD的中点， ∴，． ∵ABCD是平行四边形，，， ∴ ． ∵，， ∴，． ∵，平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． ∴是平面的一个法向量． 分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得，，，． ∴，，． 设平面BFP的一个法向量为，则． 取，得，． ∴是平面BFP的一个法向量． ∴． 设平面BFP与平面PAD所成二面角的大小为，则的取值范围为， ∴． ∴平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值为． 20. 动圆P与直线相切，点在动圆上． （1）求圆心P的轨迹Q的方程； （2）过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点． 【答案】（1） （2）证明： 由题意，知直线AB的斜率存在且不为0． 设直线， 代入，得，所以． 因为M是线段AB的中点，所以． 因为，所以将点M坐标中的k换成，即得． 当，即时，直线； 当时．直线． 整理，得，所以直线MN过定点． 综上所述，不论k为何值，直线MN必过定点． 【解析】 【分析】（1）设，然后根据题意列方程化简可得圆心P的轨迹Q的方程， （2）由题意，知直线AB的斜率存在且不为0所以设直线，然后将直线方程代入抛物线方程中消去后，利用根据与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，同理表示出点的坐标，从而可表示出直线的方程，进而可证得结论 【小问1详解】 设，根据题意，有，化简，得， 即圆心P的轨迹Q的方程为． 【小问2详解】 略. 21. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两个极值点，证明：． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值定义及导数法求函数极值的步骤即可求解； （2）根据函数有两个极值点得出导数函数等于零有两个根，进而得出极值点的关系，再构造函数利用导数法求函数的最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ． 令，即，解得. 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值为，无极小值． 【小问2详解】 ， 故， 由题意知即方程有两个不等的正实根， 则，得． 且，， ， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以， 即． 【点睛】解决此类型题的关键点第一问利用导数与函数的极值的关系即可求解，第二问将问题转化为导函数等于零的根的问题，再结合函数恒成立问题转化为最值问题即可. 22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程： （2）若直线与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）消去参数t可得曲线C的方程，利用公式法转化得到直线l的直角坐标方程； （2）利用直线l的参数方程中t的几何意义求解. 【小问1详解】 ∵（t为参数），∴，所以， 所以曲线C的方程为 又∵，，∴ 所以直线l的直角坐标方程为； 【小问2详解】 ∵在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数） 设A，B对应的参数分别为与 将直线l的参数方程代入到得． ∴， ∴，， ∵， ∴， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省新津中学高2020级（高二）下期5月月考试题 数学（理科） 第I卷（选择题） 一、单选题（共60分） 1. 已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，且复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出，包括食品烟酒､衣着､居住､生活用品及服务､交通通信､教育文化娱乐､医疗保健以及其他用品及服务八大类.如图分别是我国2020年和2021年全国居民人均消费支出及构成的饼图，则下列结论错误的是（ ） A. 2021年全国居民人均食品烟酒消费支出比2020年增长约 B. 2021年有三类全国居民人均焇费支出占人均消费支出的比重比2020年有所下降 C. 2020年和2021年全国居民人均食品烟酒､居住两类消费支出之和占居民人均消费支出的比重都超过 D. 2021年全国居民人均教育文化娱乐消费支出比2020年增加了567元 4. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 5. 函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中错误的是（　　） A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 7. 椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数最小值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 不确定 二、填空题（共16分） 13. 观察下列不等式：，，，按此规律，第个不等式为__________． 14. 平面向量与的夹角为60°，，，则___________. 15. 年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近个月来手机的实际销量，如下表所示： 月份 年月 年月 年月 年月 年月 月份编号 销量/千部 若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法： ①；②与正相关；③与的相关系数为负数；④月份该手机商城的手机销量约为万部． 其中正确的是________．（把正确的序号填在横线上） 16. 已知四面体ABCD中，△ABD和△BDC是等边三角形，二面角A﹣BD﹣C为直二面角.若AB＝，则四面体ABCD外接球的表面积为 __________________. 三、解答题（共74分） 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值． 18. 设数列满足，. （1）求，，，并猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点． （1）证明：平面BDF； （2）若，，，，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值． 20. 动圆P与直线相切，点在动圆上． （1）求圆心P的轨迹Q的方程； （2）过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点． 21. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两个极值点，证明：． 22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程： （2）若直线与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $