三角恒等变换专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学上学期一轮复习专题：三角恒等变换 一、单选题 1．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，点是边上的点，且，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 4．在斜中，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知是单位圆上不同的两点，其中在第一象限，在第二象限，直线的倾斜角分别为，若点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．顶角为的等腰三角形，常称为“最美三角形”．已知，则“最美三角形”的底边长与腰长的比为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 二、多选题 9．外接圆半径为的满足，则（   ） A． B． C．的面积是 D．的周长是 10．在中，内角所对的边分别为且，则（   ） A． B．若，则 C．若，则面积的最大值为 D．若，则 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若动直线与的图象的交点分别为，则的长可为 B．若动直线与的图象的交点分别为，则的长恒为 C．若动直线与的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为 D．若，则 三、填空题 12．当，为锐角时，恒有，则的取值范围是 ． 13．在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为 . 14．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、．若．则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知在中，角,,所对的边分别为，，，且有 (1)求； (2)若，求的最小值． 16．的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若的面积为，求. 17．在中，，，分别是角，，所对的边，点在边上，且满足，． (1)求的值； (2)若，求． 18．已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值． 19．在中，对应的边分别为，，，，. (1)若存在，求 (2)在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为，，，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式得到，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 又，所以，所以，则， 因为，所以. 故选：C 2．A 【分析】根据正弦定理及三角形面积公式，结合基本关系式及两角差的正弦公式可得结果. 【详解】设，因为，所以.因为， 所以，，. 在中，由正弦定理可得， 即，得， 化简得，即，故，. 解法一：因为， 所以. 故选：A. 解法二：在中，由正弦定理得，即， 得. 所以. 故选：A. 3．B 【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合正弦的两角差公式和辅助角公式求解即可. 【详解】由题意得， ， 因为，所以当，即时取得最大值，且最大值为， 故选：B 4．B 【分析】由得出，由为斜三角形，得出，再根据诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以为锐角，，则，即， 所以，即，所以， 当时，即,所以，不合题意； 当时，， 所以， 所以 当且仅当，即时等号成立， 故选：B． 5．D 【分析】根据三角函数的定义，可得，， 即可利用和差角公式求解. 【详解】单位圆的方程为，将点的横坐标分别代入单位圆的方程，可求得， 根据三角函数的定义知，， 因此． 故选:D． 6．A 【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以 ， 所以， 即， 所以， 即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解. 7．B 【分析】利用二倍角公式求出，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】如图，在中，，，点为中点， 所以，， 又，则， 解得或（舍去）， 即， 又， 所以，即“最美三角形”的底边长与腰长的比为. 故选：B 8．C 【分析】利用余弦定理先得B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可. 【详解】由余弦定理得， 即， ， 所以或， 又，所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：由余弦定理先求，根据条件及余弦的和差角公式、弦化切构造齐次式方程解方程即可. 9．AC 【分析】对三角恒等变换化简可得，其中角满足，又，当且仅当，，可得,,，再结合三角函数单调性和三角形面积公式判断各选项即可． 【详解】由，有， 故，其中角满足 又，当且仅当，， 故,, 结合为三角形的内角，而为锐角，故,, 故有，所以为钝角，且， 由于为钝角，故有，则结合函数的单调性有，故A正确，B错误； 由，则， 则三角形的面积， 由，三角形的周长，故C正确，D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：，其中角满足，由三角函数的有界性得，进而得,是本题的关键. 10．ACD 【分析】结合余弦定理检验选项A；结合正弦定理检验选项B；结合基本不等式及三角形面积公式检验选项C；结合正弦定理及和差角公式检验选项D． 【详解】因为，由余弦定理得，， 由为三角形内角得，，A正确； 若，则，， 由正弦定理得，， 所以，代入，得，B错误； 若，则，当且仅当时取等号， 所以，此时，C正确； 因为，所以， 因为，所以，D正确． 故选：ACD． 11．BCD 【分析】先判断函数的单调性及值域，由条件确定的范围，设点的坐标分别为，列方程化简可得，由此判断AB，判断直线与的图象能围成封闭图形的形状，结合面积公式判断C,由条件，结合两角差余弦公式可求，根据二倍角公式可求，由此判断D. 【详解】由，可得， 所以在区间上单调递减， 且，， 所以， 由，可得， 所以函数在区间上单调递减， 且，， 所以， 由已知， 所以直线与函数都只有一个交点， 设点的坐标分别为， 则， ，， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以， 所以，A错误，B正确， 设直线与函数的交点为， 则，又， 所以四边形为平行四边形，其面积，C正确； 对于D，因为， 所以，， 所以，，即， 又， 所以， 所以，又， 所以 所以，D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是利用正弦型函数的性质得到点横坐标之间的关系，即. 12． 【分析】令，求出的最大值是；再设，时；代回可得，即可求出的取值范围. 【详解】令，， ， 令，， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，有最大值， 即 ， 设，， ， 而，，， ， 在上单调递增， 所以， 即，，， 因此， 即，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：遇到表达式里有多个变量，需先确定主元，将其他变量看成参数，得到一元函数，按照常规函数求最值方法即可. 13．/ 【分析】根据正弦定理边角化可得，即可利用正弦和差角公式求解，利用等面积法可得，进而根据基本不等式即可求解. 【详解】， ， 即， ， ， . ，得， 由，得，当且仅当时，等号成立. 又的周长，当且仅当时，等号成立. 故答案为： 14． 【分析】利用两角和与差的正弦展开式以及二倍角公式，将条件等式变形，然后利用正弦定理可得，代入，最后利用基本不等式可求出最小值． 【详解】因为，，所以 ， 于是， 所以由，得， 由正弦定理得：，于是， ， 因为，所以，， 当且仅当时，“=”成立， 故答案为：． 15．(1) (2)2 【分析】（1）由正弦定理，三角恒等变换的应用化简已知等式可求，根据角的范围即可求解的值； （2）根据向量的数量积公式可得，利用余弦定理可得，结合基本不等式即可得到的最小值. 【详解】（1）因为，可得， 所以由正弦定理可得，又为三角形内角，则， 所以，因为，，则， 所以，即，所以 （2）因为，所以，即， 由余弦定理可得：， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即是等边三角形时等号成立． 故的最小值是2． 16．(1) (2)2，2 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【详解】（1）， 由正弦定理可得：， ， ， 即， ，， ，. （2）由题意，， 所以， 由， 得， 所以，解得：. 17．(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，再利用三角恒等变换得到，从而利用余弦定理列出关系式即可得解. （2）在中，确定三边的长度关系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函数的关系求. 【详解】（1）如图，在中，由正弦定理知， 所以，所以， 因为，所以，则①， 由， 则， 因为，所以，则， 在中，由余弦定理知，则②， 由①②得，． （2）因为，所以，， 在中，由余弦定理知 同理在中，， 因为，所以， 则， 由（1）知，，所以， 在中，由余弦定理知 ， 所以． 18．(1) (2) 【分析】 （1）根据二倍角公式及两角和与差的正余弦公式进行化简即可求解； （2）根据三角形面积公式结合余弦定理，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）在中，由及二倍角公式， 得，即， 整理得， 因此，即，而，所以． （2）由（1）及已知，得，即有， 由余弦定理得，即， 因此，即， 于是，当且仅当时取等号， 而， 所以面积的最小值为． 19．(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而得到或，再利用辅助角公式分类讨论，即可得解； （2）依题意可得，即可得到，再由余弦定理得到，则，利用基本不等式求出的取值范围，令，则，再根据函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以， 所以或， 若，则， 所以或，因为，所以，则； 若，则， 所以或，因为，均不符合题意； 综上可得. （2）因为 ， 由余弦定理可知， 所以，所以， 所以， 令，则，所以， ， 又，当且仅当时取等号， 所以， 又，即， 所以， 所以 令，所以， 令，， 显然函数在上单调递减， 所以， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$