精品解析：2024年江苏省淮安市中考数学模拟押题预测试题

2024年中考模拟押题预测试卷 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 华为Mate60Pro搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000纳米．数据7000000000用科学记数法为（ ） A. B. C. D. 4. 某无盖分类垃圾桶如右图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的名运动员的成绩如表所示： 成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数，众数分别为（ ） A. 1.70，1.75 B. 1.65，1.75 C. 1.65，1.70 D. 1.70，1.70 7. 如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，，设点运动的路程为，则的面积随变化的函数图象大致为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 10. 若，，则__________． 11. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____． 12. 在学校举行的“读书节”活动中，提供了四类适合学生阅读的书籍： A． 文学类，B． 科幻类，C． 漫画类，D． 数理类． 小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，则选中A类书籍的概率为_____________． 13. 一次函数与x轴的交点坐标为______． 14. 如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________m． 15. 已知点在过点，且与轴平行的直线上，则点坐标为__________． 16. 如图，已知是边长为2的等边三角形，点E为高上的动点．连结，将线段绕点C顺时针旋转60°得到．连结，，，则的最小值是______． 三、解答题：本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）解不等式组：，并写出所有整数解． 18 先化简，再求值：，其中 19. 【问题情境】 如图，在菱形中，对角线，相交于点．过点作，过点作交于点． 【探索求证】 （1）求证：四边形是矩形； 【问题解决】 （2）连接，交于点，过点作，垂足为点，若，，求的长． 20. 在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______； （2）这组数据众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数； （3）根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数． 21. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 22. 某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． （1）求、两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围． 23. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 24. 如图，为的切线，A为切点，过A作的垂线，垂足为点C交于点B，延长与交于点D，与的延长线交于点E． （1）求证：为的切线； （2）若，求． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图像直接写出不等式时，的取值范围； （3）在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标； （3）当时， 二次函数最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围． 27. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形 变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ①；②； 【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明： 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考模拟押题预测试卷 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数的相反数是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了倒数和相反数，根据倒数和相反数的意义进行解答即可. 【详解】解：的倒数是，的相反数是， 即的倒数的相反数是， 故选：B 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，故不能计算，不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，计算正确，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 3. 华为Mate60Pro搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000纳米．数据7000000000用科学记数法为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1，进行作答即可． 【详解】解：7000000000大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴7000000000用科学记数法表示为， 故选：D． 4. 某无盖分类垃圾桶如右图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合图形的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可做出判断． 【详解】解：从上向下看，是两个同心圆． 故选：B 5. 如图，的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．作，由平行线的性质得出，由平行公理推出，由平行线的性质得出即可． 【详解】解：作，如图， ， ， ，， ， ． 故选：A 6. 在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的名运动员的成绩如表所示： 成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数，众数分别为（ ） A. 1.70，1.75 B. 1.65，1.75 C. 1.65，1.70 D. 1.70，1.70 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 根据中位数和众数的概念进行求解． 【详解】解：将数据从小到大排列为：150，1.60，1.60，160，1.65，1.65， 1.70，1.70，1.70，1.75，1.75，1.75，1.75，1.80 众数为：1.75； 中位数为：． 故选：A． 7. 如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于，， ， 由圆周角定理得，， 故选：D． 8. 如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，，设点运动的路程为，则的面积随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，动点的函数图象问题，分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别用含x的式子表示出的面积，即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 即当时，，排除C，D选项； 当点P在上运动时，如图： ∵， ∴， 即当时，，排除B选项； 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若，，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：5． 11. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____． 【答案】且m≠0 【解析】 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且m≠0 故答案为：且m≠0． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 12. 在学校举行的“读书节”活动中，提供了四类适合学生阅读的书籍： A． 文学类，B． 科幻类，C． 漫画类，D． 数理类． 小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，则选中A类书籍的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键． 找到等可能情况总数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，共4种选择， 则选中A类书籍的概率为． 故答案为：． 13. 一次函数与x轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 代入求出与之对应的的值，进而可求出一次函数的图象与轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 14. 如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得BC为⊙O的直径，即BC=2，所以AB= ，设该圆锥的底面圆的半径为rm，根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵∠BAC=90°， ∴BC为⊙O的直径，即BC=2m， ∵AB=AC， ∴AB= ， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得，解得r= ， 即该圆锥的底面圆的半径为m． 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键是弄清扇形弧长和底面圆的周长的关系． 15. 已知点在过点，且与轴平行的直线上，则点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的坐标特征．根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】解：∵点在过点，且与x轴平行的直线上， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 16. 如图，已知是边长为2的等边三角形，点E为高上的动点．连结，将线段绕点C顺时针旋转60°得到．连结，，，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质．根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，当时，取得最小值，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点，是边长为2的等边三角形， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 当时，取得最小值， 此时，的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式的解法和实数的混合运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值、三角函数值、负整数次幂和二次根式，再算加减； （2）先解不等式组，再找出整数解． 【详解】解：（1） ； （2）解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先根据混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得． 【详解】解： 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19. 【问题情境】 如图，在菱形中，对角线，相交于点．过点作，过点作交于点． 【探索求证】 （1）求证：四边形是矩形； 【问题解决】 （2）连接，交于点，过点作，垂足为点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，掌握矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论； （2）由四边形是菱形，可得，再由，可得是等边三角形，从而得出，，再由四边形是矩形可得，推出，再由直角三角形性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形为矩形； （2）解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， 在中，， ． 20. 在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______； （2）这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数； （3）根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数． 【答案】（1）40，25 （2）3，3，3 （3）估计暑期该校七年级学生读书的总册数为1200册 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数，众数和平均数，利用样本估计总体： （1）利用条形图计算总人数，利用1减去其他百分数求出的值； （2）根据众数，中位数和平均数的计算方法，进行求解即可． （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：； ， ∴； 故答案为：40，25； 【小问2详解】 3册的的人数最多，故众数为3， 将数据排序后，排在第20和第21位的数据均为3，故中位数为3， 平均数为： 【小问3详解】 （册）． 21. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率计算公式求解即可； （2）利用树状图或列表的方法，分析甲、乙至少一人选择的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可． 【小问1详解】 解：共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的， 甲选择景点的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果， 甲、乙至少有一人选择景点的概率为． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． 22. 某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． （1）求、两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围． 【答案】（1）中奖品的单价为12元，种奖品的单价为16元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，，不等式的应用，解题的关键是掌握相关的知识． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）根据购买费用种奖品的费用种奖品可求出元与件之间的函数关系式，再根据题意列出不等式组可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； 【小问2详解】 由题意可得：， 购买费用不超过元， ， 解得：， 又种奖品数量不大于种奖品数量的倍， ， 解得：， 自变量的取值范围． 23. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】信号塔的高为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，同时涉及矩形的判定与性质，勾股定理等知识，延长交直线于点B，过点E作于点G，证明四边形是矩形，根据坡比先求出 ，，再根据，问题即可得解 详解】解：延长交直线于点B，过点E作于点G，如图， 根据题意有：，，，，，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：信号塔的高为米． 24. 如图，为的切线，A为切点，过A作的垂线，垂足为点C交于点B，延长与交于点D，与的延长线交于点E． （1）求证：为的切线； （2）若，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可； （2）连接，证明，得到，设，则，，由，可求出值． 【小问1详解】 解：证明：连接， 为的切线， ， ，于， ，， 在和中， ， ， 为的切线； 【小问2详解】 连接， 是直径， 由（1）知 ， ， ， ∵， ， ， ∴， ，. ，设，则，． ，， ， ， ， ，即， ，． ，可设，，则． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图像直接写出不等式时，的取值范围； （3）在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将代入求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，将点A和点B的坐标代入，即可求解一次函数解析式； （2）将变形为，根据图形和交点坐标，找出反比例函数图形高于一次函数图象时，自变量的取值范围即可； （3）根据题意进行分类即可，①当时，②当时． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上， 代入得：， 即， 将，代入中， ，解得：； ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由图可知：当或时，； 【小问3详解】 解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ①当时， ∵点M在y轴上， ∴， ②当时， ∵，， ∴， ∴， 综上：，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，根据函数图象求不等式解集，等腰三角形的性质，解题的关键是刷脸掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，正确识别函数图象，掌握等腰三角形“三线合一”． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标； （3）当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将 ，代入解析式，利用待定系数法求解； （2）由可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，由此可解； （3）分，，三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断否为定值即可． 【小问1详解】 解：将 ，代入， 得：， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 当时，， ， ， ，， ； ， 二次函数图象的顶点坐标为； ， 当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值， 此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）得， 二次函数图象的对称轴为直线， 当时，，y有最大值0， ，y有最小值， 最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意； 当时，，y有最小值， ，y有最大值0， 最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意； 当时，，y有最小值， ，y有最大值， 最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意； 综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，难度较大，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 27. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形 变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ①；②； 【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明： 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【解析】 【分析】（1）选①证明，由中线得出，再用证明，利用全等的性质得出，由等量代换得出． （2）由（1）①得结论得出，从而得出，由平行的性质得出，由旋转的性质得出，进一步可得出，利用，由全等的性质得出，最后等量代换可得出． （3）延长至点M，使得，连接，同（2）可得∶， 由全等的性质得出，，由旋转的性质得出，当点G在上时和当点G在的延长线上时，分别求出，则在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动．取的中点O，连接，，由三角形三边关系得出 ，当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大．解直角，即可求出，进一步即可求出． 【详解】解：（1）选择结论① 证明： ∵为的中线 ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）延长至M，使得，连接， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵，绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图2，延长至点M，使得，连接， 同（2）可得∶． ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 当点G在上时， ∴， 当点G在的延长线上时， ∴， 在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动． 取的中点O，连接，， ∵ 当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大． ∵， ∴为直角三角形． ∵， ∴． ∵为直径, ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三等三角形的判定以及性质，平行线的判定以及性质，旋转的性质，以及三角形三边关系得应用，勾股定理等知识点，分析出当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$