精品解析：2024年江苏省徐州市中考数学仿真模拟试题

2024年江苏省徐州市中考数学仿真模拟卷 一、选择题（本大题共有8小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂答题卡相应位置） 1. 下列事件属于必然事件的是（　　） A. 打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” B. 将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变 C. 一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题 D. 在数轴上任取一点，则这点表示数是有理数 2. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 九年级1班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中有两个数据被遮盖 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 2 3 6 7 9 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 6. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 二次函数经过适当变换之后得到新的二次函数，则这个变换为（ ） A. 向上5个单位，向右3个单位 B. 向下5个单位，向右3个单位 C. 向上5个单位，向左3个单位 D. 向下5个单位，向左3个单位 8. 如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的第三条边长为_____． 10. 联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为__________． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 12. 若n边形的每个外角都等于，则边数_________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 14. 规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若，则该等腰三角形的顶角为_____． 15. 如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是_______________. 16. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________． 17. 如图，矩形ABCD顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为________． 18. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处.当为直角三角形时，则的长为________. 三、解答题（本大题共有10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20 解方程组和不等式组： （1） （2） 21. 3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）． 信息二：第三组成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题： （1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_________分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为_________人． 22. 班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼，，，．晚会结束后，小明摘下了两个灯笼（剩两个灯笼未摘），他每次随机摘下一个灯笼，且摘之前需先摘下，摘之前需先摘下． （1）小明第一个摘下的灯笼是灯笼的概率是______； （2）求小明第二个摘下的灯笼是灯笼的概率． 23. 某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20％，共用28天完成了全部任务． （1）问原计划每天绿化道路多少米？ （2）已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40％，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？ 24. 新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表： 售价x（元/件） 150 160 170 180 日销售量y（件） 200 180 160 140 另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元． 注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本 （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）日销售纯利润为W（元），求出W与x的函数表达式； （3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少． 25. 如图，某商厦AB建在一个高台上，商厦AB前是一个长度为BC的平台，为方便顾客，商厦修建了坡度为30°的台阶CD，小明在与A，B，C，D同一平面的点E处观测到点A的仰角为57°，已知BC＝10米，CD＝20米，DE＝15米，求商厦AB的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.55，≈1.73） 26. 如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”． （1）如图1，已知两条线段的长分别为．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交延长线于点E，交于点F，若，判断是否为“匀称三角形”？请说明理由． 27. 如图 （1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； （2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 28. 已知抛物线y＝． （1）如图1，当c＝﹣6时，抛物线分别交x轴于A，B，交y轴于点C． ①直接写出直线CB的解析式； ②点P在直线BC下方抛物线上，作PDy轴，交线段BC于点D，作PEx轴，交抛物线于另一点E，若PE＝PD，求点P的坐标； （2）如图2，若抛物线与x轴有唯一公共点F，直线l：y＝kx+b（k＞0，b＞0）与抛物线交于M，N两点（点N在点M右边），直线MG⊥x轴，交直线NF于点G，且点G纵坐标为-3，求证：直线l过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年江苏省徐州市中考数学仿真模拟卷 一、选择题（本大题共有8小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂答题卡相应位置） 1. 下列事件属于必然事件的是（　　） A. 打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” B. 将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变 C. 一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题 D. 在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件； B、将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变，是必然事件； C、一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题，是随机事件； D、在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数，是随机事件； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件和确定事件，解题关键是明确必然事件是一定发生的事件，准确理解题意，正确判断． 2. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．解题的关键是会利用数轴进行判断． 【详解】解：A、，， ， 故此选项不符合题意； B、，， ， 正确， 故此选项符合题意； C、，，异号两数和取绝对值大的数的符号， ， 故此选项不符合题意； D、， ， 故此选项不符合题意； 故选：． 4. 若，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．与无法合并，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了同底数幂乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 九年级1班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中有两个数据被遮盖 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 2 3 6 7 9 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算成绩为24、25分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第15、16位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择． 【详解】这组数据中成绩为24、25分的人数和为30-(2+3+6+7+9)=3， 则这组数据中出现次数最多的数29，即众数29， 第15、16个数据分别为29、29， 则中位数为29， 因此中位数和众数与被遮盖的数据无关， 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提． 6. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵43=64，53=125， ∴与最接近的是5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键． 7. 二次函数经过适当变换之后得到新的二次函数，则这个变换为（ ） A. 向上5个单位，向右3个单位 B. 向下5个单位，向右3个单位 C. 向上5个单位，向左3个单位 D. 向下5个单位，向左3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】将二次函数，化为顶点式，根据平移法则即可求解． 【详解】解： = ∴需将二次函数向上5个单位，向右3个单位得到 故选：A． 【点睛】本题考查函数的平移，解题的关键是熟记平移法则． 8. 如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可． 【详解】根据题意，补图如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴侧面展开图的面积为， 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算，三角形相似的判定和性质，熟练掌握圆锥的侧面积计算是解题的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的第三条边长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出方程的解，得出两种情况，结合三角形三边关系分类讨论即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 当时，则三角形的三边长分别为2，4，5， ∵， ∴此时三角形成立； 当时，则三角形的三边长分别为10，4，5时， ∵， ∴此时三角形不存在． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出符合条件的三角形的边是解此题的关键． 10. 联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】由在实数范围内有意义，得， 解得， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 12. 若n边形的每个外角都等于，则边数_________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数． 【详解】多边形的外角和为,每个外角都等于, n的值是， 故答案为：18． 【点睛】本题考查多外角和边形的为360°，正确理解多边形外角和定理是关键． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以且，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可． 【详解】解：由题可知：， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 14. 规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】45°． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可． 【详解】解： ∵△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=， ∴∠A：∠B：∠C =2：3：3， 即∠A=180°×=45°， ∴∠A=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出∠A=180°×是解题关键． 15. 如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是_______________. 【答案】，且0＜x＜180 【解析】 【详解】试题分析：由圆周角定理，可得∠BOP=2∠Q=2y°，又由邻补角的定义，可得x+2y=180，继而求得答案： ∵∠BOP和∠BQP是同圆中同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠BOP=2∠Q=2y°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠AOP+∠BOP=180°，即x+2y=180. ∴，且0＜x＜180． 考点：1.由实际问题列一次函数关系式（几何问题）；2.圆周角定理． 16. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________． 【答案】cm 【解析】 【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．设此圆锥的底面半径为r， 【详解】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=， r=cm． 17. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】设，，则，证明，有，求解的值，根据计算求解即可得到阴影部分面积． 【详解】解：设，，则 由题意知， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ 故答案：5． 【点睛】本题考查了反比例函数，矩形的性质，三角形相似的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用． 18. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处.当为直角三角形时，则的长为________. 【答案】或 【解析】 【分析】当△CB′E为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．再在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AE的长 ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．可得AB=BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AE的长. 【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8， ∴AC=10， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=6， ∴CB′=10-6=4； 设BE=，则EB′=，CE= 在Rt△CEB′中，由勾股定理可得：, 解得： 在Rt△ABE中，利用勾股定理可得： ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=6， ∴在Rt△ABE中，利用勾股定理可得： 综上所述，的长为或 故答案为或 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意需要分类讨论 三、解答题（本大题共有10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】解：（1） ； （2） 考点：实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 20. 解方程组和不等式组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先将两个方程相加消去y，进而求出x的值，再将所得x的值代入第一个或第二个方程中求解出y的值即得； （2）分别求各个不等式的解集，进而求出公共解集即得． 【详解】（1） 由①+②得， 解得： 将代入①得： ∴这个方程组的解为 （2） 由①得： 由②得： ∴这个不等式的解集为． 【点睛】本题考查二元一次方程组求解及不等式组求解，解题关键是熟练掌握转化思想，将二元一次方程组通过加减消元或代入消元转化为一元一次方程．注意区分等式的性质和不等式的性质． 21. 3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）． 信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题： （1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_________分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为_________人． 【答案】（1）补全图形见解析；（2）76；78；（3）720． 【解析】 【分析】（1）用抽取的总人数减去第一组、第三组、第四组与第五组的人数即可得第二组的人数，然后再补全频数分布直方图即可； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）样本估计总体，样本中不低于80分的占，进而估计1500名学生中不低于80分的人数． 【详解】（1）第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人） 补全统计图如下： （2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分； 50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）； 故答案为：76；78； （3）1500×=720（人）， 故答案为：720． 【点睛】本题考查直方图，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 22. 班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼，，，．晚会结束后，小明摘下了两个灯笼（剩两个灯笼未摘），他每次随机摘下一个灯笼，且摘之前需先摘下，摘之前需先摘下． （1）小明第一个摘下的灯笼是灯笼的概率是______； （2）求小明第二个摘下的灯笼是灯笼的概率． 【答案】（1） （2）第二个摘下A灯笼的概率为． 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，掌握概率公式是解本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵第一次摘只能先从和中选择任意一个， ∴第一个摘下灯笼的概率是； 【小问2详解】 由题意，画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种， ∴第二个摘下A灯笼的概率为． 23. 某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20％，共用28天完成了全部任务． （1）问原计划每天绿化道路多少米？ （2）已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40％，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？ 【答案】（1）100米 （2）（元） 【解析】 【分析】（1）设原计划每天绿化道路x米，根据题意列分式方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天绿化道路x米， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化道路100米． 【小问2详解】 解：（天），（天）， （元）． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 24. 新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表： 售价x（元/件） 150 160 170 180 日销售量y（件） 200 180 160 140 另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元． 注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本 （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）日销售纯利润为W（元），求出W与x的函数表达式； （3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少． 【答案】见详解 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000，写出函数关系式即可． (3)利用函数的性质，求出函数的最大值； 【详解】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b， 将点（150，200）、（160，180）代入上式 得，解得． 故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500． （2）∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本 由题意得： W＝y（x﹣100）﹣2000 ＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000 ＝﹣2x2+700x﹣52000 （3）W＝﹣2x2+700x﹣52000 ∵﹣2＜0，故W有最大值． 当x＝﹣＝175（元/件）时 W的最大值为= =9250（元）． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，在应用中，找到等量关系，建立二次函数模型，注意自变量的取值范围． 25. 如图，某商厦AB建在一个高台上，商厦AB前是一个长度为BC平台，为方便顾客，商厦修建了坡度为30°的台阶CD，小明在与A，B，C，D同一平面的点E处观测到点A的仰角为57°，已知BC＝10米，CD＝20米，DE＝15米，求商厦AB的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.55，≈1.73） 【答案】商厦的高度约为米． 【解析】 【分析】作交的延长线于，延长交的延长线于，根据坡度的概念、直角三角形的性质、勾股定理分别求出、的长，从而可得、的长，再在中，利用正切三角函数即可得． 【详解】如图，作交的延长线于，延长交的延长线于， 则四边形矩形， ∴米， 米，， ∴在中，米，米， （米），（米）， 在中，，即， 解得（米）， 答：商厦的高度约为米． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、正切三角函数等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 26. 如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”． （1）如图1，已知两条线段的长分别为．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交延长线于点E，交于点F，若，判断是否为“匀称三角形”？请说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2）是；证明见解析 【解析】 【分析】（1）先作线段，使，，作线段的垂直平分线，交于点E，以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，以点B为圆心，线段的长度为半径画弧，两弧交于点C，连接，本题得以解决； （2）连接、，过点B作于点G，证明，得出，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，设，，由勾股定理得，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：为所求作的三角形，如图所示： 【小问2详解】 解：是“匀称三角形”，理由如下： 连接、，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴点D是的中点， ∵点O为的中点， ∴， ∵切于点D， ∴， ∴， 过点B作于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，设，，由勾股定理得，， ∴， ∴是“匀称三角形”． 【点睛】本题主要考查了尺规作三角形，作垂线，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，勾股定理平行线分线段成比例定理，切线的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 27. 如图 （1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； （2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 【答案】（1）； （2），，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】()证明，即可得到； ()证明，得到，，延长相交于点，可以证明； ()作于，交的延长线于，首先证明点的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值即可求解． 【小问1详解】 解： ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 延长相交于点 ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为， 由()知，， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 已知抛物线y＝． （1）如图1，当c＝﹣6时，抛物线分别交x轴于A，B，交y轴于点C． ①直接写出直线CB的解析式； ②点P在直线BC下方抛物线上，作PDy轴，交线段BC于点D，作PEx轴，交抛物线于另一点E，若PE＝PD，求点P的坐标； （2）如图2，若抛物线与x轴有唯一公共点F，直线l：y＝kx+b（k＞0，b＞0）与抛物线交于M，N两点（点N在点M右边），直线MG⊥x轴，交直线NF于点G，且点G的纵坐标为-3，求证：直线l过定点． 【答案】（1）①y＝x﹣6；②点P的坐标为（6，-6）或（5-，5﹣3） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①先求得点B、C的坐标，再利用待定系数法即可求得答案； ②设点P的坐标为（t，），则D（t，t﹣6），可得PD＝，再根据PE∥x轴，可得E（4﹣t，），得出PE＝|4﹣2t|，再利用PE＝PD，建立方程求解即可； （2）根据抛物线y＝与x轴有唯一公共点F，可得Δ＝（﹣2）2﹣4×＝0，，即可求得c的值，得出点F的坐标，如图2，过点N作NT⊥x轴于点T，设MG交x轴于点S，设点M（m，），N（n，），G（m，﹣3），根据m、n是方程x2+（﹣2﹣k）x+2﹣b＝0的两个解，可得：m+n＝2k+4，mn＝4﹣2b，利用tan∠SFG＝tan∠NFT，即，可得出b＝3﹣2k，进而可得直线l解析式为y＝kx+3﹣2k＝k（x﹣2）+3，当x＝2时，y＝3，故直线l经过定点（2，3）． 【小问1详解】 解：①当c＝﹣6时，抛物线y＝．， 令x＝0，则y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， 令y＝0，得： 解得：x1＝﹣2，x2＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0）， 设直线CB的解析式为y＝mx+n， ∵B（6，0），C（0，-6,， ∴， 解得：， ∴直线CB的解析式为y＝x﹣6； ②∵抛物线为， ∴对称轴为直线， 设点P的坐标为（t，），则D（t，t﹣6） ∴PD＝（t﹣6）﹣（）＝， ∵PE∥x轴， ∴点P与点E关于抛物线对称轴直线x＝2对称， ∴E（4﹣t，）， ∴PE＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣2t|， ∵PE＝PD， ∴＝|4﹣2t|， 当t≥2时，＝2t﹣4， 整理得 解得：t＝4或t＝﹣2（舍去）， ∴ ∴P（6，﹣6）， 当t＜2时，＝4﹣2t， 整理得 解得： （舍弃），， ∴P（5﹣，5﹣3）， 综上，点P的坐标为（6，﹣6）或（5﹣，5﹣3）； 【小问2详解】 证明：∵抛物线y＝与x轴有唯一公共点F， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×＝0， 解得：c＝2， ∴， 此时，F（2，0） 如图2，过点N作NT⊥x轴于点T， 设点M（m，），N（n，），G（m，-3） 则， ∴m、n是方程x2+（﹣2﹣k）x+2﹣b＝0的两个解， ∴m+n＝2k+4，mn＝4﹣2b， ∵∠SFG＝∠NFT， ∴tan∠SFG＝tan∠NFT，即， ∴， ∴（n﹣2）（2﹣m）＝6， ∴2（m+n）﹣mn＝10， ∴2（2k+4）﹣（4﹣2b）＝10， ∴b＝3﹣2k， ∴直线l解析式为y＝kx+3﹣2k＝k（x﹣2）+3， ∴当x＝2时，y＝3， ∴直线l经过定点（2，3）． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，利用坐标表示线段长度，一元二次方程根的判别式的运用，根与系数关系的运用，三角函数．掌握待定系数法求函数解析式，利用坐标表示线段长度，一元二次方程根的判别式的运用，根与系数关系的运用，三角函数是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$