精品解析：2024年北京师范大学附属中学中考数学模拟试卷（一）

2024年北京师大附中中考数学模拟测试试卷（一） 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下图中标注的角可以用∠O来表示的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，则a的值可以为（　　） A. 0 B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一个有理数的绝对值一定大于它本身 B. 只有正数的绝对值等于它本身 C. 负数的绝对值是它的相反数 D. 一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 4. 如图，在中，是直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如果，那么代数式的值为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿折线匀速运动，同时，点从点出发沿折线匀速运动，点与点的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 8. 若分式有意义，则的取值范围是________ 9. 方程的解是______． 10. 在函数y＝﹣的图象上有两点（﹣3，y1）、（﹣1，y2），则函数值y1，y2的大小关系是___． 11. 直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为__________． 12. 和是一副三角尺，且，按如图所示的方式恰好放置在矩形内，点E、G分别在边、上，点B、D恰好与矩形的顶点重合，则______． 13. 生活委员小刚对本班50名学生所穿校服尺码的数据统计如下： 尺码 频率 则该班学生所穿校服尺码为“”的人数______个． 14. 如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，，．则线段EH长________． 15. 年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 _______ 元． 三、解答题（共8题）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 计算：． 17. 解不等式组并写出它的非负整数解． 18. 先化简，再求值： 已知，求的值． 19. 如图 ，为上一点，平分，平分． （1）求的度数； （2）求证：是的中点． 20. 如图，在中，点D为边上一点，连结并延长到点E，过点E作交于点F，交于点G． （1）若，求证：； （2）若，求∠A的度数． 21. 当m取何值时，关于x的方程的解是非负数？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 23. 如图，是的外接圆，是的直径，于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长． 24. 如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为，此时拱桥的最高点到水面的距离为． （1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式； （2）当水面宽时，达到警戒水位，如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 25. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线，画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请探究下面函数的性质． 已知函数，其中与成反比例，，且当=2时，=4． （1）关于的函数解析式为___________________． （2）列表，写出表中，的值：= ，= ． 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 0 4 2 0 （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接求出方程=的近似解(结果保留一位小数)． 26. 已知：在矩形中，，，P是边上的一个动点，将矩形折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为． （1）如图1，当点P与点C重合时，则线段　　　　，　　　　； （2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长与的延长线交于点M，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②当时，求四边形的面积． 27. 数学概念：我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形． （1）双圆四边形的对角的数量关系是 ，依据是 ． （2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述） （3）在图①中，连接GE，HF，求证：． （4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示． （5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝2，BC＝4，∠B＝90°，则PM的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年北京师大附中中考数学模拟测试试卷（一） 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下图中标注的角可以用∠O来表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：A、标注的角须三个字母表示，故此选项不符合题意； B、标注的角须三个字母表示为∠AOB，故此选项不符合题意； C、标注的角须三个字母表示为∠COD，故此选项不符合题意； D、标注的角可以表示为∠O，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角定义以及表示方法，正确表示角是解题关键． 2. 要使二次根式有意义，则a的值可以为（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】要使二次根式有意义，则， ∴四个选项中，只有选项A中的0满足题意， 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一个有理数的绝对值一定大于它本身 B. 只有正数的绝对值等于它本身 C. 负数的绝对值是它的相反数 D. 一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的意义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、一个有理数的绝对值不一定大于它本身，如正数和零的绝对值都是它本身，故本选项说法错误，不符合题意； B、只有正数和零的绝对值等于它本身，故本选项说法错误，不符合题意； C、负数的绝对值是它的相反数，故本选项说法正确，符合题意； D、一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是负数或0，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的绝对值，正数和零的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，熟练掌握绝对值的意义是关键． 4. 如图，在中，是直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数，又由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 5. 学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有乘车情况，然后看在同一辆车的情况占总情况数的多少即可． 【详解】列表如下（三辆车分别用1，2，3表示）： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种， ∴小明和小慧乘坐同一辆车的概率是， 故选：B． 【点睛】此题考查了基本概率的求法，解题的关键是熟练掌握求概率的方法，包括列表法和树状图法． 6. 如果，那么代数式的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值； 【详解】原式 ， 当时，原式． 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 7. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿折线匀速运动，同时，点从点出发沿折线匀速运动，点与点的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．作、于点，，证明点与点的运动的路程相同，分为当点在上运动，点在上运动时，当点在上运动，点在上运动时，当点在上运动，点在上运动时，三种情况讨论． 【详解】解：如图，作、于点，， 在四边形中，，，，， ，，， ， ，． 点与点的速度相同， 点与点的运动的路程相同， 当点在上运动，点在上运动时，如图： ， 当时，， 故可排除、两个答案； 当点在上运动，点在上运动时，如图： ， 当时，； 当点在上运动，点在上运动时，如图： ，， ， 可以排除答案， 故选：B． 二、填空题（共24分） 8. 若分式有意义，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 9. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】解分式方程即可得出答案． 【详解】方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 10. 在函数y＝﹣的图象上有两点（﹣3，y1）、（﹣1，y2），则函数值y1，y2的大小关系是___． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数 则当时，随的增大而增大，根据性质可得答案. 【详解】解： y＝﹣， 当时，随的增大而增大， 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“反比例函数的图象在二四象限时，在每一象限内，随的增大而增大”是解题的关键. 11. 直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 12. 和是一副三角尺，且，按如图所示的方式恰好放置在矩形内，点E、G分别在边、上，点B、D恰好与矩形的顶点重合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，证明，得到，证明，得到，设，利用，求出的数量关系，进而求出的值． 【详解】解：过点作，交分别于， ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，； ∵和是一副三角尺， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设， 则：， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即： ， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性较强，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等和相似． 13. 生活委员小刚对本班50名学生所穿校服尺码的数据统计如下： 尺码 频率 则该班学生所穿校服尺码为“”的人数______个． 【答案】15 【解析】 【分析】根据“”所占的频率为0.3再乘以50即可求解． 【详解】解：由表中数据可知，“”所占的频率为0.3， ∴该班学生所穿校服尺码为“”的人数为：0.3×50=15人， 故答案为：15人． 【点睛】本题考查了用频率估算整体的思想，属于基础题，计算细心即可． 14. 如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，，．则线段EH长________． 【答案】 【解析】 【分析】作交BC于点P，交GP于点N．可证明四边形ABPN为平行四边形，为等边三角形，从而可得PG，PC的长度，再证明∽，即可求得DH，从而得出EH． 【详解】解：作交BC于点P，交GP于点N． ∴四边形ABPN为平行四边形， ∴， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正多边形，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．能正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键． 15. 年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 _______ 元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，根据题意列方程即可求解． 【详解】设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，由题意得： 整理得： 徽章和风铃的销售总额为： 把代入得： 当时 徽章和风铃销售总额最大，最大值为：（元） 故答案为：． 三、解答题（共8题）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质，实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 17. 解不等式组并写出它的非负整数解． 【答案】；非负整数解是0，1 【解析】 【分析】首先解两个一元一次不等式，然后求两个不等式解集的公共部分，最后写出不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， ∴非负整数解是0，1． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练解答一元一次不等式和确定一元一次不等式组的解集，在一元一次不等式组解集里确定非负整数解． 18. 先化简，再求值： 已知，求的值． 【答案】；6 【解析】 【分析】先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，准确计算，注意整体代入思想． 19. 如图 ，为上一点，平分，平分． （1）求的度数； （2）求证：是的中点． 【答案】（1） （2） 证明：过点作于点， ∵平分，，， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴，即是的中点． 【解析】 【分析】（1）利用已知条件可以得到，想要求的度数，只需要根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得到结论． （2）过点做，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键． 20. 如图，在中，点D为边上一点，连结并延长到点E，过点E作交于点F，交于点G． （1）若，求证：； （2）若，求∠A的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 在中， ∴（） ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知，结合已知（对顶角相等），可证得（），即可根据全等三角形的性质定理证得． （2）根据平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握并熟练运用相关的性质定理是解题的关键． 21. 当m取何值时，关于x的方程的解是非负数？ 【答案】 【解析】 【分析】根据解的定义直接计算，非负即大于等于0． 【详解】， ， ， 解得， 由题意得， 解得． 【点睛】此题考查含参数的一元一次方程，以及一元一次不等式，解题关键是先求出解，然后对解进行运算． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 23. 如图，是的外接圆，是的直径，于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长． 【答案】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴； （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得如图所示： 由（1）可得点E为BC的中点， ∵点O是BG的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为，此时拱桥的最高点到水面的距离为． （1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式； （2）当水面宽时，达到警戒水位，如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设所求表达式为，然后应用待定系数法求解即可； （2）当水面宽时，在（1）所得函数解析式中，令x=5，可以求出达到警戒水位后拱桥最高点到水面的距离，用这个距离除以水位上涨速度即可得解． 【小问1详解】 如图，建立平面直角坐标系． 设拱桥所在的二次函数的图象对应的表达式为，由题意，可知图象的顶点坐标为 ∵ ∴点坐标为 ∴ ∴ ∴所求函数表达式为； 【小问2详解】 当水面宽时， ∴当时， ， ∴函数图象经过（5，3）， ． 答：当达到警戒水位后，再过此桥孔将被淹没． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数模型的建立方法、待定系数法求二次函数解析式的方法、函数自变量与因变量的意义等是解题关键． 25. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线，画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请探究下面函数的性质． 已知函数，其中与成反比例，，且当=2时，=4． （1）关于的函数解析式为___________________． （2）列表，写出表中，的值：= ，= ． 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 0 4 2 0 （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接求出方程=的近似解(结果保留一位小数)． 【答案】（1） （2），4， 平面直角坐标系中该函数图象如下所示： （3）=-4.7(-5~-4.5均可)，=-2.6(-3~-2.5均可)，=1.3(1~1.5均可) 【解析】 【分析】(1)设，得到，然后代入求出k即可； (2)分别将和代入(1)中表达式中即可求出a和b的值； (3)根据函数图像的交点横坐标即为联立函数解析式形成的方程的解即可作答． 【小问1详解】 解：设，且， ∴，代入， ∴， 解得：， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：将代入， ∴， 将代入， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知：方程=的解可以看成是函数与函数的交点的横坐标， 由(2)中图像可知，其交点有3个，从左至右横坐标依次标记为x1、x2、x3， 观察图像可知，方程的解为：x1=-4.7(-5~-4.5均可)，x2=-2.6(-3~-2.5均可)，x3=1.3(1~1.5均可) ． 【点睛】本题主要考查一次函数及反比例函数的图象和性质，函数与方程的关系，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质，进而求解高次方程是解题的关键． 26. 已知：在矩形中，，，P是边上的一个动点，将矩形折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为． （1）如图1，当点P与点C重合时，则线段　　　　，　　　　； （2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长与的延长线交于点M，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②当时，求四边形的面积． 【答案】（1）2；4 （2）①证明：如图2，∵在矩形中，， 由折叠(轴对称)性质，得：， ， ∵点是的中点， ， 又， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； ② 【解析】 【分析】（1）过点作，由翻折的性质可知：，根据平行线的性质和等量代换可得，由等角对等边可得：，设，在中，由勾股定理可得关于的方程，解方程求得的值，进而可得、的长，由矩形的判定可得四边形是矩形，进而可求、的长，最后由勾股定理可得的长； （2）①根据折叠的性质可得，进而可得，根据已知条件可得，从而证，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论； ②连接与交于点，则且，又由①知：，可得，则，继而证，根据三角函数求得，若设，则，根据勾股定理可得关于的方程，解方程可得的长，继而代入数据即可求解． 【小问1详解】 解：过点作， ∵折叠后点、、重合， ∴， ∵在矩形中，，， ， ， ， 设， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， ， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理可得：； 故答案为：2；4； 【小问2详解】 解：①略 ②如图2，连接与交于点，则且， 又由①知：， ∴，则， 又， ， ， 在， 而， ， 又在中，设，则， 由勾股定理得：， 解得：， 则， 而且， 又四边形是平行四边形， ∴四边形的面积为：． 27. 数学概念：我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形． （1）双圆四边形的对角的数量关系是 ，依据是 ． （2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述） （3）在图①中，连接GE，HF，求证：． （4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示． （5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝2，BC＝4，∠B＝90°，则PM的长为 ． 【答案】（1）对角互补；圆内接四边形的对角互补 （2）双圆四边形的两组对边的和相等 （3） 证明：作直径FN，连接EN，EF，HG，GF，如图， 是直径， ， ， 是切线， ， ， ， ， ， 同理，， 四边形ABCD是圆内接四边形， ， H，G，F，E是切点， ，， ，， ，， ， ， ， ， ． （4） 如图所示： （5） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补性质，解答即可； （2）根据圆的切线长定理，解答即可； （3）作直径FN，连接EN，EF，HG，GF，先证，，继而证得，即，即可得出结论； （4）双圆四边形，应满足两组对边和相等，对角互补两个条件，画出图形即可； （5）连接AC，PF，过点M作于点Q，于点N，先证点P、M在线段AC上，根据切线长定理、相似三角形的性质可求，，从而求得MN，PN的长，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形内接于， （圆内接四边形对角互补）． 故答案为：对角互补；圆内接四边形的对角互补． 【小问2详解】 解：四边形ABCD每条边均与⊙P相切， ，，，， ， ，即双圆四边形的两组对边的和相等． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：双圆四边形，应满足两组对边和相等，对角互补两个条件，正方形满足条件，还有一些两组对边和相等，对角互补的四边形也满足条件，所以双圆四边形的大致区域． 【小问5详解】 解：连接AC， ， 点P，点M在AC上， 连接PF，PB，过点M作作于点Q，于点N，如图， 四边形ABCD内接于， ，， ，AB、BC为切线， ，， ，， ， ， ， 为四边形ABCD外接圆圆心，， ， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，圆内接四边形的性质，切线的性质，切线长定理，圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $