精品解析：2024年四川省成都市数学中考模拟卷A试题

2024年中考数学模拟卷A （成都专用） 注意事项：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每题4分，共32分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1. 下列实数中，无理数的有（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，2023年是中国提出共建“一带一路”倡议十周年，中国与五大洲的150多个国家、30多个国际组织签署了200多份共建“一带一路”合作文件，“朋友圈”不断扩大．据业界初步估算，“一带一路”沿线总人口约44亿，经济总量约21万亿美元，分别约占全球的和，其中数据“44亿”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨 B. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 C. 了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 D. 早上的太阳从东方升起是必然事件 5. 如图，中，，，，则的取值范围是 （ ） A B. C. D. 6. 中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是反比例函数的图像上的三点，若，，则下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线若点的坐标为，则下列结论正确的是（　） A. B. C. 是关于的一元一次方程的一个根 D. 点，在抛物线上，当时， 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：______． 10. 若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和为6，则的值为______． 11. 如图，点A在上，点G在上，矩形的边长分别是4和6，则正方形的面积为___________． 12. 如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，关于原点O位似，其中点都在x轴上，点在上，在上，依此方式，继续作正方形，若点坐标为，则点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解方程：． 15. 某果园有一种特产水梨，收获季节来临，随机抽取20棵该品种梨树并统计每棵树挂梨的个数，调查数据如下： 28，32，36，37，39，40，41，44，45，45，46，46，47，51，53，55，55，55，60，60． 将上述数据按5组进行分组，绘制不完整的统计表和统计图如下： 组名 分组 频数 频率 A 2 B C 7 b D E 2 根据上述统计图表提供的数据，解答下列问题： （1）该组数据中位数是______、众数是______； （2）______，______，______，请补全频数分布直方图； （3）若该果园有该品种水梨树5000棵，请你估算其中水梨树挂梨个数在、两组的棵数． 16. 某山顶有一座观光塔，山脚处有一条笔直山路直通塔底．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，先在山脚处测得塔顶的仰角，沿着山坡向上走到达点处，在处测得塔顶的仰角，已知山坡倾斜角，求塔高． （结果精确到．参考数据：，，，，，，．） 17. 如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若， ①求半径的长； ②求的长． 18. 如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）若的面积为12，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 19. 已知，，．求______． 20. 一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是__________ 21. 如图，正六边形内接于半径为的中，连接，，，沿直线折叠，使得点与点重合，则图中阴影部分的面积为_________________． 22. 如图，在中，已知为平面上一点，且为上一点，且，则的最小值为______． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 _____． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数． （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． （3）在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 26. 折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸． 【实践操作】 操作1：将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作2：在上选一点，沿折叠矩形，使点正好落在折痕上的处． （1）根据以上操作，写出图1中一个的角：______（不添加辅助线与新字母）； 【迁移探究】 如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落矩形所在平面内，边和相交于点． （2）连接，判断和的位置，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．当时请求出的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考数学模拟卷A （成都专用） 注意事项：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每题4分，共32分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1. 下列实数中，无理数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数（无限不循环小数）．解题的关键是理解无理数的概念，同时理解有理数的概念（整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数）．由此即可判定选择项． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是无理数，故此选项符合题意 C．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据整式相关运算法则，逐项判定即可，解题的关键是掌握合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘以单项式法则及完全平方公式． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 3. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，2023年是中国提出共建“一带一路”倡议十周年，中国与五大洲的150多个国家、30多个国际组织签署了200多份共建“一带一路”合作文件，“朋友圈”不断扩大．据业界初步估算，“一带一路”沿线总人口约44亿，经济总量约21万亿美元，分别约占全球的和，其中数据“44亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】数据“44亿”用科学记数法表示为， 故选C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨 B. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 C. 了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 D. 早上的太阳从东方升起是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件，熟练掌握定义是解题的关键．根据方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件的意义分别对每一项进行分析即可得出答案． 【详解】解：A．如果明天降水的概率是，表示明天有降雨的可能性，故不正确； B．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故不正确； C．了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故不正确； D．早上的太阳从东方升起是必然事件，正确； 故选D． 5. 如图，中，，，，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，平行四边形的性质，先证明，，再结合三角形的三边关系可得答案. 【详解】解：如图所示： ∵四边形是平行四边形，，， ，， 在中，由三角形的三边关系得： 即， 故选A 6. 中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 7. 已知，，是反比例函数的图像上的三点，若，，则下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．首先确定该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，结合题意确定，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点，在第三象限，点在第一象限， ∴， ∴，，，， ∴选项B、C、D正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意． 故选：A 8. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线若点的坐标为，则下列结论正确的是（　） A. B. C. 是关于的一元一次方程的一个根 D. 点，在抛物线上，当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题题考查二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．根据对称轴为直线，得到即可判断A项；根据当时，，结合其开口方向，即可判断B项；根据二次函数对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，即可判断C项；根据二次函数增减性，即可判断D项； 【详解】解：对称轴为直线， ， ， ，故A项错误，不符合题意； 对称轴为直线，点的坐标为， 当时，， ， ， ， 抛物线开口向上， ， ， 即，故B项错误，不符合题意； 抛物线与轴交于，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 是关于的一元一次方程的一个根，故C正确，符合题意； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，，故D错误，不符合题意； 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式．利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，先根据第一象限内的点横纵坐标都为正数得到，再由点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， ∴点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点到轴的距离与到轴的距离之和为6， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，点A在上，点G在上，矩形的边长分别是4和6，则正方形的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查特殊四边形面积的求解，根据同底同高判断正方形的面积等于的面积的2倍，矩形的面积等于的面积的2倍，从而得出正方形的面积等于矩形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：24． 12. 如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似的定义、相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．由题意可得，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片， ∴， ∵的面积为6， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，关于原点O位似，其中点都在x轴上，点在上，在上，依此方式，继续作正方形，若点坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、正方形的性质、图形的变化规律，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．根据正方形的性质“四个边相等”求出点的坐标，根据题意求出正方形与正方形的相似比，根据位似变换的性质“位似比等于相似比”计算即可． 【详解】解：∵点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点的坐标为， ∵正方形关于原点位似， ∴正方形与的相似比为， 同理可得：正方形与正方形的相似比为， ∴正方形与正方形的相似比为， ∴正方形与正方形的相似比为， ∴点的坐标为，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解方程：． 【答案】（），；（）． 【解析】 【分析】（）根据平方差公式和完全平方公式分别计算，然后合并同类项即可，再通过负整数指数幂和二次根式的化简及特殊三角函数值计算出的值，代入求值即可； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 本题考查了整式运算和解分式方程，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，负整数指数幂和二次根式的化简及特殊三角函数值，解分式方程是解题的关键． 【详解】（）解：原式 ， ， 由， ∴当时，原式， ； （）解： ， ， ， 解得：， 代入， ∴分式方程的解为：． 15. 某果园有一种特产水梨，收获季节来临，随机抽取20棵该品种梨树并统计每棵树挂梨的个数，调查数据如下： 28，32，36，37，39，40，41，44，45，45，46，46，47，51，53，55，55，55，60，60． 将上述数据按5组进行分组，绘制不完整的统计表和统计图如下： 组名 分组 频数 频率 A 2 B C 7 b D E 2 根据上述统计图表提供的数据，解答下列问题： （1）该组数据的中位数是______、众数是______； （2）______，______，______，请补全频数分布直方图； （3）若该果园有该品种水梨树5000棵，请你估算其中水梨树挂梨个数在、两组的棵数． 【答案】（1）45.5，55 （2）5，，4，补全频数分布直方图见解析 （3）该果园有该品种水梨树梨个数在组由500棵，组有1250棵 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，中位数，众数，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义进行求解即可； （2）根据频数分布表中频数，频率求解即可； （3）将5000乘以组，组所占百分比即可作出估计． 【小问1详解】 解：∵共有20个数据， ∴中位数为第10个，第11个的平均数，即：中位数为：； 55出现的次数最多，即：众数为55， 故答案为：45.5，55； 【小问2详解】 ，，， 补全频数分布直方图如下： 故答案：5，，4； 【小问3详解】 组的棵树：棵， 组的棵树：棵， 即：该果园有该品种水梨树梨个数在组由500棵，组有1250棵． 16. 某山顶有一座观光塔，山脚处有一条笔直山路直通塔底．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，先在山脚处测得塔顶的仰角，沿着山坡向上走到达点处，在处测得塔顶的仰角，已知山坡倾斜角，求塔高． （结果精确到．参考数据：，，，，，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，过点作于，解直角三角形得到，，即可得，再由三角函数可得，，得到，根据可得，求出，即可求解，正确地找出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， 即， 解得， ∴， 答：塔高约为． 17. 如图，在中，，以为直径交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若， ①求的半径的长； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据题意连接，利用角度的转化即可得到本题答案； （2）①根据勾股定理及三角函数可以求出；②连接，利用勾股定理求出，再判定，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：连接 是的直径， ，则， 又是的中点， ． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：①在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴的半径长为； ②在中， ∴， 连接， ， ∵是的中点，是的中点， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查相似三角形判定及性质，勾股定理，切线的判定，三角函数的计算，掌握圆的基础知识是解题的关键． 18. 如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）若的面积为12，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函为，一次函数表达式为 （2） （3）存在，点E的坐标为或或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题， （1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式; （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，设，根据三角形的面积，建立方程求解即可，得出答案; （3）利用待定系数法可直线PM的解析式为，设，分三种情况∶ 当、为平行四边形对角线时； 当、为平行四边形对角线时，当、为平行四边形对角线时；分别建立方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 ∵反比例函数 的图象经过、两点， ， 解得：， ， 由点M、N的坐标得，直线的表达式为：； 反比例函数表达式为，一次函数表达式为； 【小问2详解】 如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E， 设， ，， ， 直线的表达式为：， 则， ， ， 解得：， ； 【小问3详解】 存在，点E的坐标为或或． 由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为， 设， ，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 综上所述，点E的坐标为或或． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 19. 已知，，．求______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式、分式的混合运算及完全平方公式，三个等式左右分别相乘，利用多项式乘以多项式运算法则计算，得出，利用完全平方公式求出的值即可得答案．熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为： 20. 一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是__________ 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的前提．根据正方体表面展开图的特征，判断“对面”“邻面”上的数字，再该结合体的摆放方式得出答案． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面， 因此要使图②中几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1、2、3、5，最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1、2、3、4、5，左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1、2、3， 所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为， 故答案为：32． 21. 如图，正六边形内接于半径为的中，连接，，，沿直线折叠，使得点与点重合，则图中阴影部分的面积为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，翻折的性质以及直角三角形的边角关系，根据正六边形的性质，折叠的性质以及圆的对称性可得出，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出，由图形中各个部分面积之间的关系可得，根据三角形的面积计算公式进行计算即可．掌握正六边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接，交于点，则， 由折叠可知，， ，则， 在中，， ， 由题意可知，是等边三角形，阴影部分面积等于， 连接，点为的内心，到三边的距离相等， ， ， 故答案为：． 22. 如图，在中，已知为平面上一点，且为上一点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线所分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，过作交于N，连接，由，得到再证明由性质可得由勾股定理求出再由三边关系即可求解，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解： 如图，过作交于N，连接， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴在中， 由勾股定理可得： ∵在中， ∴当三点共线时， 有： 此时取得最小值， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，得到，根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论即可． 【详解】，， ，， 设，则：， 点在直线上， 当等腰三角形，分两种情况： ①当时，过点作，则：， ， 两点重合， ， ， ， ； ②当时，过点作，则：， ， ， ， ， ，    故答案为：或． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数． （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 【答案】（1）2400个， 10天；（2）480人． 【解析】 【分析】（1）设原计划每天生产零件x个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程，解出x即为原计划每天生产的零件个数，再代入即可求得规定天数； （2）设原计划安排的工人人数为y人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000，解得y的值即为原计划安排的工人人数． 【详解】解：（1）解：设原计划每天生产零件x个，由题意得， ， 解得x=2400， 经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意． ∴规定的天数为24000÷2400=10（天）． 答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天； （2）设原计划安排的工人人数为y人，由题意得， [5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000, 解得，y=480． 经检验，y=480是原方程的根，且符合题意． 答：原计划安排的工人人数为480人． 【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． （3）在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）M的坐标为或或或或 【解析】 【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点可得、，运用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）根据二次函数图象与轴的交点可求出，如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则，设点的横坐标为，则，根据相似三角形的判定和性质可得，，结合直线可用含的式子表示点，再根据，列式得，由此即可求解； （3）根据题意可得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，可知，设，由两点之间距离公式可得，，，根据菱形的性质分类讨论：①当为菱形的边时， ；②当为菱形的边时，；③当为菱形的对角线时，；由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴、， ∵抛物线的图象经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，且， 解得， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则， ∵点在直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，则，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 解得，， 当时，；当时，， ∴，； 【小问3详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 在（2）条件下，点位于对称轴左侧， ∴， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵， ∴，，， ①当为菱形的边时， ，如图所示，即， ∴， ∴， ∴或； ②当为菱形的边时，，如图所示，即， ∴， ∴或， ∴或； ③当为菱形的对角线时，如图所示，，即， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，M的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，两点之间距离公式的运用，图形结合分析，分类讨论思想等知识是解题的关键． 26. 折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸． 【实践操作】 操作1：将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作2：在上选一点，沿折叠矩形，使点正好落在折痕上的处． （1）根据以上操作，写出图1中一个的角：______（不添加辅助线与新字母）； 【迁移探究】 如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点． （2）连接，判断和的位置，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．当时请求出的正弦值． 【答案】（1），，，（写出一个即可）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质可得，，根据特殊角的三角函数值的计算可得，再根据折叠的性质，平行线的性质可得，由此即可求解； （2）根据矩形的性质和折叠可证，，，再根据三角形的外角和定理可得，结合平行线的判定和性质即可求解； （3）设，根据矩形的性质，中点的性质可得，根据题意可得是等腰三角形，根据平行线的性质，对顶角的性质可得是等腰三角形，由此可得，根据折叠的性质可得，，根据三角形内角和定理可得，所以，即，可求出（负值舍去），由此即可求解． 【详解】解：（1）∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， ∵沿折叠，使点落在上的点处， ，， ， 在中，，， ∴； ， ， ∴； 故答案为：，，，（写出一个即可）； （2）如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， 在中， ， ∴ ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，即是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，含角的直角三角形的性质，特殊角的三角函数值的运用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行性的判定和性质，三角形内角和定理的运用，角的正弦值的计算等知识的综合运用，掌握以上知识，图形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$