微专题1 比较大小的方法-2025届高三数学一轮复习讲义

微专题1 比较大小的方法 幂、指、对数的大小比较是高考的热点题型,常以选择题的形式出现,主要考查指数、对数的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.比较大小时,既有常规方法,也有一些灵活巧妙的方法,以下通过例题对指、对、幂的大小比较的常用方法进行归纳总结. 考点一 利用函数单调性比较大小 【典例精讲】 例1.(2023·山东省潍坊市月考)设，，，则下列不等关系成立的是(    ) A. B. C. D. 例2.(2024·河南省郑州市模拟)（多选）已知函数，则(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 当两个数都是指数幂或对数式时,可将其化为同分母或同底数、同指数、同真数的对数式和指数式，将它们看成是某个指数函数,对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较. 【拓展提升】 练1-1(2023·福建省福州市模拟)（多选）已知，均大于，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 练1-2(2023·广西壮族自治区模拟)已知定义在上的函数，则的大小关系为(    ) A. B. C. D. 考点二 作差、作商法比较大小 【典例精讲】 例3.(2023·广东省广州市月考) 已知，，，则(    ) A. B. C. D. 例4.(22023·湖北省黄石市期末) 若，，，则(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1.一般情况下,作差或者作商,可处理底数不一样的对数比大小. 2.作差或作商的难点在于后续变形处理,注意此处的常见技巧与方法. 【拓展提升】 练2-1(2024·江苏省无锡市月考)已知，，，则、、的大小关系为(    ) A. B. C. D. 练2-2(2024·浙江省丽水市期末)若，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 考点三 借助中间值比较大小 【典例精讲】 例5(2024·山西省临汾市月考)已知，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 例6(2024·河北省石家庄市模拟) 已知，，，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 当底数、指数、真数等都不相同时,可寻找中间量或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间值进行大小关系的判定. 【拓展提升】 练3-1(2023·湖南省常德市月考) 已知，，，则(    ) A. B. C. D. 练3-2(2024·广东省东莞市期末)已知，，为正实数，满足，则实数，，之间的大小关系为(    ) A. B. C. D. 考点四 基本不等式法比较大小 【典例精讲】  例7.(2024·重庆市市辖区模拟)设，，，则(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 利用基本不等式及其变形,比较大小. 【拓展提升】 练4-1(2023·广东省东莞市模拟)已知，，，则(    ) A. B. C. D. 考点五 数形结合比较大小 【典例精讲】 例8.(2024·福建省福州市模拟)(多选)已知实数满足：，则下列不等式中可能成立的是(    ) A. B. C. D. 例9.(2024·湖北省孝感市月考) (多选)已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 涉及指数函数、对数函数的方程，比较方程根大小，对方程进行同底化恒等变形,引入参数,把方程问题转化为两个函数图像交点的横坐标问题,利用函数的图象与性质来确根的大小关系，进而比较大小. 【拓展提升】 练5-1(2023·福建省福州市模拟) 已知正实数，，满足，则以下结论正确的是(    ) A. B. C. D. 练5-2(2023·江西省抚州市模拟)已知，，，则下列说法正确的是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 考点六 构造具体函数比较大小 【典例精讲】 例10.(2023·湖南省岳阳市联考) 若，则(    ) A. B. C. D. 例11.(2024·安徽省滁州市月考) 已知，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 例12.(2023·广州省佛山市联考) 设，则(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1.移项构造函数： 已知条件的数学结构非常对称,并且含有两个变量和，对于两个变量的式子，常采用移项构造函数的方法构造新函数,然后通过求导数研究函数的单调性，并结合对数运算，从而解决问题. 2.单调性构造法：构造相同函数，比较不同函数值. 3.作差、作商构造法：构造不同函数，比较相同函数值.通过作差、作商构造函数，研究单调性，比较函数值与0或1的大小关系. 4.放缩法比较大小：放缩法与构造函数法相结合，利用等式两边形式上接近的特点，利用相关结论，进行适当放缩，使其在形式上一致，从而构造函数. 常用结论： ⑴与指数型函数有关的常见不等式有：①，②，③当时，， ④. ⑵与对数型函数有关的常见不等式有：①，②，③， ④当时，；当时，. ⑶与三角函数有关的常见不等式有：①当时， ，②当时，， ③. 【拓展提升】 练6-1(2023·浙江省杭州市期中) 若，，，则实数，，的大小关系为 (    ) A. B. C. D. 练6-2(2024·河南省安阳市模拟)（多选） 是自然对数的底数，，，已知 ，则下列结论一定正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 练6-3(2023·安徽省黄山市月考) 已知，，满足，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案解析】 例1. 解：因为在上递减，所以， 又因为在上单调递增，所以， 由，， 所以， 因为在上单调递减，所以， 所以． 故选D． 例2. 解：对于，因为 所以，故 A错误； 对于，当时，单调递增， 因为， 所以，故 B正确； 对于，因为，函数单调递减，所以， 则，故 C正确； 对于，当时，单调递减， 因为，所以，故 D错误． 故选：． 练1-1. 解：，均大于，，而是增函数，， 对于，在上是增函数，，故A错误； 对于，在上是减函数，，故B正确； 对于，在上不单调，如，而，故C错误； 对于，，，，故D正确． 故选BD． 练1-2. 解：因为定义在上的函数， 对于，都有， 所以函数为上的奇函数， 当时，函数，则， 所以函数在上单调递增， 因为，， 由对数函数的性质可知：， 所以，也即， 又因为，所以，则有， 所以， 故选：． 例3. 解： ，，， 则，； 又，． ．故选B． 例4. 解：，，， ，， 又，都大于，．， 故选：． 练2-1. 解：因为， 所以，，则， 因为 ， 所以，，则，所以 因为 ，即， 综上，． 故选：． 练2-2. 解：．，，故A错误； B.，， ， ，，即，， ，即，故B正确， C.，，，， ，即，故C错误， D.， ，故D错误． 故选：． 例5. 解：因为，所以，即． 又，即，又， 所以，所以． 因为，所以，所以， 所以， 所以． 故选：． 例6. 解：，， ，，则． ，， ，，，即，则． 故选：． 练3-1. 解：先比较与大小，即比较与大小， 比较与大小，比较与大小，比较与大小， ，，，， 比较与大小，先比较与大小， 比较与大小，， ，，即 故选B． 练3-2. 解：，，为正实数，满足． 设函数， 因为此函数在上单调递增，且，可得  设函数， 因为此函数在上单调递增，可得 设函数， 因为此函数在上单调递增，且，可得 所以． 故选：． 例7. 解：由对数函数性质知 ，即； ，即 因为 则，即， 综上所述：． 故选C． 练4-1. 解：由，，，整理变形为， ，，， 可得，则 而， 因为，， 可得，则， 综上可得． 故选D． 例8. 解： 如图在同一坐标系中分别作出函数的图象， 依题意直线与三个函数都有交点，需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系， 由图知，有三种不同的情况： 当直线在位置时，显然有：； 当直线在位置时，显然有：； 当直线在位置时，显然有：． 故选：． 例9. 解：由可得， 设则， 在同一坐标系中分别画出函数的图象，如图， 当时，当时，当时， 故选ABC． 练5-1. 解：， ，，， 是函数的图象与直线交点的横坐标， 是函数的图象与直线交点的横坐标， 是函数的图象与函数图象交点的横坐标， 如下图所示，则，且， 结合各选项可得，，D错误，C正确， 故选C． 练5-2. 解：当时，，此时，， 所以当时，有，故A错误； 作出，，，的图象如下图： 当时，即两图象在交点处相等， 设交点横坐标为，此时，所以，故B错误； 同理，如图，当时，，故C正确； 如图，当时，，则，故D错误． 故选C． 例10. 解：由，可得， 由于函数在上单调递增， ，，，故A正确； 为减函数，，故B错误； ，，故C错误； ，故D错误． 故选A． 例11. 解：； 设，，时，， 在上单调递减，； ；． 故选D． 例12. 解：令，所以， 当时，当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 令，可得， 令，，则， 在上单调递增， ，时，．， 令，则， 所以当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以当，可得，所以最小． 设，则， 令， 则， 因为，所以， 则，，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，则， 在上单调递增，， ， 综上可得． 故选C． 练6-1. 解：，，，  ，，即， 令，，则，，  ， 令，，则， 函数在上单调递增， ，， 又，，函数在上单调递增， ，， ，故． 故选B． 练6-2. 解：原式变形为， 构造函数，， 时，，，单调递增， 时，，，单调递减 对于，取满足原式，所以错； 对于，当，即时，，， 当时，在时单调递增， 原式，，即，所以对； 对于，当时，显然会有 当时，根据单调性可设，且， 当时，令， 由基本不等式知，所以， ，即， 又时，单调递增，，，故C对； 对于，取，，满足原式，但，所以D错误． 练6-3. 解：由正弦函数的单调性可知，， 而，，所以，， 设，则 当时，，所以函数在单调递减， 则，得，即， 因为， 所以，则，故， 综上：． 故选A． 共14页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$