专题3.5函数的图象-2025届高三数学一轮复习讲义

专题3.5 函数的图象 课标要求 考情分析 核心素养 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数． 2.能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质. 3.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系. 新高考 近3年考题 题 号 考 点 直观想象 数学运算 2024(Ⅰ)卷 该专题近三年没有单独命题，但在其它试题解法中会考查 2024(Ⅱ)卷 2023(Ⅰ)卷 2023(Ⅱ)卷 2022(Ⅰ)卷 2022(Ⅱ)卷 1．利用描点法作函数的图象 步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；（4）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2．作出常见函数的图象 ⑴作出基本初等函数的图象：常数函数、一次函数、反比例函数、二次函数、对勾函数、指数函数、对数函数、三角函数； ⑵用五点法作三角复合函数的图象； ⑶结合抽象函数的单调性、奇偶性，特殊点，作出抽象函数的大致图象. 3．利用图象变换法作函数的图象 ⑴平移变换 ⑵对称变换 的图象的图象； 的图象的图象； 的图象的图象； (，且)的图象 (，且)的图象. ⑶伸缩变换 →． →． ⑷翻折变换 的图象的图象； 的图象的图象. 4．借助导数作出函数大致图象 步骤：（1）求导，确定函数的单调区间； （2）借助极值点、极值、最值、零点或其他特殊点作出函数大致图象. 5．函数图象取自圆锥曲线的一部分 函数的解析式通过变形，变成圆锥曲线的方程，结合函数解析式求出的取值范围，即可明确函数图象. 【重要结论】 1.函数与的图象关于直线对称； 2.函数与的图象关于点中心对称； 3.若函数对定义域内任意自变量x满足：，则函数的图象关于直线对称； 5.图象的左右平移仅仅是相对于而言，如果的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换； 6.图象的上下平移仅仅是相对于而言的，利用“上减下加”进行. 1.【人教A版必修一P161复习参考题4 T13】为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克立方米时，顾客方可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度毫克立方米与时间分钟之间的函数关系为函数的图象如图所示如果商场规定顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版必修一P140 习题4.4 T6】函数的图象如图所示，该图象由幂函数与对数函数“拼接”而成． 求的解析式； 若，求的取值范围． 考点一 函数图象的识别 【典例精讲】 例1.(2023·天津市真题) 函数的图象如下图所示，则的解析式可能为(    ) A. B. C. D. 例2.(2024·湖南省长沙市模拟)已知符号函数则函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1. 给出函数选图象：确定函数的图象主要用排除法 ⑴定性：① 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；② 从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的周期性，判断图象的循环往复；④ 由函数的奇偶性，判断图象的对称性. ⑵定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题. 2. 给出图象选函数：通过图象体现出的函数的性质（奇偶性、单调性、特值等），利用排除法选出正确选项. 【拓展提升】 练1-1(2023·北京市市辖区期末) 年月日，长征五号遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度单位：和燃料的质量单位：、火箭除燃料外的质量单位：的关系满足，，，之间的关系如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 当，时， B. 当，时， C. 当，时， D. 当，时， 练1-2(2023·浙江省温州市模拟) 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为(    ) A. B. C. D. 考点二 利用函数图象解不等式（方程） 【典例精讲】  例3.(2024·江苏省苏州市月考)已知函数，那么不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例4.(2023·浙江省杭州市期末)已知函数，则函数的零点个数是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1.利用函数的图象解不等式： 不等式不能用代数法求解时，转化为两个函数图象的上下位置关系问题；或函数图象与坐标轴的位置关系问题，通过画出函数图象可以直观地求解不等式. 2.利用函数的图象研究方程根的个数： ⑴方程的根即为函数的图象与轴交点的横坐标； ⑵方程的根就是函数与图象交点的横坐标． 【拓展提升】 练2-1.(2023·海南省海口市月考)已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，为偶函数，为奇函数，，当时，，则当时，的解集为(    ) A. B. C. D. 练2-2.(2024·江苏省无锡市月考)已知函数 则方程的实根个数为(    ) A. B. C. D. 考点三 利用函数图象研究函数性质 【典例精讲】 例5.(2024·辽宁省沈阳市期末)(多选)已知函数的图象如图所示，当时，有，则下列判断中正确的是(    ) A. B. C. D. 例6.(2024·广东省阳江市模拟)(多选) 已知函数在，且、上的值域为，则满足条件的整数对可以是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 【拓展提升】 练3-1(2023·四川省绵阳市月考)设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是(    ) A. B. 为奇函数 C. 在上是增函数 D. 方程有个实数解 练3-2(2023·山东省青岛市月考)（多选）已知函数，则下列结论正确的是(    ) A. 在上单调递减 B. C. 当时，函数的值域为，则 D. 当时，函数恰有个不同的零点 考点四 利用函数图象求参数的取值范围 【典例精讲】 例7. (2023·湖南省长沙市期末)设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程至少有个不同的实数根，至多有个不同的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例8. (2024·广东省惠州市联考) 已知函数，，若函数有两个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 如果问题中的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，结合图象、图形的位置关系建立不等式，求得变量的取值范围. 【拓展提升】 练4-1(2023·北京市市辖区模拟)已知函数是上的奇函数，当时，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练4-2(2023·浙江省金华市模拟)已知函数若，且的最大值为，则实数的值为           ． 练4-3(2023·山东省烟台市模拟)（多选） 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的是(    ) A. 当时， B. C. 若，则实数的最小值为 D. 若有三个零点，则实数 1.(2024·广东省江门市模拟)若函数的图象与圆恰有个公共点，则的解析式可以为(    ) A. B. C. D. 2.(2024·浙江省金华市模拟)若函数，则方程的实数根个数为(    ) A. B. C. D. 3.(2024·江苏省南京市模拟)（多选）已知函数，设，，是曲线与直线的三个交点的横坐标，且，则(    ) A. 存在实数，使得 B. 对任意实数，都有 C. 存在实数，使得 D. 对任意实数，都有 【答案解析】 1.【人教A版必修一P161复习参考题4 T13】 解：根据函数的图象，可得函数的图象过点， 代入函数的解析式，可得，解得， 所以 令，可得或，解得 或 ， 所以如果商场规定顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是：． 故选A． 2.【人教A版必修一P140 习题4.4 T6】 解： 由图象得，解得； 由得， 因为幂函数在上单调递增，所以，解得， 所以的取值范围是．  例1. 解：由图知：函数图象关于轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为，即中函数为奇函数，排除； 当时、，即、中上函数值为正，排除； 故选： 例2. 解：定义域为，且为奇函数，故， 故的定义域为， 且 ， 故为偶函数，故AB错误； 当时，，故C错误，D正确． 故选：． 练1-1. 解：如图，作直线，，，，， 由图像易知当，时，，A错误； 当，时，不一定小于，B错误； 当，时，，C正确； 当，时，不一定大于，D错误， 故选：． 练1-2. 解：由题图可知，函数的图象关于轴对称，故函数为偶函数，排除 而，排除，排除 故选B．  例3. 解：分别画出与的图象，如下图所示： 由图象知，不等式的解集为． 故选： 例4. 解：令，，则,分别作出和直线， 由图象可得有两个交点，横坐标设为，，则，，有两根； 时，有个不等实根， 综上可得的实根个数为， 即函数的零点个数是． 故选： 练2-1. 解：因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 即，即， 因为为奇函数，则，所以， 即的图象关于点对称， 所以，所以，即 所以，即， 所以函数是以为周期的周期函数， 于是可知，， 又当时，，根据为定义在上且图象不间断的函数， 可作出的草图如下图所示： 所以当时，的解集为． 故选D． 练2-2. 解：在同一坐标系中作，的图象如下图所示， 由图象观察可知，由可得或或或， 且， 由图象可知，有个不同实根， ，有个不同实根， ，有个不同实根， ，有个不同实根， 综上方程的实根个数为． 故选：. 例5. 解：由图象可得，的定义域为， 所以可能是的解，也可能是的解， 当是的解时，，此时的解为，与题意不符； 当是的解时，，符合要求，故 A正确； 因为，所以，解得或， 因为，所以，故 B正确； 当时，，而，所以的符号在时不变， 则的符号也不变，所以只能大于零，即，故 C正确； 因为，，所以，即，故 D错误． 故选：． 例6. 解：函数，定义域为，且， 所以是偶函数，其图象关于原点对称，当时， 当时，， 由对勾函数的图象与性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 作出的图象如下图所示： 由图可知，要使在，且、上的值域为， 结合选项知则满足条件的整数对可以是，，． 故选ACD． 练3-1. 为奇函数，则关于对称，， 为偶函数，则关于对称，， 则，， 则，则是周期为的周期函数， 当时，， 故作出的大致图象如下： 对于，，故A正确； 对于，关于点对称，周期为，则关于对称，则为奇函数，故B正确； 对于，由图象易得在上是增函数，故C正确； 对于，作出的图象，结合图象易得有个根，即方程仅有个实数解，故D错误． 故选D． 练3-2. 解：当时，， 则在单调递增，在单调递减，在单调递增， 作出函数的图象如下， 由图象可知，函数在单调递减，在单调递增，故选项A错误； 由于，而函数在单调递减，则，故选项B正确； 由于，，结合图象可知， 当时，若函数的值域为，则，故选项C正确； 令，则或，显然有个不同的实数根， 而，由图象可知，有个不同的实数根，则有个不同的实数根， 即函数有个不同的零点，故选项D正确． 故选：． 例7. 解：对，都有， 是定义在上的周期为的函数； 作函数与的图象如下， ， 结合图象可知，，解得； 故选：． 例8. 解：函数， 作出的图象与图象有两个交点，如图 设与的切点为，可得，解得，相切时的斜率． 故得的图象与图象有两个交点时，． 故选：． 练4-1. 解：由题设，若，则， 所以，值域为，函数图象如下： 当时，只有一个与之对应； 当时，有两个对应自变量， 记为，，则； 当时，有三个对应自变量且； 当时，有两个对应自变量， 记为，，则； 当时，有一个与之对应； 令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解， 若有三个解，则，此时有个解，不满足； 若有两个解，且，此时和各有一个解， 结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的； 若有一个解，则有两个解，此时， 所以对应的， 综上，． 故选：． 练4-2. 解：当时，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 在上单调递减，在上单调递增． 作出函数的图象如图所示， 设，，由的最大值为， 可知当时，上一点处的切线与平行， 此时切点的横坐标为，对应的点的横坐标为， ，得， ，， 即，， 则， ． 故答案为：． 练4-3. 解：因为是奇函数，为偶函数， 所以，解得． 由， 当时，， 则，所以， 同理，当时，， 以此类推，我们可以得到如下的图象： A.根据上述规律，当时， ，所以选项A错误； B.根据图象，刚刚好是相邻两个自然数中间的数， 则刚刚好是每一段图象的中的极大值，代入函数解析式，可得选项B是正确； C.根据图象，当时，，，由图象可得选项C是正确； D.有三个零点，等价于函数与函数有三个不同的交点， 设，，则函数恒过点的直线，如图所示： 当函数与，相切的时候，有三个交点， 相切时斜率小于直线的斜率， 直线的斜率为， 故有三个零点时，，即选项D错误． 故选BC． 1.解：作出的图象，如图所示，均不满足题意； 作出的图象，如图所示，由图可知，满足题意． 故选：． 2.解：由于 当时，，则，此时在上单调递增， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 当时，令得，， 当时，令得，， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有个解， 当时，结合图象可知，只有个解， 当时，结合图象可知，有个解， 综上，方程的实数根的个数为． 故选：． 3.解：易知函数在区间，，上均单调递减， 作出函数的大致图象如图所示， 对于选项A与，由图象知， 又当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 且函数图象的渐近线为，，所以存在实数，使得， 存在实数，使得，故A与C正确 对于选项B，当，时，，，故B错误 对于选项D，因为 ， 所以，且， 又因为函数在区间上均单调递减，所以，即，，故D正确． 故选：． 共19页/第20页 学科网（北京）股份有限公司 $$