专题3.2 函数的单调性与最值-2025届高三数学一轮复习讲义

专题3.2 函数的单调性与最值 课标要求 考情分析 核心素养 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 新高考 近3年考题 题 号 考 点 数学抽象 数学运算 直观想象 2024(Ⅰ)卷 6，10 分段函数单调性求参 /单调性的应用 2024(Ⅱ)卷 8 求最值 2023(Ⅰ)卷 4 已知单调性求参 2023(Ⅱ)卷 19 求函数最值 2022(Ⅰ)卷 7 单调性比较大小 2022(Ⅱ)卷 / / 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 若对于函数的定义域内的某个区间上的任意两个自变量， 当时，都有，那么就说函数在区间上单调递增 当时，都有，那么就说函数在区间上单调递减. 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 若函数在区间上单调递增或单调递减，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间. 3.函数单调性定义的等价形式： (1)若且,则⇔⇔⇔为增函数. (2)若且,则⇔⇔⇔为减函数. 【重要结论】 ⑴函数单调性研究的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，若函数在单调区间的端点处有意义，则该点处区间可开可闭，否则为开区间． ⑵单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； ⑶若有多个单调区间应分别写，不能用符号“”、“或”联结，只能用“和”或“，”连结． ⑷求函数的单调区间必须先求定义域，单调区间定义域. 4.单调性性质 （1）函数与(为常数) 具有相同的单调性； （2）时,函数与单调性相同；时, 函数与单调性相反； （3）若恒为正值或恒为负值,则与具有相反的单调性； （4）若,都是增(减)函数,当时,则是增(减)函数; 当时,是减(增)函数； （5）在公共定义域内,增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减； （6）奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反). 5.函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）任意的，都有； （2）存在，使得 （1）任意的，都有； （2）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 【重要结论】 1.在闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到. 2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 1.【人教A版必修一P100复习参考题T4】已知函数在区间是减函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版必修一P81 3.2.1练习3 】已知函数完成下面两个问题： 画出函数的图象，并写出其单调增区间； 求函数在区间上的最大值． 考点一 判断函数的单调性(区间) 【典例精讲】 例1.(2024·福建省厦门市月考) 已知函数，图象经过点，且． 求，的值； 判断并证明函数在区间上的单调性． 例2.(2024·湖北省鄂州市月考) 函数的单调增区间为(    ) A. B. C. D. 例3.(2024·广东省揭阳市月考)已知，则的单调增区间为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 函数单调性的判断方法： ⑴定义法： 在定义域内的某个区间上任取,并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性.即：取值、作差、变形、定号、结论. ①几何意义：增(减)函数图象上任意两点连线的斜率恒大于(或小于)零. ②等价变形：,当时， i.都有,那么就说函数在区间上单调递增； ii.都有，那么就说函数在区间上单调递减. ⑵性质法： 利用函数单调性的性质判断函数单调性. ⑶复合函数法： 对于复合函数,先将函数分解为和,遵循“同增异减”判断复合函数的单调性: 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 ⑷导数法： 对于函数，在区间上，那么在该区间上单调递增； 在区间上，那么在该区间上单调递减. ⑸图象法： 若已知函数图象或作出函数图象，通过观察函数图象的相关性质来判断函数在各个区间上的单调性. 注意：抽象函数的单调性可用定义法判断，或借助其他性质进行判断. 【拓展提升】 练1-1(2023·山东省威海市模拟)函数的单调递减区间是           ． 练1-2(2024·湖南省长沙市联考)函数的单调递增区间是           练1-3(2024·安徽省滁州市联考) 已知函数 讨论的单调性； 若在区间内不是单调函数，求的取值范围． 考点二 函数单调性的应用 【典例精讲】  例5.(2024·湖南省衡阳市月考)已知函数为定义在上的单调递减函数，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例6.(2023·湖北省宜昌市模拟) 已知函数，若，， ，则有(    ) A. B. C. D. 例7.(2024·江苏省南通市月考)已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1.利用单调性比较大小: ⑴若可看作函数的3个函数值，则判断函数的单调性，根据自变量的大小比较函数值的大小； ⑵若可看作函数的3个函数值，则根据作差、作商、放缩、构造函数等方式，比较的大小. 2.利用单调性解不等式： 思路：①先利用函数的相关性质将不等式转化为的形式；②判断函数的单调性；③根据函数的单调性及其他性质，进一步得到与的关系，解不等式（组），结合定义域确定解集. 3.利用函数单调性求参数的取值范围： ⑴ 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，判断函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ⑵若已知函数在区间上单调变化，求函数的单调区间，则区间为函数的单调区间的子集；或转化为，即转化为恒成立问题解决. 注意：①二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关； ②若分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值. 注意：区分“单调区间”与“在区间上单调”； 【拓展提升】 练2-1(2023·安徽省安庆市模拟) 已知函数，那么           ， 的解集为            练2-2(2023·江苏省无锡市月考) 设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练2-3(2024·四川省宜宾市期末) 若，则(    ) A. B. C. D. 考点三 函数的最值问题 【典例精讲】 例8.(2023·广东省汕头市模拟)下列函数求值域正确的是(    ) A. 的值域为 B. 的值域为 C. 的值域为 D. 的值域为 例9.(2023·河北省石家庄市期末) 若实数，满足，则的取值范围是__________． 例10.(2023·天津市市辖区模拟) 已知函数，则          ；若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为           【方法储备】 1.求函数最值(值域)的常用方法：求函数的最值时，应先确定函数的定义域 ⑴图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； ⑵单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； ①若函数在区间上单调，则函数在区间端点处取最值； ②若函数有多个单调区间，先求出各单调区间上的最值，再从各单调区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． ③如果函数定义域为开区间，要考虑端点处的函数值或者发展趋势． ⑶换元法：复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； ⑷基本不等式法：对解析式进行变形，使解析式中出现的结构，具备“一正二定三相等”的条件后,用基本不等式求出最值； 【拓展提升】 练3-1(2023·山东省烟台市月考)（多选） 已知函数，关于的最值有如下结论，其中正确的是(    ) A. 在区间上的最小值为 B. 在区间上既有最小值，又有最大值 C. 在区间上的最小值为，最大值为 D. 在区间上的最大值为 练3-2(2024·辽宁省朝阳市月考)已知函数，若不等式对恒成立，则的取值范围是          ． 练3-3(2023·广东省广州市联考)已知函数在上是增函数，则的最大值为          ． 1.(2024·新高考Ⅰ卷T6) 已知函数在上单调递增，则的取值范围是． A. B. C. D. 2.(2024·江西省南昌市联考)已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.(2024·浙江省杭州市联考) 若实数，满足，则的最小值为           ． 【答案解析】 1.【人教A版必修一P100复习参考题T4】 解：对称轴为，开口向上，要想在区间是减函数，所以． 2.【人教A版必修一P81 3.2.1练习3】 解：，其图象如下： 单调增区间为和． 由中的图象可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，， 故在区间上的最大值为． 例1. 解：因为  的图象经过点  ，且  ， 所以  ，解得  ，所以  ； 由可知  ， 在区间  上单调递增， 理由如下：任取  ，且  ，则  ， 因为  ，且  ， 所以  ，  ，所以  ， 所以  ，即  ， 所以  在区间  上单调递增． 例2. 解：设，则有且；， 所以函数的定义域为：且， 由二次函数的性质可知的单调递增区间为，； 单调递减区间为：； 又因为在区间和上单调递减， 由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：． 故选：． 例3. 解：方法一：由，可得 ， 令，则， 定义域为， 的单调增区间为． 故选A． 方法二：由，可得 令 易知在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 所以的单调增区间为． 故选A． 练1-1. 解：化简函数为： 当时，函数在区间为减函数，在区间上为增函数， 再根据函数为偶函数，由轴右边的图象，作出图象位于轴左侧的部分， 由图象不难得出，函数的单调递减区间为和 故答案为和 练1-2. 解：令，单调递减， ， 可知关于的函数在单调递减， 根据复合函数单调性判断依据同增异减可知，在单调递增， 故答案是． 练1-3. 解：，     ，， 当时，由，得，在上单调递增， 由，得，在上单调递减； 当时，由，得，在上单调递增， 由，得，在上单调递减， 综上得： 当时， 在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递增，在上单调递减； 由知： 若在区间内不是单调函数，则： ，即， 解，得或， 解，得或，                 的取值范围为或   例5. 解：函数为定义在上的单调递减函数，， ， ， 故选：． 例6. 解：易知在上是增函数，且时，，时，， ，，， ，，， ， ． 故选B． 例7. 解：令，由题意可知，对任意的恒成立， 因为，则对任意的恒成立， 则，得． 因为函数在区间上单调递减，外层函数为增函数， 故内层函数在区间上为减函数， 所以，可得． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：． 练2-1. 解：因为， 所以， 由，即，即， 而为减函数， 所以，解得． 故答案为；   练2-2. 解：，， 因为与在区间单调性相同， 当时，在单调递减，在单调递增，不符合题意； 当时，，， 又在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 若函数与在区间上都单调递增， 则且，解得， 若函数与在区间上都单调递减， 则且，此时无解． 综上可知，， 故选：． 练2-3. 解：因为， 令，其中， 因为函数、在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，即， 故，则，所以， 则，错对； 无法确定与的大小，故与的大小无法确定，都错． 故选：． 例8. 解：选项，原函数化为 其图像如图，原函数值域为，A错误， 选项，，当时，，当且仅当时等号成立； 当时，， 当且仅当时等号成立值域为，B错误， 选项，的定义域为 ， 与均在上是增函数， 在上是增函数， 又在上恒不等于， 则在上是减函数， 则的最大值为，的最小值为最大时，此时无限接近与， 的值域为，C错误， 选项，的定义域为， ， 设，则，则， 则的值域为，D正确， 故选D． 例9. 解：实数，满足，可得， 由，解得， 则， 设，， 可得为最小值；为最大值， 可得的取值范围是 故答案为： 例10. 解：由，可得， 当时，， 若在既有最大值又有最小值，必须满足： 解得：， 故实数的取值范围为：． 故答案为；． 练3-1. 解：函数的图象开口向上，对称轴为直线， 在选项A中，因为在区间上单调递减， 所以在区间上的最小值为，A错误； 在选项B中，因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在区间上的最小值为， 又因为， 所以在区间上的最大值为，B正确； 在选项C中，因为在区间上单调递增， 所以在区间上的最小值为，最大值为，C正确； 在选项D中，当时，在区间上的最大值为， 当时，由图象知在区间上的最大值为，D错误． 故选：． 练3-2. 解：因为， 所以图象的对称轴为直线，则的最小值为． 不等式对恒成立等价于． 因为在上单调递增， 所以，则，解得， 故的取值范围是． 故答案为： 练3-3. 解：因为函数在上是增函数， 所以恒成立， 所以，， 又，所以， 则由，可得，两边同时乘以， 可得， 令，，则， 当时，取得最大值， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：． 1.解：因为函数是增函数， 所以要函数在上单调递增，则，解得， 因此的取值范围是． 2.解：设，其判别式，所以函数一定有两个零点， 设函数 的两个零点为，且，由，得，， 所以函数 当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增； 当时， ，所以， 所以在上单调递增， 欲使在上单调递增，只需，得， 综上所述：实数的取值范围是， 故选C ． 3.解：解法一  ， ，，成等比数列， 设公比为， 则 ， ， 故的最小值为． 解法二  ， ， 同理， ， ， 故的最小值为． 故答案为． 共16页/第20页 学科网（北京）股份有限公司 $$