山东省日照市黄海高级中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

黄海高级中学2022-2023学年度上学期高一数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为 A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或3 2.若，则的否命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.设，则的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 5.函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 6.已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 7.角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8.函数的最小值为 （ ） A．3 B．2 C． D． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。） 9.下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（       ） A． B． C． D． 10.下列命题正确的是（ ） A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数 11.已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（       ） A． B． C．是奇函数 D．若，则 12.已知，函数的值域是，则下列结论正确的是（       ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元. 14._______. 15.已知函数的最大值为,最小值为,则的值为_________. 16.已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________. 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。） 17.已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至少有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 18.化简. （1）； （2）； （3）. 19.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润） 20.若二次函数满足,且． （1）求的解析式; （2）若函数在上递减,上递增,求的值及当时函数的值域. 21.（1）已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数． （2）若函数的定义域为（），证明：是偶函数，是奇函数． 22.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点． (1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由 (2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值： (3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄海高级中学2022-2023学年度上学期高一数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为 A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或3 【答案】B 【解析】因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1. 2.若，则的否命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】“若，则”的否命题是“若，则”.故选：C. 3.若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，∴，即，解得． 故选：A． 4.设，则的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，，.又，故．综上可得：． 故选：. 5.函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，故选B． 6.已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知点在第一象限得：，，即，，当，可得，． 当，可得或，． 或，． 当时，或． ，或．故选：B． 7.角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可. 【详解】 ∵角的终边在第一象限， ∴，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限， 当时，此时的终边落在第二象限， 当时，此时的终边落在第三象限， 综上，角的终边不可能落在第四象限， 故选：D. 8.函数的最小值为 （ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】，则，，当时取“=”，所以正确选项为A． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。） 9.下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可. 【详解】 根据和的终边关于轴对称时可知， 选项B中，符合题意；选项D中，符合题意； 选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称. 故选：BD. 10.下列命题正确的是（ ） A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数 【答案】AB 【详解】A选项中，化简为， 故函数在R上是增函数； B选项中， 故函数在R上是增函数； C选项中，令，表示不超过x的最大的整数， 满足，但在R上不是增函数； D选项中，令，但函数在R上不单调． 11.已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（       ） A． B． C．是奇函数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对取特殊值代入已知表达式即可求解 【详解】令，则，故A正确； 令，则，则，故B错误； 令，则，所以， 又令，则， 所以是奇函数，故C正确； 令，则， 所以，故D正确； 故选：ACD 12.已知，函数的值域是，则下列结论正确的是（       ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】CD 【分析】先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出，和，的图象，时，由图可得m的范围，可判断A；当时先求出，的值域，进而可判断时，必有解，即可得m的范围，可判断B，C；当时，先计算在上的值域，即可得，的范围，进而可得m的范围，可判断D． 【详解】当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，为．作出与在上的图象如图所示： 对于A，当时，，因为的值域为，结合图象知，故A不正确； 对于B，当，时，，此时，此时，因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知，故B不正确，C正确； 对于D，当时，在上单调递增，此时的最小值为，的最大值为，要使的值域为，由图知，故D正确． 故选：CD． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元. 【答案】60 【解析】设涨价x元，销售的利润为y元， 则， 当，即销售单价为60元时，y取得最大值.故答案为：60 14._______. 【答案】 【解析】原式 .故答案为：. 15.已知函数的最大值为,最小值为,则的值为_________. 【答案】 【详解】函数定义域 设，开口向下，对称轴为， 当时，，当时 所以，所以，所以 16.已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________. 【答案】1 【分析】由已知条件可得，函数的周期为4，再结合所给的解析式可求得答案 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以的周期为4， 因为当时，， 所以 ， 故答案为：1 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。） 17.已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至少有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【详解】 解：（1）若中只有一个元素， 则当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程为二元一次方程，，即， 故当或时，原方程只有一个解； （2）中至少有一个元素， 即中有一个或两个元素， 由得综合（1）当时中至少有一个元素； （3）中至多有一个元素， 即中有一个或没有元素 当， 即时原方程无实数解， 结合（1）知当或时中至多有一个元素. 18.化简. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）； （2） ； （3）. 19.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润） 【答案】（1）；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元． 【解析】（1）月产量为台，则总成本为元，从而 ． （2）由（1）可知，当时，， 当时，； 当时，是减函数，， 当时，， 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元． 20.若二次函数满足,且． （1）求的解析式; （2）若函数在上递减,上递增,求的值及当时函数的值域. 解析：（1）由题意，可设，因为二次函数满足,所以的对称轴为，所以，可得，又因，所以，可得，因为，即，即，所以，因为，解得 所以的解析式为 （2）由题意，可知：，因为在上递减,上递增，所以的对称轴为，所以，解得，所以，因为在上递减，所以在上递减，所以，当时，，当时，，所以当时函数的值域为 21.（1）已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数． （2）若函数的定义域为（），证明：是偶函数，是奇函数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）令，，或令，，得出方程组，由奇偶性定义即可证明. （2）设，，利用函数的奇偶性定义即可证明. 【详解】证明：（1）令，， 则①， 令，，得②． 由①②得，即． ∴是偶函数． （2）∵，∴， 可见的定义域也是． 若设，， 则与的定义域也是，显然是关于坐标原点对称的． 又， ， ∴为偶函数，为奇函数， 即是偶函数，是奇函数． 22.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点． (1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由 (2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值： (3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和； (2)； (3). 【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答. (2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答. (3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答. (1) 依题意，设为的不动点，即，于是得，解得或， 所以 是“不动点” 函数，不动点是2和. (2) 因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得， 所以实数的值是. (3) 设分别是函数在上的不动点和次不动点，且唯一， 由得：，即，整理得：， 令，显然函数在上单调递增，则，，则， 由得：，即，整理得：， 令，显然函数在上单调递增，，，则， 综上得：， 所以实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$