精品解析：2024年河南省郑州市中考模拟数学试题

郑州市名校中考模拟数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的） 1. 在0、 、、3这四个数中，最小数是（　　） A. 0 B. C. D. 3 2. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷、用科学记数法表示3830000是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点在直线上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. “花花牛”和“生生”是河南两大牛奶品牌．现有4盒两种品牌的牛奶，其中2盒“花花牛”，2盒“生生”，随机抽取2盒，至少有一盒是“花花牛”的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，等边边长为，点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止；同时点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止，设的面积为，运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 学校购买了一批文具，共套，每套有本笔记本，将这批文具的一半捐给贫困地区的学生，捐出的笔记本有________本． 12. 已知二元一次方程组，则________． 13. 为了调查某校名学生对“中国梦”的了解程度，随机抽取部分学生进行调查，并结合数据作出如图的扇形统计图.根据统计图提供的信息，估计该校“不太了解”的学生共有________名. 14. 如图所示，点为外一点，过点作的切线，，点，为切点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点已知，，则的长为_____________． 15. 如图，正方形边长为8，点为边上一点，且，点为边上的中点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的长是______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 在年国际数学日当天，甲、乙两所学校联合举办九年级数学知识竞赛．为了解两校学生的答题情况，从中各随机抽取20名学生的得分，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【信息1】两校学生得分数据的频数分布直方图如图所示： （数据分成4组：，，，） 【信息2】其中乙校学生得分在这一组的数据如下：68，68，70，73，73，74，76，76，77，78，79 【信息3】两组样本数据的平均数、中位数如表所示： 学校 平均数 中位数 甲校 68.35 71 乙校 68.35 根据所给信息，解答下列问题： （1）写出表中的值： ． （2）一名学生的成绩为72分，在他所在的学校，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生，他是哪所学校的学生？请说明理由； （3）在这次数学知识竞赛中，你认为哪所学校的学生表现较好，为什么？ 18. 如图，中，于点． （1）尺规作图：作的平分线交边于点．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明． 19. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，直线经过点A，且与l关于直线对称． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． （3）已知直线与反比例函数的图象交于点另一点B，P在在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标． 20. 城市规划期间，欲拆除一电线杆，如图，已知距电线杆的水平距离的D处有一大坝，背水坡的坡度，坝高为，在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为，之间是宽为的行人道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？（提示：在地面上，以点B为圆心，以为半径的圆形区域为危险区域）（参考数据：） 21. “洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇．”河南洛阳被称为牡丹之乡，每年，月份吸引着数万名游客前来观赏．洛阳市政府组织园林科技人员改良栽培技术，开展新品种培育，其中有A，B两种新品种牡丹，培育5棵A品种牡丹，6棵B品种牡丹需要900元，已知培育一棵A品种牡丹比培育一棵B品种牡丹少用40元． （1）培育每棵A品种牡丹和每棵B品种牡丹各需要多少元？ （2）今年计划培育A，B两种牡丹共600棵，A品种牡丹的数量不超过B品种牡丹数量的3倍，其中培育A品种牡丹x棵，培育A，B两品种牡丹的总费用为y元，求y与x的函数关系式及总费用的最值． （3）园林科技人员在培育过程中，A，B两种牡丹的成活率分别为和．今年计划培育A，B两种牡丹共600棵；要使这两种牡丹的总成活率不低于，至少应投入多少钱？请说明． 22. 随着社会的进步，科技的力量已融入到我们生活的方方面面为提高校学生足球队的技术水平，数学兴趣小组对某一主力球员的射门能力进行了大量的测试，并对采集的数据进行汇总分析，得出如下结论：如图所示，该球员在离球门点米远的处时将球踢出，球在离他米远的处上升到最大高度为米据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知球门的高为米（球门的上沿离地面的距离），请你帮忙计算一下，该球员要想一次性射门成功，他应该在离球门多远的范围内将球踢出．（答案精确到米，参考数据：） 23. 综合与实践 （1）【问题提出】 如图1，在中，，，点为斜边上一点，连接并延长到点，使得，过点作于点．则与的数量关系为______． （2）【拓展应用】 如图2，在中，，，点为边上一点，连接并延长到点，使得，过点作，交直线于点 ①当点，位于点异侧时，写出，，之间的数量关系，并说明理由； ②当点，位于点同侧时，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郑州市名校中考模拟数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的） 1. 在0、 、、3这四个数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 根据“负数0正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案． 【详解】解：∵， ∴最小， 故选：B． 2. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两部分，下面一部分是一个长方形，上面一部分左上角有一个小长方形，即看到的图形如下： ， 故选：B． 3. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷、用科学记数法表示3830000是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法，绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，n为整数位数减1，据此即可解答． 【详解】解：可表示为． 故选：A． 4. 如图，已知，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点在直线上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先求出，再根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵， ∴． 故选A． 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，利用分式的乘法法则解答即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 6. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ∵ ， 故选：D． 7. 已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解： ∵ ∴即 ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. “花花牛”和“生生”是河南两大牛奶品牌．现有4盒两种品牌的牛奶，其中2盒“花花牛”，2盒“生生”，随机抽取2盒，至少有一盒是“花花牛”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．解题的关键是掌握列表法或画树状图法．根据题意画树状图，共有12种等可能的结果，至少有一盒是“花花牛”的结果有10种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把2盒“花花牛”牛奶记为A、B，2盒“生生”牛奶记为C、D， 根据题意可画树状图如图： 共有12种等可能的结果，至少有一盒是“花花牛”的结果有10种， 随机抽取2盒，至少有一盒是“花花牛”的概率是． 故选：D． 9. 如图，等边的边长为，点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止；同时点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止，设的面积为，运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，根据实际情况分情况讨论是解题的关键．根据点的位置分两种情况讨论，当点在上运动时，求得与之间函数解析式，当点在上运动时，求得与之间函数解析式，最后根据分段函数的图象进行判断即可． 【详解】解：由题得，点移动的路程为，点移动的路程为，，， ①如图，当点在上运动时，过点作于， 则，，， 的面积， 即当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A、B排除； ②如图，当点在上运动时，过点作于， 则，，， 的面积， 即当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C排除，而D正确； 故选：D． 10. 如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，作直线，首先证明，得，，再证明点在的平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，设，由图知，，则，由，得到对应边成比例即可求出的值，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作直线， 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小， 点关于直线的对称点， ， ， ， ， 四边形平行四边形， ， 设，由图知， ， ， ， ∴， ∴， ， 即， 解得：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 学校购买了一批文具，共套，每套有本笔记本，将这批文具的一半捐给贫困地区的学生，捐出的笔记本有________本． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意可得这批图书共有册，它的一半就是． 【详解】解：根据题意可得这批图书共有册，它的一半就是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是弄清题目的意思，表示出这批图书的总数量，注意代数式的书写方法，除法要写成分数形式． 12. 已知二元一次方程组，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由，即可求解． 【详解】解：， 由得：． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握整体思想的解题方法，两个方程整体相减是解题的关键． 13. 为了调查某校名学生对“中国梦”的了解程度，随机抽取部分学生进行调查，并结合数据作出如图的扇形统计图.根据统计图提供的信息，估计该校“不太了解”的学生共有________名. 【答案】500 【解析】 【分析】先根据扇形统计图求出该校“不太了解”的学生所占的百分比，再乘以总人数即可得到答案． 【详解】解：由扇形统计图可知，该校“不太了解”的学生所占的百分比为， （名）， 故答案为：500． 【点睛】本考查了扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的特点是解题关键． 14. 如图所示，点为外一点，过点作的切线，，点，为切点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点已知，，则的长为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出长度，进而得出的长度，设的半径为，则，，运用勾股定理列出方程，得出半径，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，连接． ，为的切线， ，，． ． 在中，， ． 设的半径为，则，． 在中，，即， 解得， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键． 15. 如图，正方形的边长为8，点为边上一点，且，点为边上的中点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等收纳侥幸的判定和性质．过点G作于点M，于点N，则是矩形，然后利用证明，得到，，然后利用勾股定理求出长即可． 【详解】过点G作于点M，于点N， ∴ 又∵是正方形， ∴， ∴是矩形， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算及分式的化简， （1）利用绝对值的性质，立方根的定义，负整数指数幂进行计算即可； （2）利用分式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 在年国际数学日当天，甲、乙两所学校联合举办九年级数学知识竞赛．为了解两校学生的答题情况，从中各随机抽取20名学生的得分，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【信息1】两校学生得分的数据的频数分布直方图如图所示： （数据分成4组：，，，） 【信息2】其中乙校学生得分在这一组的数据如下：68，68，70，73，73，74，76，76，77，78，79 【信息3】两组样本数据的平均数、中位数如表所示： 学校 平均数 中位数 甲校 68.35 71 乙校 68.35 根据所给信息，解答下列问题： （1）写出表中的值： ． （2）一名学生的成绩为72分，在他所在的学校，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生，他是哪所学校的学生？请说明理由； （3）在这次数学知识竞赛中，你认为哪所学校的学生表现较好，为什么？ 【答案】（1）73.5 （2）甲校，见解析 （3）乙校的成绩更好，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线和平均数，熟知中位数和平均数的定义是解题的关键． （1）根据中位数的定义进行求解即可； （2）根据题意可知此学生的成绩大于其所在学校的中位数，由此即可得到答案； （3）从平均数和中位数进行描述即可． 【小问1详解】 解：把乙校学生的得分按照从小到大排列，处在第10名和第11名的成绩为73，74， 乙校学生得分的中位数为，即， 故答案为：73.5； 【小问2详解】 该学生是甲校的；理由是： 成绩为72分超过了该校一半以上被抽取的学生的成绩， 分大于此学生所在学校的中位数， ， 该学生是甲校的； 【小问3详解】 乙校的成绩更好，理由如下： 从平均数看，甲校的平均数等于乙校的平均数，甲校成绩的中位数低于乙校成绩的中位数， 乙校的成绩更好． 18. 如图，在中，于点． （1）尺规作图：作的平分线交边于点．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义和角平分线的尺规作图： （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先得到，再由垂直的定义和三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，进而推出，则． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：，证明如下： ， ， ， ， ， 平分， ． ∴， ∴． 19. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，直线经过点A，且与l关于直线对称． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． （3）已知直线与反比例函数的图象交于点另一点B，P在在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标． 【答案】（1） （2）7 （3）所有符合条件点P的坐标为，，． 【解析】 【分析】（1）根据，，算出点A坐标，再将点A坐标代入反比例函数，即可解答． （2）根据题意求出直线的解析式，结合图形阴影部分面积直线、直线与x轴围成的三角形面积直线与x轴、y轴围成的三角形面积，算出直线、直线与坐标轴的交点坐标即可解答． （3）分三种情况讨论，即以、、为对角线三种情况，再根据中点公式即可解答． 【小问1详解】 解：直线与反比例函数的图象交于点， 把代入，得：， ， 将代入反比例函数，得：， ， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：根据直线，可得直线与x轴的交点为， 直线经过点A，且与l关于直线对称， 直线与x轴的交点为， 设直线， 将，代入解析式得：， 解得， 直线， 直线与y轴的交点坐标为， 结合图形阴影部分面积直线、直线与x轴围成的三角形面积直线与x轴、y轴围成的三角形面积， ． 【小问3详解】 解：直线与反比例函数的图象交于点另一点B， 可列方程， 解得：或， ， 设， ①当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时， 根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同， 根据中点公式，可得方程，解得， ； ②当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时， 根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同， 根据中点公式，可得方程，解得， ； ③当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时， 根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同， 根据中点公式，可得方程，解得， ； 综上所述，所有符合条件点P的坐标为，，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合的综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数以及一次函数，平行四边形的性质，熟知该性质是解题的关键． 20. 城市规划期间，欲拆除一电线杆，如图，已知距电线杆的水平距离的D处有一大坝，背水坡的坡度，坝高为，在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为，之间是宽为的行人道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？（提示：在地面上，以点B为圆心，以为半径的圆形区域为危险区域）（参考数据：） 【答案】不需封闭人行道，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，矩形的性质和判定，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．求需不需要将人行道封上实际上就是比较与的长短，过C作于M，利用解直角三角形得到，那么的长度就是也就是．再根据题意得到，最后进行比较即可解题． 【详解】解：如图，作于点M， 由题易知为矩形． ，， 背水坡的坡度， ， ． （）． 在中， ， （）． （）． 而（）． ．故不需封闭人行道． 21. “洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇．”河南洛阳被称为牡丹之乡，每年，月份吸引着数万名游客前来观赏．洛阳市政府组织园林科技人员改良栽培技术，开展新品种培育，其中有A，B两种新品种牡丹，培育5棵A品种牡丹，6棵B品种牡丹需要900元，已知培育一棵A品种牡丹比培育一棵B品种牡丹少用40元． （1）培育每棵A品种牡丹和每棵B品种牡丹各需要多少元？ （2）今年计划培育A，B两种牡丹共600棵，A品种牡丹的数量不超过B品种牡丹数量的3倍，其中培育A品种牡丹x棵，培育A，B两品种牡丹的总费用为y元，求y与x的函数关系式及总费用的最值． （3）园林科技人员在培育过程中，A，B两种牡丹的成活率分别为和．今年计划培育A，B两种牡丹共600棵；要使这两种牡丹的总成活率不低于，至少应投入多少钱？请说明． 【答案】（1）培育每棵A品种牡丹需要60元，培育每棵B品种牡丹需要100元 （2），当时，y取最小值为元 （3）48000元，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二元一次方程以及一元一次不等式的应用，正确找出等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设培育每棵品种牡丹需要元，培育每棵品种牡丹需要元．根据培育5棵品种牡丹，6棵品种牡丹需要900元，已知培育一棵品种牡丹比培育一棵品种牡丹少用40元列方程组求解即可； （2）根据总费用与单价和棵树的关系即可列出一次函数，进而根据函数的性质即可求解； （3）根据两种牡丹的总成活率不低于列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设培育每棵4品种牡丹需要x元，培育每棵B品种牡丹需要y元． 由题意得，，解得． 答：培育每棵A品种牡丹需要60元，培育每棵B品种牡丹需要100元． 【小问2详解】 解：根据题意得：，化简得：． ， ． ． y的值随x值的增大而减小， 当时，y取最小值为元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得，即满足成活率的要求下培育的A品种牡丹不得超过300棵， 由． 的值随x值的增大而减小 当，即满足成活率的要求下培育牡丹所花费用最少。 y取最小值为元； 至少应投入48000元． 22. 随着社会的进步，科技的力量已融入到我们生活的方方面面为提高校学生足球队的技术水平，数学兴趣小组对某一主力球员的射门能力进行了大量的测试，并对采集的数据进行汇总分析，得出如下结论：如图所示，该球员在离球门点米远的处时将球踢出，球在离他米远的处上升到最大高度为米据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知球门的高为米（球门的上沿离地面的距离），请你帮忙计算一下，该球员要想一次性射门成功，他应该在离球门多远的范围内将球踢出．（答案精确到米，参考数据：） 【答案】（1） （2）离球门米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，在利用二次函数解决实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． （1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，于是可设抛物线的顶点式为，将点的坐标代入即可求解； （2）当时，解得，，则该球员的最大射程为米，当时，解得，，则，以此即可求解． 【小问1详解】 该球员在离球门点米远的处时将球踢出，球在离他米远的处上升到最大高度为米． ，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的顶点式为， 将点代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 解得：，， 该球员的最大射程为（米）， 当时，， 解得：，， ， 该球员应在离球门米出将球踢出时可以直接将球射入球门． 23. 综合与实践 （1）【问题提出】 如图1，在中，，，点为斜边上一点，连接并延长到点，使得，过点作于点．则与的数量关系为______． （2）【拓展应用】 如图2，在中，，，点为边上一点，连接并延长到点，使得，过点作，交直线于点 ①当点，位于点异侧时，写出，，之间的数量关系，并说明理由； ②当点，位于点同侧时，若，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；②或5； 【解析】 【分析】（1）过点作于G，先证明△EDF≌△CDG，得到，然后利用等腰直角三角形的性质，即可求出答案； （2）①过点作于G，证明，然后，，由勾股定理，即可得到结论； ②过点C作于G，根据、两种情况，由①得结论即可求出答案． 【详解】（1）解：过点C作于G，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴△EDF≌△CDG， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①过点C作于G，如图， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴ ∴； ∴ ②如图3-1：过点C作于G，，， 与①同理可证， ∴， ∵， 当点F在点A、D之间时，有 ∴， ∴； 当点D在点A、F之间时，如图3-2： ∴， ∴； 综合上述，线段的长为或5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$