专题2.2 基本不等式讲义-2025届高三数学一轮复习

2.2 基本不等式 课标要求 考情分析 核心素养 掌握基本不等式,结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 新高考 近3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 逻辑推理 2024(Ⅰ)卷 18（1） 利用基本不等式求最值 2024(Ⅱ)卷 / / 2023(Ⅰ)卷 / / 2023(Ⅱ)卷 / / 2022(Ⅰ)卷 / / 2022(Ⅱ)卷 12 利用基本不等式求最值 1. 基本不等式: 如果（当且仅当时等号成立）, 其中为这两个正数的几何平均数，为这两个正数的算术平均数，即两个正数的几何平均数小于等于它们的算术平均数. 2.利用基本不等式求最值： 已知，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值（简记：积定和最小）； （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值（简记：和定积最大）. 3.基本不等式的常见结论： （1）， （2） （3） 以上不等式等号成立的条件均为. （4）当时,；当. （5）若,当且仅当时,等号成立. 1.【人教A版必修一 P48 习题2.2 T1】已知，则函数的最大值是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版必修一P48 习题2.2 T4】已知，，均为正实数． 求证：． 若，求证：． 考点一 利用基本不等式求最值 【典例精讲】 例1.(2023·山东省菏泽市月考)（多选）下列命题中正确的是(    ) A. 的最小值是 B. 当时，的最小值是 C. 当时，的最大值是 D. 若正数，满足，则的最小值为 例2.(2024·重庆市市辖区模拟)（多选）已知，，且，则(    ) A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【方法储备】 利用基本不等式求最值，通常有三种方法： 1.拼凑法：对题目代数式进行“添项、拆项、变系数”等方法凑成“和为定值”或“积为定值”，再利用基本不等式求解； 2.巧用“1”法：根据求解将已知条件变换为常数“1”，再将“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或替换某个部分，进而构造成和或积为定值，再利用基本不等式求解. 3.消元法：先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围. 特别提醒：在利用基本不等式求最值过程中需要注意变量为正数的要求及等号成立条件的验证. 【拓展提升】 练1-1(2023·海南省模拟)若圆关于对称，则的最小值为           ． 练1-2(2024·湖南省株洲市月考)已知，，且，求的最小值为(    ) A. B. C. D. 练1-3(2023·广东省深圳市月考)非零实数，，满足，，成等差数列，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 考点二 利用基本不等式解决恒成立和存在性问题 【典例精讲】   例3.(2024·天津市市辖区模拟)若，，且恒成立，则的最大值为      ． 例4.(2024·江苏省徐州市期末)若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 【方法储备】 利用基本不等式解决恒成立和存在性问题 此类问题一般先利用参变分离转化为求函数的最值，转化过程中注意以下结论： 恒成立问题:①若在区间上存在最小值，则不等式在区间上恒成立 ②若在区间上存在最大值，则不等式在区间上恒成立 存在性问题:①若在区间上存在最大值，则在区间上存在使成立 ②若在区间上存在最小值，则在区间上存在使成立 【拓展提升】 练2-1(2024·安徽省亳州市月考)在中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练2-2(2024·山西省大同市期末)不等式对于，恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点三 基本不等式的实际应用 【典例精讲】   例5. (2023·江苏省徐州市期末)如图，有一壁画，最高点处离地面，最低点处离地面，若从离地高的处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 利用基本不等式解决实际问题 在实际问题中首先根据题意列出函数表达式，再利用基本不等值进行求解，过程中注意函数定义域，验证基本不等式成立的条件. 【拓展提升】 练3-1 (2024·浙江省杭州市模拟)能源是国家的命脉，降低能源损消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层某建筑物准备建造可以使用年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是万元人民币又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物年间的每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：厘米满足关系：，经测算知道，如果不建隔热层，那么年间的每年的能源消耗费用为万元人民币设为隔热层的建造费用与年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时，隔热层厚度        厘米． 练3-2 (2023·江西省南昌市期末)爬山是一项简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但在爬山过程中要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为，下山原路返回的速度为，乙上、下山的速度都是，两人上、下山途中不停歇，则甲、乙两人上、下山所用时间之比为          ；甲、乙两人上、下山所用时间最少的是          填甲或乙． 考点四 基本不等式的其它综合应用 【典例精讲】 例6. (2023·黑龙江省绥化市期末)（多选）若实数，满足，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 例7. (2024·江苏省淮安市模拟)在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 基本不等式是解决最值问题的一种常用方法,在解决最值问题中具有广泛的应用,数列、三角函数、解析几何、立体几何、向量等问题中的最值,常用基本不等式求解. 【拓展提升】 练4-1.(2023·江苏省南通市模拟)函数的最小值是         ． 练4-2.(2023·浙江省赣州市联考)已知正实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 1.(2024·湖北省襄阳市月考)定义：已知，，分别为的三个内角，，所对的边，若，且，则边的最小值为       ． 2.(2024·浙江省杭州市联考)已知正实数满足，则的最小值为    ． 3.(2024·河南省郑州市联考)已知函数，且正数满足，若恒成立，则实数的取值范围是        ． 【答案解析】 1.【人教A版必修一 P48 习题2.2 T1】 解：因为，所以， 所以函数， 当且仅当即时取等号． 故选A． 2.【人教A版必修一 P48 习题2.2 T4】 证明：因为，，都是正数， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以； ， 当且仅当时等号成立．． 例1. 解：对于选项A，因为， 等号成立的条件是，显然不成立，所以等号不成立，不能使用基本不等式，即最小值不为， 令，则，，则在上单调递增， 所以时取得最小值，故A错误； 对于选项B，因为 ，则 ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于选项C，因为，则，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于选项D，若正数，满足， 则， 当且仅当时，取等号，故D正确． 故选BCD． 例2. 解：对于，因为，，所以，当且仅当时取等号， 即，解得，即，A错误； 对于，由，，，当且仅当时取等号， 得，所以， 又，所以，B正确； 对于，由，，，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，但， 所以等号取不到，故C错误； 对于，由的分析知：，，， ， 当且仅当，即时等号成立，D正确， 故选：． 练1-1. 解：圆，化简可得，可得圆心坐标为：． 由题意可得圆心在直线上，则可得， 所以，则 ， 当且仅当，即等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 练1-2. 解：法一(消元法)，，又，，， 那么：， 当且仅当，时取等号． 法二(直接利用基本不等式)，，，那么：， ， 当且仅当，时取等号． 故选：． 练1-3. 解：，，成等差数列，则有，则有， 则， 当且仅当时取等号． 故选B． 例3. 解：根据题意，，则， 又由， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为， 因为恒成立，又由，则的最大值为 故答案为． 例4. 解：由于，则， ， 当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最小值． 则不等式有解，可转化为成立， 即，解得或． 故选A． 练2-1. 解：在中，，所以，即， 所以，即， 又，即，所以，且， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时有最小值， 因为不等式恒成立，所以 ，解得， 则实数的取值范围为． 故选A． 练2-2. 解：因为不等式对于，恒成立， 所以不等式对于，恒成立， 由于，，则令，则，对于恒成立， 由对勾函数性质可知函数在上单调递减， 所以的最大值为，此时，所以，即， 所以的取值范围是． 故选A． 例5. 解：设离墙的距离为为， 过作，交的延长线于，则，易得， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 由于，所以当最大时，最大，此时． 故选D． 练3-1. 解：设隔热层厚度为厘米， 由题设，每年能源消耗费用为， 再由，得，因此， 而建造费用为， 最后得隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为 ， ， 当且仅当时，取最小值，解得或舍去， 故当时，取得最小值， 使达到最小值时，隔热层厚度厘米． 故答案为． 练3-2. 解：设上山路程为， 则甲上、下山所用时间为，乙上、下山所用时间为， 甲、乙两人上、下山所用时间之比为． 且，， ，， ， 乙上、下山所用时间最少． 故答案为，乙． 例6. 解：， ，设，则由题意得 ，即因为， 即，当且仅当，即时等号成立， 解得，所以的取值范围是．   例7. 解：因为在中，， 所以由余弦定理得，，化简得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当，时取得最大值， 则的最大值为． 故选：． 练4-1. 解：，易知， 由， 得 ， 当且仅当 ，即时等号成立， 所以函数 的最小值是． 故答案为：． 练4-2. 解：因为正实数，满足， 可得， 当且仅当时，取等号， 即得，解得或， 又，所以， 即的最小值为． 故答案为：． 1.解：由题可知，化简得， 为三角形内角，解得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以． 故答案为：． 2.解： ， 当且仅当，时取等号． 故答案为． 3.解：因为， 所以，若成立，则， 又， 而在上单调递增，所以在上单调递增， 由，则只能， 因此当且仅当时成立； 又已知，所以，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，所以， 要使恒成立，只需满足，解得， 故实数的取值范围是． 故答案为： 第 3 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$