精品解析：湖南省永州市第一中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题

永州一中2025届高三第一次月考试卷 数 学 命题人：周建权 审题人：陈诗跃 注意事项： 1．全卷满分150分，时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，再利用集合运算性质求解即可. 【详解】， ， 所以. 故选：A 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是，则 的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数 ，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】 在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得 ， 故所求即为. 故选：A. 4. 已知直线与圆，则“，直线 与圆 有公共点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法，当，直线 与圆 有公共点时，恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 当，直线 与圆 有公共点时，恒成立，即恒成立， 则且，解得，即或（舍去） 所以“，直线 与圆 有公共点”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断 在 上的单调性，将不等式等价于，由一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】，可得当 时， 单调递减，当时， 单调递减，且 时函数连续，则 在 上单调递减， 不等式，可化为，即， 解得： ，则原不等式的解集为：， 故选：A 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 7. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面 ，可知 平面 ，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面 为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取 的中点 ，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面 ， 所以平面平面 ， 过作的垂线，垂足为 ，即， 由平面平面， 平面， 所以 平面 ， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出 ，由勾股定理得出 ，结合第一定义再求出 . 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是1 B. 的最小值是 C. 的最小值是4 D. 的最小值是5 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可以判断选项ACD的真假，利用二次函数可以判断选项B的真假. 【详解】解：由已知，得，则，当且仅当时取等号，所以 的最大值是，所以选项A错误； ，当且仅当，时取等号，所以的最小值是，所以选项B正确； ，当且仅当时取等号，所以的最小值是4，所以选项C正确； ，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以选项D错误． 故选：BC． 10. 设函数，则（ ） A. 当时， 有三个零点 B. 当时， 无极值点 C. ，使 在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为 判断C；求出 图象的对称中心判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令 得或 ，由 ，得或，由 ， 得，于是 在， 上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此 最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数 在 上单调递增， 无极值点，B正确； 对于C，要使 在 上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为 ，C错误； 对于D，由， 得 图象对称中心坐标为，D正确. 故选：BD 11. 函数及其导函数的定义均为 ，且是奇函数，设，，则以下结论一定正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 函数的图象关于直线对称 C. 的图象关于对称 D. 设数列为等差数列，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得，两边求导，即可判断A；根据函数的变换规则判断B；令，则为奇函数，又，根据函数的变换规则判断C；结合C及等差数列下标和性质判断D. 【详解】对于A：因为函数及其导函数的定义均为 ，且是奇函数， 所以，则， 又，即，故为偶函数，故A正确； 对于B：因为的图象是由函数 图象向右平移一个单位，再将横坐标缩短为原来的得到， 又因为 是偶函数，函数图象关于 对称， 所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 对于C：因为，令， ， 则， 由为奇函数，即，所以， 所以为奇函数，则图象关于对称， 而的图象可以看作由的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位而得， 所以的图象关于对称，故C正确； 对于D：由 选项可知，当时，， 在等差数列中，又， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 过原点的直线 与曲线，都相切，则实数 ________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式即可求解. 【详解】设直线l与曲线相切于点， 由，得， 所以曲线在处的切线的斜率为， 所以，得，即，解得 ， 所以曲线在处的切线为，即直线 的方程为， 设直线l与曲线相切于点， 由，得， 所以曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 13. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到 有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选 活动有6种可能性：， 其中再选择 有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到 为事件 ，乙选到 为事件 ， 则甲选到 的概率为； 乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 故答案为：； 14. 已知 ，，分别是函数与的零点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可. 【详解】由题意可知，则， 即， 又， 所以，则． 设，则， 所以在上单调递增， 所以，则， 所以， 所以． 设，则， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以的最大值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用等式同构函数，化简，同构函数；再利用导数分析单调性并求出最值. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在 中，． （1）求； （2）设，求 边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出 ，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 16. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接 ，因为E为BC中点，，所以 ①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证 平面，所以以点 为原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点 为原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为 ,而， 因为，所以，即有， ，取 ，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 17. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆 上，点 关于原点的对称点为 ，四边形的面积为. （1）求椭圆 的方程； （2）若过的直线 交椭圆 于两点，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理、三角形面积公式进行求解即可； （2）根据直线 的斜率是否为零，结合一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 设椭圆 的焦距为，因为， 所以四边形为平行四边形，其面积设为，则 ，所以， 所以， 又， 解得， 所以椭圆 的方程为. 【小问2详解】 ，当直线 与 轴重合时， 的方程为 ， 此时不妨令，则； 当直线 与 轴不重合时， 的方程可设为， 由，得， 设，则， 综上，为定值4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线所过点的特征进行恰当选择直线方程. 18. 已知函数． （1）当 时，求的极值； （2）当 时，，求 的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、 分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 当 时，， 故， 因为在上为增函数， 故 在上为增函数，而， 故当时， ，当时， ， 故在 处取极小值且极小值为 ，无极大值. 【小问2详解】 ， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故 . 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上 即为减函数， 故在上 ，不合题意，舍. 当 ，此时在上恒成立， 同理可得在上 恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 19. 将 个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意 ，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列的逆序数． （ⅰ） ； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为 ，求，，…，的逆序数． 【答案】（1） ， ， ， ， （2）（ⅰ）4950； （ⅱ）当为奇数时，逆序数为， 当为偶数时，逆序数为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据逆序的定义求解即可； （2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数； （ⅱ）当为奇数时， ，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数； （3）在数列，，…，中，若与后面 个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案. 【小问1详解】 由1，2，3，4构成的逆序对有 ， ， ， ， ， ． 若第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为 ； 若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为 或 ； 若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为 或 ． 综上，符合条件的数列组合有： ， ， ， ， ． 【小问2详解】 （ⅰ）因为为单调递减数列， 所以逆序数为 ． （ⅱ）当为奇数时， 当为偶数时， ， 所以， 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 ． 【小问3详解】 在数列，，…，中，若与后面 个数构成个逆序对， 则有不构成逆序对， 所以在数列，，…，中，逆序数为 ． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州一中2025届高三第一次月考试卷 数 学 命题人：周建权 审题人：陈诗跃 注意事项： 1．全卷满分150分，时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是，则 的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆，则“，直线 与圆 有公共点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为点 在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是1 B. 的最小值是 C. 的最小值是4 D. 的最小值是5 10. 设函数，则（ ） A. 当时， 有三个零点 B. 当时， 无极值点 C. ，使 在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 11. 函数及其导函数的定义均为 ，且是奇函数，设，，则以下结论一定正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 函数的图象关于直线对称 C. 的图象关于对称 D. 设数列为等差数列，若，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 过原点的直线 与曲线，都相切，则实数 ________． 13. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 14. 已知 ，，分别是函数与的零点，则的最大值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在 中，． （1）求； （2）设 ，求 边上的高． 16. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 17. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆 上，点 关于原点的对称点为 ，四边形的面积为. （1）求椭圆 的方程； （2）若过的直线 交椭圆 于两点，求证：为定值. 18. 已知函数． （1）当 时，求的极值； （2）当 时，，求 的取值范围． 19. 将 个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意 ，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列的逆序数． （ⅰ） ； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为 ，求，，…，的逆序数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $