专题2.1 不等式的性质与解法讲义-2025届高三数学一轮复习

2.1 不等式的性质与解法 课标要求 考情分析 核心素养 1.梳理等式的性质,理解不等式的概念. 2.掌握不等式的性质. 3.能够利用不等式的性质解决有关问题. 新高考 近3年考题 题 号 考 点 数学抽象 数学运算 逻辑推理 2024(Ⅰ)卷 / / 2024(Ⅱ)卷 / / 2023(Ⅰ)卷 / / 2023(Ⅱ)卷 / / 2022(Ⅰ)卷 / / 2022(Ⅱ)卷 / / 一、必备知识 1.实数大小与运算性质之间的关系 （1） ；；. （2） ； 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 可逆 传递性 同向 可加性 可逆 可乘性 的符号 同向可加性 同向 同向同正可乘性 同向，同正 同正可乘方性 同正 同正可开方性 同正 重要结论： ⑴倒数的法则与性质 ① ② ③ ④ ⑵有关分数的性质 若,则 ① ; ②. 二、教材改编 1.【人教A版必修一 P43 习题2.1 T7】已知，，，则下述一定正确的是(    ) A. B. C. D. 2.【人教B版必修一P84复习参考题A组 T9】已知，则与的大小关系为          ． 三、考点归纳 考点一 不等式的性质及应用 【典例精讲】 例1.(2024·广东省东莞市期末) 已知，则与的大小关系为          ． 例2.(2023·浙江省温州市调研)（多选） 设，，则下列结论正确的是(    ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若，则 【方法储备】 比较两个数(式)的大小 ①作差(商)法：作差（作商）变形与0（与1）比较结论； ②单调性法：构造函数，将欲比较大小的数（式）视为函数值，通过函数的单调性比较大小； ③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“0”或“1”作为中间量； ④赋值法：当两个式子比较大小时，可直接赋值. 【拓展提升】 练1-1(2023·浙江省温州市调研)已知，，，则(    ) A. B. C. D. 练1-2(2024·湖北省荆门市联考)（多选） 下列大小关系正确的是     ． A. B. C. D. 考点二 利用不等式的性质判断命题的真假 【典例精讲】  例3.(2024·广东省东莞市联考) 设，给出下列四个结论：其中正确结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 例4. (2024·湖北省黄冈市月考)（多选） 已知实数，，满足，且，则下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 利用不等式性质判断命题真假 ①直接法：利用不等式的相关性质或函数的相关性质推理证明；举反例证明命题是错误的； ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 提醒：注意题目条件中变量的取值范围,必要时分类讨论. 【拓展提升】 练2-1(2023·江苏省连云港市月考)若，，，，则下列不等式恒成立的是(    ) A. B. C. D. 练2-2(2024·江苏省宿迁市模拟)（多选） 对于不等关系人们在早期会使用文字或象征性记号来记述．例如，荷兰数学家吉拉尔在他年所著代数新发现一书中，使用下面记号： 表示大于，  表示小于若，则下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 考点三 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【典例精讲】 例5.(2024·江苏省苏州市月考)已知，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例6.(2024·河北省石家庄市模拟)若实数、、，且，，则的取值范围是          ． 【方法储备】 1.在约束条件下求多变量函数式范围的步骤 已知，求的取值范围． ①设； ②根据恒等变形求得待定系数； ③再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 2.根据不等式的性质求取值范围的策略 (1)严格运用不等式的性质,注意其成立的条件. (2)同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围. (3)建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 【拓展提升】 练3-1(2023·广东省揭阳市月考) 已知实数，，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练3-2(2024·四川省遂宁市月考)实数满足，，则的取值范围是            四．新题放送 1.(2024·江苏省苏州市联考) 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：数学的意义现代世界中的数学数学问题，其数量分别为，，单位：本现了解到：；，则这些数学专著至少有(    ) A. 本 B. 本 C. 本 D. 本 2.(2024·江西省南昌市模拟) 定义：为实数中较大的数．若， 则的最小值为          ． 3.(2024·浙江省湖州市期末) 蒙牛成为年卡塔尔世界杯的奶制品供应商该厂商计划临时租用总面积为平方米的生产厂区，其中涵盖临时搭建牛奶类和酸奶类共计间生产车间及绿化改造每间牛奶类车间的面积为平方米，租金为每月万元每间酸奶类车间的面积为平方米，租金为每月万元现要求所有车间的面积之和不低于总面积的，又不能超过总面积的，则牛奶类生产车间的搭建方案有          种；为保证任何一种搭建方案平均每个车间租用费用不低于每间牛奶类车间月租费的，则的最大值为          万元． 【答案解析】 1.【人教A版必修一 P43 习题2.1 T7 】 解：，，，故A错误， ，，故B错误， ，， ，， 又，，，故C正确， 设，，，，，则，，故D错误， 故选：． 2.【人教B版必修一 P84 复习参考题A组 T9 】 解：因为  ， 所以  ，故  ． 故答案为：  ． 例1. 解：由，得， ，，而， ，，， 故答案为：． 例2. 解：因为，所以， 则，所以，故正确 ， 因为，所以，则， 故，故错误 因为，， 所以，当且仅当时等号成立，故正确 因为，所以， 设，有，而 ，故错误． 故选AC． 练1-1.解：，，则， 因为，故， 所以． 故选：． 练1-2.对于：， 所以，故A正确； 对于，，所以，又，所以，故B正确； 对于，当时，函数与函数有个交点，， 作出和的图象，如图所示， 结合图象可知，当时，，又，所以，故C错误； 对于，设，则， 令，则；令，则． 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，即，化简得，故D正确． 故选ABD．  例3. 解：， 对于①、由，得， 又，得，故①错误； 对于②、， 因为， 幂函数单调递减，所以，故②错； 对于③、，， 由指数函数的单调性知单调递减， 又，可得，故③正确； 对于④、因为， 所以， 所以， 即故④正确． 正确的结论有个． 故选：． 例4. 解：由题意 ，且 ，所以 ， ， 对于：，故A正确； 对于：因为 ， ，所以 ，B错误； 对于：不妨取，此时，故C错误； 对于：由于，所以，， 所以，当且仅当时，取等号， 而，所以，故等号不成立，因此，D正确． 故选：． 练2-1. 解：当，时，满足， 但，，故A，B错误； 因，，由不等式性质得，C正确； 当时，不成立，排除， 故本题选C. 练2-2. 解：解：由题可知，， 对于：由基本不等式可知，选项正确． 对于：，选项正确． 对于    ，选项错误． 对于，当时，，选项错误． 例5. 解：． 设， 所以，解得：， 因为，， 所以， 因为单调递增，所以． 故选：． 例6. 解：解： 可得：，解得：， 把代入得：， 把，代入，得，即， 把代入，得，即， 把代入得，得，即，因为，，为非负数， 可得：解得：． 故答案为． 练3-1. 解：记点，设 则 故选B． 练3-2. 解：设  ， 则， 则  ，解得  ， 所以  ， 因为  ，  ， 所以  ，  ， 可得  ，即  的取值范围为  ． 故答案为：  ． 1.解：解：由已知，，，并且， 由可得：，所以． 当时，，不合条件； 当时，，所以，这时， 其中若，则，满足条件，这时， 若，则，不合条件； 当时，一定有． 综上所述，这些数学专著至少有本． 故选A． 2.解：设， 则由题意可得， 因为， 当时，， 只需考虑， 所以，， 所以，可得，当且仅当时取等号； 当时，， 只需考虑， 所以， 可得，当且仅当时取等号． 综上所述，的最小值为． 故答案为：． 3. 解：设牛奶类和酸奶类车间分别为，间， 由题意知， 化简得． 又， 所以，解得， 所以，共种． 故牛奶类生产车间的搭建方案有种； 由题意知， 所以，所以， 因为， 所以，即的最大值为万元． 故答案为：；． 共10页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$