专题07 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积计算重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 题型九 求圆锥的侧面积 题型十 求圆锥底面半径 题型十一 求圆锥的高 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型十三 圆锥的实际问题 题型十四 圆锥上的最短路径问题 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 知识点二、圆锥的侧面积与全面积 （1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。 （2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 （3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积， 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【经典例题一 求弧长】 【例1】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上将沿翻折与交于点若，的度数为，则（   ）． A． B． C． D． 1．（2024·江苏·模拟预测）如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·二模）已知，如图等边中，是边上的高，以点为圆心，为半径画弧，交，于点，．若，则的长为 ． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形内接于，是的直径，平分，交于点H． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)当，，时，求劣弧的长度． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 1．（2021·浙江衢州·一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B．2 C． D．1 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，半圆的直径为，点为半圆的三等分点，点为直径上任意一点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径为 ． 3．（20-21九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（    ）    A．1 B．2 C． D． 1．（2024·广东广州·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知扇形半径是3cm，弧长为，则扇形的圆心角为 度． 3．（21-22六年级上·上海静安·单元测试）将一个圆沿着半径将其剪为①、②、③三个扇形．已知①的面积比②的面积小，②的面积比③的面积小，则面积最大的扇形的圆心角为多少度． 【经典例题四 求某点的弧形运动路径路径长度】 【例4】（2024·河北保定·一模）如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，扇形中，，．若将此扇形绕点顺时针旋转，得一新扇形，其中点在上，则点的运动路径长为（    ）（结果保留）． A． B． C． D． 2．（23-24六年级上·上海普陀·期末）如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是 厘米． 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出将绕原点逆时针旋转后得到的； (2)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (3)在旋转过程中，点B所经过的路径长为 ． 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图所示，一个正方形窗户被装饰布挡住了一部分，其中窗户的高是米，窗户的宽是米，装饰布是由两个扇形组成，扇形的半径都是米，那么装饰布的面积占整个正方形面积的 ． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）扇子最早称“翣(shà)”，已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一个竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面的长为，求扇面面积．(保留π)    【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 1．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是 ． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知． ①作出平移后的； ②平移的距离为________个单位长度； (2)将绕点B逆时针旋转，得到． ①作出旋转后的； ②求在旋转过程中所扫过的面积为_______． 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（21-22九年级下·广东江门·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（20-21九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，以为直径的经过的中点，于点． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【经典例题九 求圆锥的侧面积】 【例9】（2023·云南·模拟预测）如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图①，已知圆锥的母线长，若以顶点为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角．    (1)求圆锥的底面半径； (2)求圆锥的全面积． 【经典例题十 求圆锥底面半径】 【例10】（2023·云南红河·一模）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图①， 是的半径，弦垂直平分，垂足为点，，连接，，将图中阴影部分的扇形剪下围成一个圆锥的侧面（如图，则圆锥的底面圆半径是 cm． 3．（2024·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，． (1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标； (2)连接，，则的度数为______度； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 【经典例题十一 求圆锥的高】 【例11】（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ）    A． B． C． D．2 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，点是上的点，已知的半径，，欢欢利用图中阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的高为（    ） A．2 B．6 C．8 D．4 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则高的值为 ． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【经典例题十二 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】（2023·内蒙古兴安盟·一模）已知圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为 °． 3．（2024·广东广州·一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 【经典例题十三 圆锥的实际问题】 【例13】（2021·山东德州·二模）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2020·辽宁盘锦·二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（  ） 　 A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6 2．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【经典例题十四 圆锥上的最短路径问题】 【例14】（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 1．（20-21八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 3．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 1．（2024·陕西西安·一模）如图，四边形内接于，若，的半径为4，则的长为（　　）    A． B． C．π D． 2．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 6．（2024·吉林长春·三模）动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它具有省力、费距离的特点．如图，用一个半径为20厘米的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点P绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 厘米．（结果保留） 7．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 8．（2024·重庆潼南·模拟预测）如图，为的直径，且，点是弧上的一点（不与，重合．）过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．当时，则图中阴影部分面积为 9．（2024·江苏无锡·一模）如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    10．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下列图形中阴影部分的面积．     12．（2024·山东日照·三模）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 13．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，以为直径的与交于点D，且． (1)求证：； (2)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点P（不写作法，保留作图痕迹）； (3)若的半径等于5，且与相切于点C，求的度数及阴影部分的面积（结果保留π）． 14．（2024·广东广州·一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 15．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 题型九 求圆锥的侧面积 题型十 求圆锥底面半径 题型十一 求圆锥的高 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型十三 圆锥的实际问题 题型十四 圆锥上的最短路径问题 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 知识点二、圆锥的侧面积与全面积 （1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。 （2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 （3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积， 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【经典例题一 求弧长】 【例1】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上将沿翻折与交于点若，的度数为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得的度数是解答本题的关键．作D关于的对称点E，连接,则，然后再根据的度数为可知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答． 【详解】解：如图：作D关于的对称点E，连接,则， ∵的度数为， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴的长度为， ∴的长度为． 故选：D． 1．（2024·江苏·模拟预测）如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键；根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ∴的长π． 故选：A 2．（2024·河北邯郸·二模）已知，如图等边中，是边上的高，以点为圆心，为半径画弧，交，于点，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形、三线合一的性质及勾股定理、弧长公式的应用，求出即半径的长是解决本题的关键． 先由等边三角形的性质得，，再根据三线合一的性质得出，由勾股定理得出的长，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是边上的高， ∴是的中线， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形内接于，是的直径，平分，交于点H． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)当，，时，求劣弧的长度． 【答案】(1)，见解析； (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）先证明，再证明，可得，可得； （2）先求解，证明，设半径为r，则，由，可得：，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1），理由如下： ∵是的直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 设半径为r，则， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴劣弧的长度． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米． 【详解】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 1．（2021·浙江衢州·一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意可知： AD=AE=8，∠DAE=45°， 底面圆的周长等于弧长： ∴2πr= ， 解得r=1． 所以，该圆锥的底面圆的半径是1 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，半圆的直径为，点为半圆的三等分点，点为直径上任意一点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径为 ． 【答案】5 【分析】连接，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，然后计算半径即可． 【详解】解：连接，如图所示， 和同底等高， ， 点为半圆的三等分点， ， 阴影部分的面积＝， ， 解得：， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出阴影部分的面积等于扇形的面积是解题的关键． 3．（20-21九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）12 【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可 （2）根据弧长公式计算即可； 【详解】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求； （2）如图，连接AO，BO， ∵弧AB的度数为， ∴， 又∵弧AB的长是， ∴， 解得：， ∴所在圆的半径的长是12． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键． 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式求得扇形的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： 扇形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 1．（2024·广东广州·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：B． 2．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知扇形半径是3cm，弧长为，则扇形的圆心角为 度． 【答案】90 【分析】已知扇形半径是3cm，弧长为，直接利用弧长公式即可求出n的值． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了弧长计算公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键． 3．（21-22六年级上·上海静安·单元测试）将一个圆沿着半径将其剪为①、②、③三个扇形．已知①的面积比②的面积小，②的面积比③的面积小，则面积最大的扇形的圆心角为多少度． 【答案】 【分析】根据题意③的面积最大，设③对应的圆心角为度，圆的半径为，根据扇形面积公式可得③的面积，由题意可得，，再根据①、②、③三个扇形可拼成一个圆可得方程，求解即可． 【详解】解：设③对应的圆心角为度，圆的半径为， ∴③的面积，，， ∴， ∴， ∴（度）． ∴面积最大的扇形的圆心角为度． 【点睛】本题考查扇形面积公式及应用，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【经典例题四 求某点的弧形运动路径路径长度】 【例4】（2024·河北保定·一模）如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算公式，理解O运动的路线是关键．O点运动的路径是：旋转的路程的和是以为半径的半圆的弧长，平移的路线是的长，进行求解即可． 【详解】解：的长为； 以为半径的半圆的弧长：， ∴旋转过程中点O所经过的路线长为； 故选C． 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，扇形中，，．若将此扇形绕点顺时针旋转，得一新扇形，其中点在上，则点的运动路径长为（    ）（结果保留）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求了扇形的弧长，等腰三角形的性质，旋转的性质等． 先确定点O的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧线，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据计算，可得答案． 【详解】根据题意可知，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24六年级上·上海普陀·期末）如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的周长公式的知识，熟练掌握相关公式是解题关键．根据题意可得，圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的和，据此求解即可． 【详解】解：依题意得圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的长度的和， ∴圆心所经过的路程是． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出将绕原点逆时针旋转后得到的； (2)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (3)在旋转过程中，点B所经过的路径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可得，，． 故答案为：；； （3）解：在旋转过程中，点所经过的路径长为． 故答案为：． 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 1．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键．根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积． 【详解】解：，， ， ． 故选：C． 2．（23-24九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图所示，一个正方形窗户被装饰布挡住了一部分，其中窗户的高是米，窗户的宽是米，装饰布是由两个扇形组成，扇形的半径都是米，那么装饰布的面积占整个正方形面积的 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的面积，扇形的面积，求出阴影部分的面积和正方形的面积即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵阴影的面积（平方米），正方形的面积（平方米）， ∴， ∴装饰布的面积占整个正方形面积的 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）扇子最早称“翣(shà)”，已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一个竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面的长为，求扇面面积．(保留π)    【答案】扇面的面积为 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式分别求出两个扇形的面积，然后作差即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，      ∴扇面的面积为： ． 答：扇面的面积为． 【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】 本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 1．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：， 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算．由将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处，可得，由题给图象可知：可得出阴影部分面积． 【详解】解：中，是直角，， ，． 将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处， ． 所以 ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知． ①作出平移后的； ②平移的距离为________个单位长度； (2)将绕点B逆时针旋转，得到． ①作出旋转后的； ②求在旋转过程中所扫过的面积为_______． 【答案】(1)①画图见解析；②； (2)①画图见解析；②． 【分析】（1）①由，确定平移方式，再确定，的对应点，再顺次连接即可，②利用勾股定理求解平移的距离即可； （2）①分别确定旋转后的对应点，再顺次连接即可；②求解，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所画的三角形， ②平移距离为：； （2）①如图，即为所画的三角形， ②∵，， ∴在旋转过程中所扫过的面积为． 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（21-22九年级下·广东江门·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据，计算即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可． 【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D， ∵∠AOB=2×=60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1， ∴OD=， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键． 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 3．（20-21九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，以为直径的经过的中点，于点． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，根据中位线定理，可得，由已知，可得，进而可得是的切线； （2））过点作，连接，根据已知条件求得扇形的圆心角的度数，进而求得扇形面积，求得的面积，根据阴影扇形即可求得阴影部分面积． 【详解】（1）连接，如图， 点是的中点，点是的中点， ， ， ， 点在上， 是的半径， 是的切线； （2）过点作，连接， 是直径， ， ， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 阴影扇形． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，求弓形面积，等腰三角形的性质，中位线的性质，添加辅助线是解题的关键． 【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形面积减去直角三角形的面积之差． 【详解】解：连接，，如图， 正方形的边长为2，为对角线的交点， 由题意可得：，经过点，且，． 点，分别为，的中点， ， ，． 以为弦的两个弓形面积相等． ． 故选：C． 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识点，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积成为解题的关键． 连接，则阴影部分的面积为扇形的面积减去扇形的面积，据此计算即可． 【详解】解：连接， 根据勾股定理得：， ∴, ∴． 故选：C． 2．（22-23九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，根据旋转的性质，得到，，分割法推出阴影部分的面积为扇形的面积，即可求解即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，，， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 3．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； （2）∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 【经典例题九 求圆锥的侧面积】 【例9】（2023·云南·模拟预测）如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、圆锥侧面积的计算，由题意得出，即圆锥的母线长为，由勾股定理得出底面半径为，再由圆锥侧面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的周长为48， ∴，即圆锥的母线长为， ∵该圆锥的高为8， ∴底面半径为， ∴由圆锥侧面积公式得：， ∴， 故选：B． 1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可． 【详解】解：根据三视图可得这个几何体下部是高为20，底面半径为的圆柱，上部是高为的圆锥， ∴圆锥的母线长为 ∴表面积为， 故选：A． 2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 【答案】 /18度 【分析】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可． 本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为， 根据题意，得， 解得； 根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积， 得， 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图①，已知圆锥的母线长，若以顶点为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角．    (1)求圆锥的底面半径； (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥底面圆周长的3倍＝扇形的弧长，构建方程求解即可． （2）根据表面积＝底面积＋侧面积，计算即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴cm． （2）圆锥的全面积． 【点睛】本题考查圆锥的计算，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题十 求圆锥底面半径】 【例10】（2023·云南红河·一模）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，扇形的弧长计算，勾股定理等知识点，先根据弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，再求出圆锥的底面圆的半径，最后勾股定理求出圆锥形容器的高即可， 掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为， 故选：． 1．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键． 根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图①， 是的半径，弦垂直平分，垂足为点，，连接，，将图中阴影部分的扇形剪下围成一个圆锥的侧面（如图，则圆锥的底面圆半径是 cm． 【答案】2 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．先由弦垂直平分求得、，利用三角函数求得，再求出圆锥的底面周长为，根据可得答案． 【详解】解：弦垂直平分， ， 则，， ， ， ， 则， 扇形的弧长，即圆锥的底面周长为， 则， 解得， 故答案为：2 3．（2024·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，． (1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标； (2)连接，，则的度数为______度； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 【答案】(1)见解析，点； (2)； (3)圆锥的底面半径． 【分析】（）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，再写出点坐标即可； （）利用利用网格特点和勾股定理定理和逆定理即可求解； （）设该圆锥的底面半径，根据圆周长和弧长公式即可求解； 本题考查了垂径定理，勾股定理及逆定理，圆周长和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，如图， ∴点即为所求，点， （2）如图， 根据网格可知：，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）设该圆锥的底面半径， ∵， ∴， 则， 解得：． 【经典例题十一 求圆锥的高】 【例11】（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】求得弧的长即为圆锥的底面周长，求得底面半径再由勾股定理解答即可． 【详解】解：过B作于点P，连接，      ∵正六边形的每个内角都是，每条边都相等， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵的圆心角为， ∴的长为， ∴圆锥底面半径， ∴圆锥高为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，三角函数，弧长公式，勾股定理，圆锥的侧面展开：如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积． 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，点是上的点，已知的半径，，欢欢利用图中阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的高为（    ） A．2 B．6 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，由可知优弧所对圆心角为，从而由弧长公式得到优弧的长度为，得到利用阴影部分制作圆锥的母线长为，底面半径为，作出图形，利用勾股定理即可得到这个圆锥的高． 【详解】解：， 优弧所对圆心角为， 优弧的长度为， 利用阴影部分制作圆锥的母线长为，底面半径长为，如图所示： 这个圆锥的高为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理、弧长公式、圆锥的概念、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何知识，理解扇形与圆锥的关系是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则高的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，求出R，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得：． 即圆锥的母线长为， ∴圆锥的高， 故答案是：． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形， ∴， ∴； ②由①得， ， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于点D，作于， ∵O是正三角形的中心，， ∴，，， ∴，是点到三角形边上最长的线段， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：   ． 【经典例题十二 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】（2023·内蒙古兴安盟·一模）已知圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角，先求出圆锥底面圆的半径，进而得到底面圆的周长，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解，理解圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，圆锥底面圆的半径， ∴底面圆的周长， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 则， ∴， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角是， 故选：． 1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数． 【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开图弧长， ∵侧面积为，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴这个扇形的圆心角的度数是， 故选：D． 2．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长等知识．熟练掌握根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长是解题的关键． 由三视图可知，该几何体为圆锥，由勾股定理可得，圆锥的母线长为，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由勾股定理可得，圆锥的母线长为， ∴， 解得 ，， 故答案为：． 3．（2024·广东广州·一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 【答案】（）；（）． 【分析】（）设底面圆的半径为，由勾股定理可得，根据，求出，再根据红、橙、黄、蓝、紫卡纸圆心角即可求解； （）设底面圆的半径为，则，由即可求解； 本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键． 【详解】解：（）设底面圆的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形， ∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为； （）∵设底面圆的半径为， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题十三 圆锥的实际问题】 【例13】（2021·山东德州·二模）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r 根据题意得2 πr， 解得r＝1， 侧面积= ， 底面积= 所以圆锥的表面积=， 故选：B． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 1．（2020·辽宁盘锦·二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（  ） 　 A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6 【答案】B 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案． 【详解】扇形的弧长是：=， 圆的半径为r，则底面圆的周长是， ∵恰好围成如图所示的圆锥， ∴=， ∴R=4r， 故选：B． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 2．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【答案】 /180度 【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 【经典例题十四 圆锥上的最短路径问题】 【例14】（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 1．（20-21八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图， 连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6， 在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2， 解得AS＝10． ∵A，S两点之间线段AS最短， ∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 3．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 1．（2024·陕西西安·一模）如图，四边形内接于，若，的半径为4，则的长为（　　）    A． B． C．π D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，得到成为解题的关键． 如图：连接．根据圆的内接四边形的性质可得，再运用三角形内角和定理结合已知条件可得，然后运用圆周角定理可得，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】解：如图：连接．    ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，有圆周角定理得出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，证明是等边三角形，得出，最后再由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 圆锥的体积为， 故选：D． 5．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键． 根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 6．（2024·吉林长春·三模）动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它具有省力、费距离的特点．如图，用一个半径为20厘米的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点P绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 先根据弧长公式计算出点P绕滑轮中心旋转了的路径，即半径为20厘米圆心角为的弧长，然后根据动滑轮省一半的力，则重物上升的高度为弧长的一半，计算即可． 【详解】解：点的路径长为（厘米）， 重物上升的高度为（厘米）． 故答案为：． 7．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 8．（2024·重庆潼南·模拟预测）如图，为的直径，且，点是弧上的一点（不与，重合．）过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．当时，则图中阴影部分面积为 【答案】 【分析】连接，，由是的中点，可得，证明，得，再求出，最后根据阴影部分的面积即为四边形的面积减去扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 为的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 四边形的面积为， 阴影部分面积为． 故答案为：. 【点睛】此题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．（2024·江苏无锡·一模）如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【详解】解：由勾股定理得：母线， ． 故答案为：． 10．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 【答案】 /18度 【分析】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可． 本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为， 根据题意，得， 解得； 根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积， 得， 故答案为：，． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下列图形中阴影部分的面积．     【答案】18.24平方厘米；平方厘米 【分析】本题主要考查不规则图形面积的求法： （1）连接发现是一个正方形，根据箭头的方向将阴影部分移动到扇形里面．则阴影部分的面积=扇形面积－正方形面积，其中扇形是一个圆心角为，半径为8厘米的扇形，则扇形的．正方形的面积=边长×边长，但是本题不知道边长的长度，可以将正方形看成两个直角三角形的面积和．则直角三角形面积=底×高直径×半径，则正方形的面积=直径×半径直径×半径． （2）连接，则阴影部分面积=平行四边形的面积－扇形面积－三角形面积．平行四边形的面积=底×高；三角形是一个等腰三角形，则两个底角都是，则顶角就是即，和合在一起是平角，为，则．则扇形的圆心角是．扇形面积=，半径是平行四边形底的一半．三角形面积=底×高，底是半径，高是平行四边形的高． 【详解】（1）连接CD、DB， （平方厘米） 则阴影部分的面积是18.24平方厘米． （2）连接， （平方厘米）， （平方厘米）   （平方厘米） （平方厘米）   则阴影部分的面积是3.16平方厘米． 12．（2024·山东日照·三模）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； （2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 和底边相切于点， ， ，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积 ， 图中阴影部分的面积为． 13．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，以为直径的与交于点D，且． (1)求证：； (2)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点P（不写作法，保留作图痕迹）； (3)若的半径等于5，且与相切于点C，求的度数及阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)详见解析 (2)图见解析 (3)， 【分析】本题考查作图复杂作图，切线的性质，圆周角定理，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明； （2）作，交于点； （3）根据，求解即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， 为线段的垂直平分线， ； （2）解：如图，则点即为所求； （3）解：为切线， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ． 14．（2024·广东广州·一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 【答案】（）；（）． 【分析】（）设底面圆的半径为，由勾股定理可得，根据，求出，再根据红、橙、黄、蓝、紫卡纸圆心角即可求解； （）设底面圆的半径为，则，由即可求解； 本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键． 【详解】解：（）设底面圆的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形， ∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为； （）∵设底面圆的半径为， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$