精品解析：广西桂林市国龙外国语学校2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试卷（4.28）

广西桂林市国龙外国语学校2024届高三4月28日模拟考试 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值域和中的范围，得出的具体范围，再根据集合的交集、并集运算即可求解. 【详解】， 则， 所以， ， 则，解得， 所以， 所以，. 故选：. 2. 从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（ ）个． A. 24 B. 30 C. 36 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理，即可求得答案. 【详解】若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数， 这样的数有个， 故选：B 3. 若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案. 【详解】由题意得， A选项，，，故， 所以，故事件相互独立，A正确； B选项，，，故， 所以，故事件不相互独立，B错误； C选项，，，故， 所以，故事件不相互独立，C错误； D选项，，，故， 所以，故事件不相互独立，D错误； 故选：A 4. 已知实数a，b，c满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果. 【详解】因为，得到，又，函数是减函数， 所以，又，得到， 所以， 故选：A. 5. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、余弦的二倍角公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】由题意可得， 所以，， 故选：A 6. 已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点到直线得距离公式求出，在和中，求出，利用余弦相反构造的齐次式，即可得解. 【详解】，点到渐近线的距离为，即， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得：. 在中，由余弦定理得：. 因为，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：D 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 8. 已知函数的定义域为，且，若，则函数（ ） A. 以为最小正周期 B. 最大值是1 C. 在区间上单调递减 D. 在处的切线方程是 【答案】D 【解析】 【分析】先通过赋值法求得，然后利用正弦函数的性质判断ABC，求出导函数，利用导数的几何意义求得切线方程判断D. 【详解】令，得， 令，得， 令，得， 由以上3式，得即， 则的周期为，且的最大值为，故A，B错误； 令，则，又函数在上单调递增， 在上单调递减，故的在区间上不单调递减，故C错误； 因为，则； 则在处的切线方程是，故D正确. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，是纯虚数，为的共轭复数，且（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 是方程的一个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由求出纯虚数，然后利用复数的四则运算及模的运算判断AC，利用共轭的概念判断B，利用复数相等验证方程的根判断D. 【详解】由题意设，因为，所以，所以， 所以，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，因为， 所以是方程的一个根，故D正确. 故选：ACD 10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（ ） A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32 【答案】BC 【解析】 【分析】利用小长方形面积和为1得项错误；面积等于0.5的值即为中位数，可知正确；利用直方图中平均数和方差公式可得正确，错误. 【详解】项，，，项错误； 项，，内频率为：， ，内频率为：， 则中位数在，内，设中位数为，则， 则，正确； 成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分， 方差为，正确，错误． 故选：． 11. 已知直线和平面与所成锐二面角为．则下列结论正确的是（ ） A. 若，则与所成角为 B. 若，则与所成角为 C. 若，则与所成角最大值为 D. 若，则与所成角为； 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线面角的定义判断即可. 【详解】对于A，如图. 因为与所成锐二面角为，所以与所成角为，故A正确； 对于B，若，此时不能确定与所成角，如直线时，此时与所成角为0，故B错误； 对于C，设平面的交线为直线， 当时，与所成角为0， 当与不平行时， 设，在直线上取点A，过点A作于点， 作于点，连接，因为，所以， 又，所以平面， 又平面，所以，则即为与所成锐二面角的平面角， 则，因为，所以即为与所成角的平面角， 则，当且仅当时取等号， 所以与所成角最大值为，故C不正确； 对于D，如图. 因为与所成锐二面角为，所以与所成角为，故D正确． 故选：AD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一个空2分，第二个空3分） 12. 已知单位向量，的夹角为，，若与垂直，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求解. 【详解】因为单位向量，的夹角为，可得， 又因为与垂直，可得， 即，解得. 故答案为：. 13. 设点在抛物线上，已知.若，则__________；若，则直线斜率的最小值为__________. 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】 【分析】第一空：由两点间距离公式以及点坐标满足抛物线方程联立列式即可求解；第二空：将直线斜率表达式求出来，结合基本不等式即可得解. 【详解】第一空：若，则， 又，所以，注意到， 所以解得满足题意； 第二空：直线斜率为，若， 则由基本不等式得，等号成立当且仅当. 故答案为：3；1. 14. 已知中，内角，AD为内角的平分线（D在边BC上），设和的面积分别为，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】由余弦定理得 当即时，最大，最大值为． 故的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． （1）设小张抽到球的个数为，求的分布列及． （2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 【答案】（1） 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布可求分布列，利用公式可求期望. （2）利用全概率可求小张回答论述题的概率. 【小问1详解】 的所有可能取值为1，2，3，则，，， 所以的分布列为 1 2 3 故． 【小问2详解】 记事件为“小张回答类题”，为“小张回答类题”，为“小张回答论述题”． 由（1）知，， 由题意知，， 所以． 16. 如图，几何体中，和均为等边三角形，平面平面，为中点． （1）证明：与不是异面直线； （2）求直线 与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接，由为等边三角形， 为中点， 得， 又平面， 则平面平面，于是； 而，平面， 则平面，又平面，于是 又平面，因此平面， 设平面与直线交于点，则，显然平面， 在平面内，过直线外一点A有且仅有一条直线与垂直， 所以 与重合，即有四点共面． 故与不是异面直线； （2）． 【解析】 【分析】（1）想证明不是异面直线，就是要证明这四点共面，根据线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、等腰三角形的性质，结合平面内垂直的性质进行证明即可； （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面平面，在平面内过点 作， 而平面平面，则平面，直线两两垂直， 以 为原点，直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 由平面平面，平面平面平面平面， 而平面，则，由和均为等边三角形， 得，由，得， 于是， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线 与平面夹角为，则， 所以直线 与平面所成角的正弦值为． 17. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）定义函数，其中表示不超过 的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【答案】（1）证明：当时，，又，所以， 当时，①， 故，② ①－②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故． （2）8 【解析】 【分析】（1）根据得出，构造出，即可证明，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2），结合及二项式定理得出当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得出，利用二项式定理得出除以16的余数为除以16的余数，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8． 18. 函数图象与轴的两交点为 （1）令，若有两个零点，求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：当时，以为直径的圆与直线恒有公共点． （参考数据：） 【答案】（1） （2） 由题知，令，则， 取对数可得：，， 要证，即证：， 即证明：，令，即证：， 令，则, 所以在上单调递减，恒成立， 因此得证； （3） 要证：以为直径的圆与直线恒有公共点， 即证中点到该直线距离小于半径， 即， 也就是证明：， 由（2）可知，所以 ， 即， 下面证明：成立即可， 因为， 因此的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 令，由，则， 令则， 令，则， 所以在上单调递减，恒成立. 因此恒成立，单调递增；当越大时，越大，因此的值越大. 当时，因为， 所以，所以时，，得证． 【解析】 【分析】（1）由导数求出的最小值，结合有两个零点可得答案； （2）转化为，取对数可得，要证即证明，令，即证，构造函数利用导数可得答案； （3）即证中点到该直线距离小于半径，也就是证明： ，证明成立即可，构造函数令利用导数可得答案． 【小问1详解】 ，， 当时，，时，， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以的最小值为， 当趋向于0且时，无限趋向于正无穷大， 当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 所以有两个零点，只需要，即， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合性应用，属于难题，解决这类题目常涉及方法或思想有：（1）构造函数，求解综合问题；（2）利用导数研究函数的最值、极值与单调性综合性问题；（3）运算求解能力与逻辑推理能力；（4）转化思想. 19. 已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点. （1）设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求. （2）在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出椭圆方程，再设动点，由距离公式求解； （2）由（1）的结论及结合正弦定理得，又由得，进行求解． 【小问1详解】 因为点P在椭圆C上，所以，解得； 所以椭圆C的方程为，故， 设动点，则，所以， 故，， 所以． 【小问2详解】 不妨设，的外接圆半径为， 则由正弦定理得， 所以. 如图，过作直线的垂线，垂足为， 过作于点，由（1）的结论可得， 所以，即， 所以，又，得， 则，即， 所以，当且仅当时等号， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：在第2问中，要利用第1问中的，结合进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西桂林市国龙外国语学校2024届高三4月28日模拟考试 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（ ）个． A. 24 B. 30 C. 36 D. 60 3. 若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数a，b，c满足，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，若，则函数（ ） A. 以为最小正周期 B. 最大值是1 C. 在区间上单调递减 D. 在处的切线方程是 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，是纯虚数，为的共轭复数，且（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 是方程的一个根 10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（ ） A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32 11. 已知直线和平面与所成锐二面角为．则下列结论正确的是（ ） A. 若，则与所成角为 B. 若，则与所成角为 C. 若，则与所成角最大值为 D. 若，则与所成角为； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一个空2分，第二个空3分） 12. 已知单位向量，的夹角为，，若与垂直，则______. 13. 设点在抛物线上，已知.若，则__________；若，则直线斜率的最小值为__________. 14. 已知中，内角，AD为内角的平分线（D在边BC上），设和的面积分别为，则的最大值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． （1）设小张抽到球的个数为，求的分布列及． （2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 16. 如图，几何体中，和均为等边三角形，平面平面，为中点． （1）证明：与不是异面直线； （2）求直线 与平面所成角的正弦值． 17. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）定义函数，其中表示不超过 的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 18. 函数图象与轴的两交点为 （1）令，若有两个零点，求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：当时，以为直径的圆与直线恒有公共点． （参考数据：） 19. 已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点. （1）设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求. （2）在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $