精品解析：广东省肇庆市肇庆鼎湖中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

肇庆鼎湖中学2025届高二年级五月段考试题 数学 命题人：易瑞平 审题人：高二数学备课组 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 24 B. 60 C. 48 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数以及排列数的计算即可求解. 【详解】, 故选：A 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量，利用二项分布的方差公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得函数在上是增函数，再利用导数求出函数在上的单调区间，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 当时，， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，的增区间为，减区间为， 则A选项符合题意. 故选：A. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答. 【详解】因为，，所以. 故选：C 5. 的展开式中，常数项为 A. －15 B. 16 C. 15 D. －16 【答案】B 【解析】 【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项． 【详解】∵（）•（1），故它的展开式中的常数项是1+15=16 故选B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题． 6. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，有多少种不同涂色方法（ ） 1 3 4 2 5 A. 120 B. 72 C. 288 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理即可求解． 【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法， 区域4可选剩下的一种或选区域1，2所选的颜色，共有3种选法， 区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法， 共有种． 故选：D 7. 现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ） A. 180 B. 150 C. 120 D. 210 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本， 若分为4、1、1的三组，有种分组方法， 若分为3，2，1的三组，有种分组方法， 若分为2，2，2的三组，有种分组方法， 共有种分组方法， ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况， 则有种分发方式． 故选：A． 8. 若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，求导结合题干条件可证明在R上单调递增，又，故，即得解 【详解】令， 则 所以在R上单调递增， 又因为， 所以， 即不等式的解集是 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的求导公式及复合函数的求导法则逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，故错误； 对于B，因为， 所以，故正确； 对于C，因为， 所以，故错误； 对于D，因为， 所以，故正确. 故选：BD. 10. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的性质可判断CD选项． 详解】设 “向右下落”， “向左下落”，则， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A，故A正确； 对于B,，故B错误； 对于C，故C正确； 对于D，故D正确． 故选：ACD． 11. 一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从二项分布 B. 随机变量服从超几何分布 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可 【详解】由题意，知随机变量服从参数为10，4，4的超几何分布，即，故A错误，B正确； 随机变量的取值范围为， ，，， ，， 故，故C，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________． 【答案】 【解析】 分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题” 则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为： . 故答案为：. 13. 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=0,1,2,…,300),则E(ξ)=____. 【答案】100. 【解析】 【详解】分析：由二项分布的期望公式计算． 详解：由题意,得ξ~B,所以E(ξ)=300=100. 点睛：本题考查二项分布的期望计算公式．若，则，． 14. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜，然后分别求出各种情况的概率，加起来即可． 【详解】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜． 乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率； 乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为． 所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求该函数图像在点处的切线方程； （2）求函数在闭区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值6，最小值 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导分析函数的单调性与极值与最值即可. 【小问1详解】 ，故求该函数图像在点处的切线斜率为， 故求该函数图像在点处的切线方程为，即 【小问2详解】 令，解得， 由时，令时，解得；令时，解得. 故函数在区间上单调递减在区间上单调递增， 或者列表格 -1 0 2 - 0 + 0 ↓ 极小值 ↑ 6 ， 故函数在闭区间上最大值6，最小值 16. 从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答． ①第项的二项式系数比第项的二项式系数大；②二项式的常数项为. 问题：在二项式展开式中，___________. （1）求奇数项的二项式系数的和； （2）求该二项展开式中的系数. 【答案】条件选择见解析：（1）；（2）. 【解析】 【分析】选择条件①，由题意可得出关于的二次方程，结合且可求得的值； 选择条件②，写出展开式的通项，令的指数为零，根据二项式的常数项为求出的值. （1）由奇数项的二项式系数的和为可得解； （2）写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可求得该二项展开式中的系数. 【详解】选择条件①，由题意可得，整理可得， 因为且，解得； 选择条件②，由二项式定理得展开式的通项为， 根据题意，得，，因此，为奇数， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意.，r大于3时不满足题意 所以. （1）奇数项的二项式系数的和； （2）展开式的通项为， 根据题意，得，可得，因此，的系数是. 17. 有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）任取一个零件，如果取到的零件是次品的条件下，零件来自第一台机床将损失1万元，来自第二台机床将损失2万元，来自第三台机床将损失3万元.设该工厂的损失为X万元，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望 【解析】 【分析】（1）由全概率公式求得次品率； （2）可能值是，求出其概率的分布列，由期望公式计算期望． 【小问1详解】 设B=“任取一个零件为次品”，=“零件为第i台车机床加工”，，则3，且，，两两互斥， 依题意得，P(. 由全概率公式，得 【小问2详解】 由题意得X的可能取值为1，2，3， 则，，， 所以随机变量X的分布列为 1 2 3 所以数学期望． 18. 为丰富和活跃学校教师业余文化生活，提高教师身体素质，展现教师自我风采，增进教师沟通交流，阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之间进行，每场比赛均能分出胜负，已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金，并规定:若其中一人赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时该人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为，每场比赛相互独立. （1）在已进行的5场比赛中小胡赢了3场，若比赛继续进行到有人先赢4场，求小胡赢得全部奖金的概率； （2）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），记小胡获得奖金数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）小胡赢得全部奖金是赢得第4场，或输第4场、赢第5场，根据互斥事件及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意可得随机变量的可能取值为，，，，计算对应的概率值，写出的分布列，计算数学期望值． 【小问1详解】 记小胡赢得全部奖金为事件，则； 【小问2详解】 若场比赛结束，比赛自然终止， ①小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡获元； ②小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡无奖金； 若场比赛结束，比赛意外终止，即有一人赢了场，有一人赢了场， 则赢了场的人，按照比赛继续进行赢得全部奖金的概率为， 所以此人得到的奖金为元，则赢了场的人，得到的奖金为元； ③小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡获元； ④小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡获元； 所以随机变量的可能取值为，，，； 比赛结果共有， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 250 750 1000 数学期望为． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肇庆鼎湖中学2025届高二年级五月段考试题 数学 命题人：易瑞平 审题人：高二数学备课组 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 24 B. 60 C. 48 D. 72 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，常数项为 A. －15 B. 16 C. 15 D. －16 6. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，有多少种不同涂色方法（ ） 1 3 4 2 5 A. 120 B. 72 C. 288 D. 144 7. 现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ） A. 180 B. 150 C. 120 D. 210 8. 若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则下面计算正确的是（ ） A B. C. D. 11. 一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从二项分布 B. 随机变量服从超几何分布 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________． 13. 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=0,1,2,…,300),则E(ξ)=____. 14. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求该函数图像在点处的切线方程； （2）求函数在闭区间上的最值. 16. 从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答． ①第项的二项式系数比第项的二项式系数大；②二项式的常数项为. 问题：在二项式展开式中，___________. （1）求奇数项二项式系数的和； （2）求该二项展开式中的系数. 17. 有3台机床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）任取一个零件，如果取到的零件是次品的条件下，零件来自第一台机床将损失1万元，来自第二台机床将损失2万元，来自第三台机床将损失3万元.设该工厂的损失为X万元，求X的分布列与数学期望. 18. 为丰富和活跃学校教师业余文化生活，提高教师身体素质，展现教师自我风采，增进教师沟通交流，阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之间进行，每场比赛均能分出胜负，已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金，并规定:若其中一人赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时该人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为，每场比赛相互独立. （1）在已进行的5场比赛中小胡赢了3场，若比赛继续进行到有人先赢4场，求小胡赢得全部奖金的概率； （2）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），记小胡获得奖金数为，求的分布列和数学期望. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$