精品解析：2024年浙江省杭州市中考数学模拟押题预测试题

2024年中考模拟押题预测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 据统计，杭州亚运会累计到场观看比赛共3700000人次，数3700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 等于（ ） A. B. C. D. 4. 若点和点关于x轴对称，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知一组数据、、、，如果这组数据中的每一个数都减去常数，得到新的一组数据，那么下列描述这组新数据的信息中正确的是（ ） A. 平均数改变，方差不变； B. 平均数改变，方差改变； C. 平均数不变，方差不变； D. 平均数不变，方差改变． 6. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．若驽马先行一十二日，问良马几日追及之？根据题意，若设良马x天可追上驽马，则下述所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，，，都在上，，，， （ ）度 A. B. 42 C. D. 44 8. 如图，在中，，，，D是上一点，以为直角边作等腰，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 6 9. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点，交于点若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1； ④若点，，均在二次函数图象上，则； ⑤（m为任意实数）． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则代数式的值为________． 12. 某情报站有A、、、四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是以上周末使用的三种密码中等可能地随机选用一种，如果第周使用A种密码，那么第周也使用A种密码的概率是______． 13. 发动机曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图1 是发动机的实物剖面图，图2 是其示意图，图2中，点A在直线l上往复运动，推动点 B 做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D． 若， ， 当与相切时，的长度是_________． 14. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则 ______． 15. 体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次．小宇同学要想得分不低于28分，则他至少需要投进______个球． 16. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式： 解： ，得， ① 去括号，得， ② 移项，得， ③ 合并同类项，得， ④ 系数化为1，得 ． ⑤ 阅读以上解题过程并填空： （1）请把第⑤步解题过程补充完整： ； （2）以上解题过程中，第①步的步骤是 ，第②步的依据是 ． 18 如图，四边形中，，，交于． （1）求证：平分； （2）若，，求． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 20. 某校对七、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下： 收集数据： 从七、八两个年级中各抽取12名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下： 七年级：88 98 99 82 86 88 78 85 88 96 76 88 八年级：94 99 87 88 94 93 94 92 87 94 99 78 整理数据： 成绩 年级 七年级 2 7 3 八年级 1 3 8 说明：成绩90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，70～80分（不含80分）为及格． 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.67 88 八年级 91.58 94 解决问题： （1）直接写出m，n的值：__________，____________； （2）根据以上数据整理和分析，你认为哪个年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由； （3）若八年级共有240名学生，请你估计该校八年级体质健康测试成绩优秀的学生人数． 21. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 22. 【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； （3）小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 23. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 24. 实践操作： 第一步：如图（1），正方形纸片边上有一点P，将正方形纸片沿对折，点A落在点E处； 第二步：如图（2），将正方形沿对折，得到折痕，把纸片展平； 第三步：如图（3），将图（1）中纸片沿对折，得到折痕，把纸片展平； 第四步：如图（4），将图（3）中纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平，发现点E刚好在折痕上． 问题解决： （1）在图（2）中，判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）在图（3）中，求证：的周长不变； （3）在图（4）中，若正方形边长为，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考模拟押题预测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数；正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：． 2. 据统计，杭州亚运会累计到场观看比赛共3700000人次，数3700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．由此即可确定答案． 【详解】解： 故选：B． 3. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，同底数幂相乘法则的逆用，熟练掌握同底数幂相乘法则的逆用是解题的关键． 先逆用同底数幂相乘法则，变形为，再提公因式，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 4. 若点和点关于x轴对称，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，根据象限内点的特点，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ∴点在第四象限； 故选：D． 5. 已知一组数据、、、，如果这组数据中的每一个数都减去常数，得到新的一组数据，那么下列描述这组新数据的信息中正确的是（ ） A. 平均数改变，方差不变； B. 平均数改变，方差改变； C. 平均数不变，方差不变； D. 平均数不变，方差改变． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，掌握平均数和方差的特点是本题的关键． 根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数改变，即可得出答案． 【详解】解：记原先平均数为，， 新的平均数为，则，所以平均数改变； 记原先方差为，则， 则新的方差， 而，代入得， ∴， ∴平均数改变，方差不变， 故选：A． 6. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．若驽马先行一十二日，问良马几日追及之？根据题意，若设良马x天可追上驽马，则下述所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设良马x天可以追上驽马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设良马x天可以追上驽马， 依题意，得：． 故选：C． 7. 如图，点A，，，都在上，，，， （ ）度 A. B. 42 C. D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为的内接四边形， ， ， 故先：C． 8. 如图，在中，，，，D是上一点，以为直角边作等腰，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据是等腰直角三角形，且，得出要使最小，只需要最小即当是边上的高线时，的长最短，先求出，根据面积求出，再根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴要使最小，只需要最小即当是边上的高线时，的长最短， 在中， ， ∵， ∴， 解得：， 在中，，即， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，垂线段最短，得出求的最小值即为求的最小值是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点，交于点若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据有两个角相等的三角形相似可得，因为，所以与的相似比为，由相似三角形对应线段成比例，列比例式求出，，再根据勾股定理可得，证明，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1； ④若点，，均二次函数图象上，则； ⑤（m为任意实数）． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断． 【详解】解：∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为， ∴当x=1时，， 故结论①正确； 根据函数图像可知， 当，即， 对称轴为，即， 根据抛物线开口向上，得， ∴， ∴， 即， 故结论②正确； 根据抛物线与x轴的一个交点为， 对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1， 故结论③正确； 根据函数图像可知：， 故结论④错误； 当时，， ∴当时，， 即， 故结论⑤错误， 综上：①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系． 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则代数式的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式法则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 12. 某情报站有A、、、四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是以上周末使用的三种密码中等可能地随机选用一种，如果第周使用A种密码，那么第周也使用A种密码的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式，得到第二周使用的概率是解题的关键，属于中档题． 由题意可得， ，． 【详解】解：∵第一周使用，每周使用其中的一种密码，且每周都是以上周末使用的三种密码中等可能地随机选用一种， ∴第二周使用的概率， ∴第三周使用的概率； 故答案为：． 13. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图1 是发动机的实物剖面图，图2 是其示意图，图2中，点A在直线l上往复运动，推动点 B 做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D． 若， ， 当与相切时，的长度是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 先根据线段的和差得到长，然后根据切线的性质和勾股定理求出长即可得到结果． 【详解】解：， 当与相切时，如图， 连接，则， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，图形的翻折性质． 首先根据平行线的性质得，，再根据翻折的性质得：，据此可求出，的度数，进而即可得出答案． 【详解】解：四边形为长方形，， ， ，， 由翻折的性质得：， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次．小宇同学要想得分不低于28分，则他至少需要投进______个球． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小李投进x个球，则投丢个球，根据题意得出，解一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设小李投进x个球，则投丢个球， 依题意得：， 解得：， ∴小李至少要投进10个球． 故答案为：10． 16. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等相关知识；由题意证明，所以，则是等腰直角三角形，即可得到；过点F作，求出，得到，推出是等腰直角三角形，则，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，和为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， 过点F作，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式： 解： ，得， ① 去括号，得， ② 移项，得， ③ 合并同类项，得， ④ 系数化为1，得 ． ⑤ 阅读以上解题过程并填空： （1）请把第⑤步的解题过程补充完整： ； （2）以上解题过程中，第①步的步骤是 ，第②步的依据是 ． 【答案】（1） （2）去分母；乘法分配律 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式： （1）根据不等式的性质求解即可； （2）观察可知，第①步的步骤是去分母，第②步的依据是乘法分配律． 【小问1详解】 解： 系数化为1得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察可知，第①步的步骤是去分母，第②步的依据是乘法分配律， 故答案为：去分母；乘法分配律． 18. 如图，四边形中，，，交于． （1）求证：平分； （2）若，，求． 【答案】（1）证明见解答 （2） 【解析】 【分析】（1）作于点，交的延长线于点，可证明，得，则点在的平分线上，所以平分； （2）先证明，得，由，求得，则，所以． 【小问1详解】 证明：作于点，交的延长线于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 由（1）得， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题 （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据三角形面积的和差，可得答案； （3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得或（舍去）， ∴点， ∵点，在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：点为直线与轴的交点， ． ． 【小问3详解】 解：∵ ∴ 由图象得：或． 20. 某校对七、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下： 收集数据： 从七、八两个年级中各抽取12名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下： 七年级：88 98 99 82 86 88 78 85 88 96 76 88 八年级：94 99 87 88 94 93 94 92 87 94 99 78 整理数据： 成绩 年级 七年级 2 7 3 八年级 1 3 8 说明：成绩90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，70～80分（不含80分）为及格． 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.67 88 八年级 91.58 94 解决问题： （1）直接写出m，n的值：__________，____________； （2）根据以上数据的整理和分析，你认为哪个年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由； （3）若八年级共有240名学生，请你估计该校八年级体质健康测试成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）93.5，88 （2）八年级学生的体质健康状况更好一些，见解析 （3）估计该校八年级体质健康测试成绩优秀的学生人数为160人 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，用样本估计总体； （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据八年级学生测试成绩的平均数，中位数，众数均高于七年级可知，八年级学生的体质健康状况更好一些； （3）用八年级学生人数乘以样本中成绩优秀的学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：∵排序后八年级测试成绩排在第六、第七名的是94分，93分， ∴八年级测试成绩的中位数； ∵七年级测试成绩中得88分的人数最多， ∴七年级测试成绩的众数， 故答案为：93.5，88； 【小问2详解】 八年级学生的体质健康状况更好一些； 理由：因为八年级学生测试成绩的平均数，中位数，众数均高于七年级， 所以八年级学生体质健康状况更好一些； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校八年级体质健康测试成绩优秀的学生人数为160人． 21. （科技成就）随着技术发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】信号塔的高为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，同时涉及矩形的判定与性质，勾股定理等知识，延长交直线于点B，过点E作于点G，证明四边形是矩形，根据坡比先求出 ，，再根据，问题即可得解 【详解】解：延长交直线于点B，过点E作于点G，如图， 根据题意有：，，，，，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：信号塔的高为米． 22. 【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； （3）小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）令得，解方程即可得解； （3）利用待定系数法先求得第二次弹起的抛物线，再求出时对应自变量的值即可求解． 【小问1详解】 解：乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点， 设． 代入，， 解得， ， 【小问2详解】 解：令，则 解得，（舍） ，乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为． 【小问3详解】 解：乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为， 设． 代入， ． 解得，（舍） ． 当时，， 解得， 木板到斜坡底端的距离为的长度，当时，小强确保获胜． 23. 如图，为直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明是关键． （1）如图1，连接，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论； （2）①如图2，过作于点，证明，则，得； ②过点C作，连接，过点C作，先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得的值，证明，列比例式可得的长，再求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； 【小问2详解】 解：①线段与之间满足的数量关系是：， 理由如下：如图2，过作于点，连接， ， ，且， ， 为公共边， ， ， ； ②过点C作，连接，过点C作， 是的直径， ， ，， ． ， ， ， 由得：， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ， ，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． ， ， 四边形是矩形， ， ， 24. 实践操作： 第一步：如图（1），正方形纸片边上有一点P，将正方形纸片沿对折，点A落在点E处； 第二步：如图（2），将正方形沿对折，得到折痕，把纸片展平； 第三步：如图（3），将图（1）中纸片沿对折，得到折痕，把纸片展平； 第四步：如图（4），将图（3）中纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平，发现点E刚好在折痕上． 问题解决： （1）在图（2）中，判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）在图（3）中，求证：的周长不变； （3）在图（4）中，若正方形的边长为，直接写出的长． 【答案】（1），见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，即可得到 ，易证即可得到答案； （2）连接，由折叠的性质知，，，结合，易得得到，即可得到证明； （3）根据折叠可得，，，即可得到，从而得到，即可得到，从而得到，由（2）得，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到答案； 【小问1详解】 解： ，理由如下， 证明：由折叠的性质知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，由折叠的性质知，，， 又∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 又∵为正方形的边长， ∴的周长不变； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由折叠性质可得， ，，，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，二次根式混合运算，折叠的性质及三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据折叠得到三角形全等条件及角度关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$