精品解析：2024年浙江省温州市初中学业水平考试数学模拟卷A试题

2024年温州市初中学业水平考试模拟卷A 数学 考生须知： 1.本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在数轴上表示和两点之间的整数有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，根据题意找出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：在数轴上表示和两点之间的整数有，，，0，1，2，3共7个． 故选：D． 2. 如下图几何体是由五个小立方体搭成的，现从左面看它得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从左面看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边数第一列下面一层有一个小正方形，第二列上下两层各有一个小正方形，据此可得答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边数第一列下面一层有一个小正方形，第二列上下两层各有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：D． 3. 3月5日，国务院总理李强在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标是：城镇新增就业1200万人以上，城镇调查失业率左右．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：1200万用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，正确画出树状图成为解题的关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可解答． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况， ∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=． 故答案为：． 5. 某次测试结束，嘉琪随机抽取了九（1）班学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的扇形统计图，则该班学生的平均成绩为（ ） A. 9分 B. 分 C. 分 D. 8分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的含义，直接利用加权平均数的含义计算即可． 【详解】解：平均成绩为： （分）． 故选 A． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查单项式与单项式相乘、同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．利用同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：原式， 故选：A． 7. 一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是根据长方形的周长表示出其宽及变化后正方形的边长．由长方形的周长为，长方形的长为知长方形的宽为，根据正方形的边长相等可列出方程． 【详解】解：长方形的周长为，长方形的长为， 则长方形的宽为， 根据题意，得， 故选：B． 8. 如图，在中，，，，分别以为边在的同侧作正方形，若四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（ ） A. 36 B. 24 C. 48 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质．过点F作于点D，连接，结合正方形的性质可证明，可得，再证明，可得，，然后证明， 可得，证明， 可得，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作于点D，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选B． 9. 如图，都是的半径，，若， ，则的半径为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据圆周角定理推出，过点作半径于点，则，利用垂径定理，可得，再利用勾股定理列方程即可解答，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 过点作半径于点，则， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是． 故选：B． 10. 【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ） A. 4200米 B. 4800米 C. 5200米 D. 5400米 【答案】B 【解析】 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/分）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故选B． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式以及平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 为了解某区初中学生每月参加社团活动时间的情况，随机抽查了名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知该区初中生共有名，依此估计，该区每月参加社团活动的时间不少于小时的学生数大约是______名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，样本估计总体，用乘以参加社团活动的时间不少于小时的学生数占比即可求解，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：， ∴估计该区每月参加社团活动的时间不少于小时的学生数为名， 故答案为：． 13. 不等式组的整数解是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得答案． 详解】解：由得：， 由得：， 所以不等式组的解集为， 所以其整数解为3， 故答案为：3． 14. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，牢记公式是解题的关键．代入弧长公式即可求解． 【详解】解：由弧长公式得，解得， 故答案为：2． 15. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设这个反比例函数的解析式为，求得，当时，求得，当时求得，，于是得到结论． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， 时，， ， ， 当时，， 当时，， ， 气体体积增大了， 故答案为：15． 16. 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一幅图中图1所示的七巧板（其中点Q，R分别与图2中的点E，G重合，点P在边上），则“拼搏兔”所在正方形的边长是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．根据题意连接，交的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：如图2中，连接，作交的延长线于M． ∵， ∴图1中④、⑤等腰直角三角形的直角边为， ∴在中，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题有8个小题，共66分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． （1）在图1中画一个等腰三角形，使得点C的横、纵坐标之和为偶数； （2）在图2中画一个，使得点P在坐标轴上． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、直角三角形、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的性质按要求画图即可； （2）根据直角三角形的判定按要求画图即可． 【小问1详解】 解：如图1，，，，均满足题意． 【小问2详解】 如图2，，均满足题意． 19. 党二十大胜利召开后，某校掀起了学习党的二十大精神的热潮，为巩固学习成果，该校举办了学习贯彻党的二十大精神理论知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）： 7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.6 8.5 中位数 a 9 众数 8 b 八年级教师竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）估计该校七年级60名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，请从平均数与中位数两个方面评价哪个年级教师学习党的二十大精神竞赛成绩更优异． 【答案】（1）8；9 （2）54 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到、的值． （2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解． （3）通过比较七年级和八年级的平均数和中位数进行评价即可． 本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答． 【小问1详解】 七年级教师的竞赛成绩：7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 中位数． 根据扇形统计图可知类是最多的，故． 故答案为：8；9． 【小问2详解】 （人）， 答：该校七年级60名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数大约有54人； 【小问3详解】 根据表中可得， ∵七年级的平均数略高于八年级的平均数， ∴从平均数看，七年级成绩更优异； ∵七年级的中位数小于八年级的中位数，即八年级有一半的人成绩高于9分， ∴从中位数看，八年级成绩更优异， 综上，八年级教师的学习党的二十大精神竞赛成绩更优异． 20. 在平面直角坐标系中，已知直线：与y轴相交于A点，与直线：相交于点． （1）求m、k的值； （2）求的长； （3）若直线与直线，及x轴有3个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求a的值． 【答案】（1）， （2） （3）或或13 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合，涉及待定系数法求一次函数的解析式、直线的交点，两点之间的距离公式等知识． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先求出点A的坐标，然后利用两点之间的距离公式求解即可． （3）求得两条直线与直线的交点纵坐标，分三种情况讨论求得即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵已知直线：与y轴相交于A点， ∴， ∴， ∵ ∴． 【小问3详解】 把代入得，， 把代入得，， 分三种情况： ①当第三点在直线上时，，解得； ②当第三点在直线上时，，解得； ③当第三点在x轴上时，则，解得， ∴直线与直线，及x轴有3个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或或13 21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和“”证明，可得，再根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论； （2）根据菱形的性质可得，设长为x，则，利用勾股定理列方程求得，再利用求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 设长为x，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． （1）求水线最高点与点之间的水平距离； （2）当喷水口在处时， ①求水线的最大高度； ②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 【答案】（1）水线最高点与点之间的水平距离为 （2）①水线的最大高度为；②，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的性质． （1）根据得出抛物线对称轴为直线，即可解答； （2）①根据题意，结合（1）可设过点的抛物线为，将，，代入求出解析式，即可求解；②令，解出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系． ， 抛物线对称轴是直线， 又， 水线最高点与点之间的水平距离为：； 【小问2详解】 ①由题意，结合（1），又因为抛物线形水线也随之上下平移， 可设过点的抛物线为， 又，， ， ，， 所求解析式为． 水线的最大高度为； ②令， ． 或， 为了不被水喷到， ． 23. 数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】（1）遮阳篷前端到墙面的距离约为（2）挡沿部分的约为． 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的相关知识． （1）作于，由，，可得，即可求解； （2）作于，于，延长交于，则，可得四边形、四边形是矩形，在中，由，求出，根据，求出，然后根据，求出，最后由线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）如图，作于， ，． 在中，，即， ， 答：遮阳篷前端到墙面的距离约为； （2）解：如图，作于，于，延长交于，则， 四边形、四边形是矩形， 由（1）得， ， 在中，，即， ， 由题意得：， ， 在中，，即， ， ， 答：挡沿部分的长约为． 24. 如图，已知是的直径，点在的延长线上，点在上，连接和，且平分． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，连接交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，弧上有一点，连接，于点，交于点，，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，进而根据角平分线的性质得出，即可证明，，即可求解． （2）如图所示，连接，得出，进而根据垂径定理得出，即可得证； （3）连接过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，设，由（2）可得，则，得出，证明四边形是矩形，得出，进而在中，勾股定理求得，则，设，则，，在和中，勾股定理得出，则得出半径，根据，，则,得出，根据即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 如图所示，连接过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， 设，由（2）可得，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵直径，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，则, ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年温州市初中学业水平考试模拟卷A 数学 考生须知： 1.本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在数轴上表示和两点之间的整数有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 2. 如下图几何体是由五个小立方体搭成的，现从左面看它得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 3月5日，国务院总理李强在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标是：城镇新增就业1200万人以上，城镇调查失业率左右．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某次测试结束，嘉琪随机抽取了九（1）班学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的扇形统计图，则该班学生的平均成绩为（ ） A. 9分 B. 分 C. 分 D. 8分 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，分别以为边在的同侧作正方形，若四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（ ） A. 36 B. 24 C. 48 D. 72 9. 如图，都是的半径，，若， ，则的半径为（　　） A. B. C. 2 D. 3 10. 素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和（ ） A. 4200米 B. 4800米 C. 5200米 D. 5400米 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：________． 12. 为了解某区初中学生每月参加社团活动时间的情况，随机抽查了名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知该区初中生共有名，依此估计，该区每月参加社团活动的时间不少于小时的学生数大约是______名． 13. 不等式组的整数解是______． 14. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是______． 15. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了________． 16. 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一幅图中图1所示的七巧板（其中点Q，R分别与图2中的点E，G重合，点P在边上），则“拼搏兔”所在正方形的边长是________________． 三、解答题：（本大题有8个小题，共66分） 17. 计算：． 18. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． （1）在图1中画一个等腰三角形，使得点C的横、纵坐标之和为偶数； （2）在图2中画一个，使得点P在坐标轴上． 19. 党的二十大胜利召开后，某校掀起了学习党的二十大精神的热潮，为巩固学习成果，该校举办了学习贯彻党的二十大精神理论知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）： 7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 86 8.5 中位数 a 9 众数 8 b 八年级教师竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）估计该校七年级60名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，请从平均数与中位数两个方面评价哪个年级教师学习党的二十大精神竞赛成绩更优异． 20. 在平面直角坐标系中，已知直线：与y轴相交于A点，与直线：相交于点． （1）求m、k的值； （2）求长； （3）若直线与直线，及x轴有3个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求a的值． 21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． （1）求水线最高点与点之间的水平距离； （2）当喷水口在处时， ①求水线的最大高度； ②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 23. 数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 24. 如图，已知是的直径，点在的延长线上，点在上，连接和，且平分． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，连接交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，弧上有一点，连接，于点，交于点，，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$