第1章 3.2 第1课时 基本不等式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 预备知识 §3　不等式 3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。设直角三角形的两条直角边长为a,b,那么正方形的边长为,这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为a2+b2,由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:a2+b2≥2ab。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课程标准 1.掌握基本不等式≥(a≥0,b≥0,当且仅当a=b时等号成立)。 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 新知·自主学习 启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 一、基本不等式 对于任意实数x和y,(x-y)2≥0总是成立的,即x2-2xy+y2≥0,所以≥xy,当且仅当x=y时,等号成立。 设a≥0,b≥0,取x=,y=,代入上述不等式可得≥,当且仅当 时,等号成立。 这个不等式称为基本不等式,其中,称为a,b的 平均值,称为a,b的 平均值。因此,基本不等式又称为均值不等式,也可以表述为:两个非负实数的算术平均值 它们的几何平均值。 a=b 算术 几何 大于或等于 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 二、基本不等式与数值 当x,y均为正数时,下面的命题均成立 (1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当 时,xy取得最 值 。 (2)若xy=p(p为定值),则当且仅当 时,x+y取得最 值 。 x=y 大 x=y 小 2 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 微提醒 基本不等式≥的条件是a,b都是非负实数,取等号的条件是a=b,当a<0,b<0时,则有≤-。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 微思考 1.基本不等式成立的条件“a,b≥0”能省略吗?请举例说明。 2.若a≠b,基本不等式会怎样? 提示:不能,如≥2是不成立的。 提示:若a≠b,≤(a,b≥0)中的等号不成立。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 课堂·合作探究 细研，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型一　对基本不等式的理解 　判断下列两个推导过程是否正确: (1)因为a∈R,a≠0,所以+a≥2=4; 例1 由于a∈R,a≠0,不符合基本不等式的使用条件,故(1)的推导是错误的。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)因为x,y∈R,xy<0,所以+=-≤-2=-2。 由xy<0,知,均为负数,在推导过程中,将其转变为正数-,-后,符合基本不等式的使用条件,故(2)的推导正确。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　应用基本不等式时,注意下列两个常见变形中等号成立的条件: (1)+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号;+≤-2(a,b异号),当且仅当a=-b时取等号。 (2)a+≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论恒成立的是(　　) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 训练1 对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,所以A错误;对于B,C项,ab>0只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D,因为ab>0,所以>0,>0,所以+≥2,即+≥2恒成立。故选D。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型二　用基本不等式求简单的最值问题 　(1)求函数y=+x(x>3)的最小值; 例2 y=+x=+(x-3)+3,因为x>3,所以x-3>0,>0,所以y≥2+3=5。当且仅当=x-3,即x=4时,y取得最小值5。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)已知0<x<,求y=x(1-3x)的最大值。 因为0<x<,所以1-3x>0,y=x(1-3x)=·3x·(1-3x)≤=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,取等号,所以当x=时,函数取得最大值。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　利用基本不等式求函数的最值 (1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件。 (2)等号取不到时,注意利用求函数最值的其他方法。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (1)已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为 。  训练2 1 因为x<,所以5-4x>0。所以y=4x-2+=-+3≤-2+3=-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立。故当x=1时,y取得最大值为1。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)若x>1,则函数y=的最小值为 。  4 因为x>1,所以y===x+1+=x-1++2≥2+2=4,当且仅当=x-1,即(x-1)2=1时,等号成立,所以当x=2时,y取得最小值为4。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型三　用基本不等式证明不等式 　(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++; 例3 因为a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0, 所以2(a+b+c)≥2(++), 即a+b+c≥++。 因为a,b,c为不全相等的正实数, 所以等号不能取得, 故a+b+c>++。 证明 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)已知x>0,y>0,z>0,求证:≥8。 因为x>0,y>0,z>0, 所以+≥>0,+≥>0,+≥>0, 当且仅当x=y=z时,以上三个不等式等号同时成立。 所以≥=8。 当且仅当x=y=z时等号成立。 证明 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　(1)所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明。 (2)对于此类无附加条件的不等式恒成立的证明问题,证明时要根据要证不等式的结构特征,合理地构造并正确选用基本不等式或其变形式,这也是证明轮换对称结构的不等式(用y换x,x换z,z换y后,代数式不变的式子叫轮换对称式,其特征是x,y,z的地位一样)的常用思路。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (1)设a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca; 训练3 因为a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 当且仅当a=b=c时,等号同时成立, 三式相加得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac), 即a2+b2+c2≥ab+bc+ca。 当且仅当a=b=c时,等号成立。 证明 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c。 因为a,b,c>0, 所以利用基本不等式可得+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,所以+++a+b+c≥2a+2b+2c, 故++≥a+b+c, 当且仅当a=b=c时,等号成立。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 随堂·达标检测 训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 1.已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是(　　) A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b 因为a,b∈(0,1),所以a2<a,b2<b,所以a2+b2<a+b,又a2+b2>2ab(因为a≠b),所以2ab<a2+b2<a+b。又因为a+b>2(因为a≠b),所以a+b最大。故选D。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 2.已知ab=1,a>0,b>0,则a+b的最小值为(　　) A.1　　　　 B.2 C.4　　　　 D.8 因为a>0,b>0,所以a+b≥2=2, 当且仅当a=b=1时取等号。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 3.若x>0,则x+ 2(填“=”“≥”“≤”“>”或“<”)。  ≥ x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时取等号。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 4.设a,b为非零实数,给出下列不等式: ①≥ab;②≥;③≥;④+≥2。其中恒成立的是 。(填序号)  由重要不等式a2+b2≥2ab,可知①正确;==≥==,可知②正确;当a=b=-1时,不等式的左边为=-1,右边为=-,可知③不正确;当a=1,b=-1时,可知④不正确。 解析 ①② 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§3　3.2　第1课时　基本不等式 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 $$