微专题之直线与圆讲义-2024届高三数学二轮专题复习

微专题之直线与圆 一前言 解析几何是高中数学的重要内容,是高考重点考查的知识点.高考解析几何的命题思路是创设平面几何及解析法解决圆锥曲线有关问题的环境,使得解析几何的思想方法在解答中得以完整体现.代数问题几何化,几何问题代数化是解析几何的核心,有效实现这两个转化是解决解析几何问题的关键.解析几何的关注点在于定性,定位,定量.定性即确定平面几何图形的基本要素及其几何特性,定位即感知平面几何图形的运动方式及其位置关系,定量即建立笛卡尔平面直角坐标系,使几何特性,运动方式和位置关系代数化,精确度量. 直线与圆属于解析几何的内容,对直线与圆相关知识点的考查经常出现在高考试题当中.直线与圆就像是一对双胞胎兄弟,经常出现在同一道试题中,以此为载体考查考生的运算求解能力,推理论证能力以及检测考生是否具备运用解析几何的思想解决数学问题的能力. 二试题举例 题型1:求直线与圆的方程 例1. 设抛物线的焦点为,过且斜率为()的直线与交于两点,.(1)求的方程;(2)求过点且与的准线相切的圆的方程. 解析:(1)设直线方程为, 由得. 设,,则. 根据抛物线的焦半径公式有,故. 解得.又所以.此时直线的方程为. (2)由第(1)步可得直线的方程为,,,中点为.设圆心.由于直线方程为,所以.由已知有圆心到直线的距离.在直角三角形中,,,,根据勾股定理有. 由,解得,或. 故所求圆方程为或. 简析:本道试题以直线和抛物线为载体,既考查了运用解析几何常规套路求解直线方程,又考查了在陌生情境中求解圆的方程,综合考查了直线,抛物线,圆等基本量的求解,综合性强,着重检测考生的数学运算素养和逻辑推理素养. 例2: 已知抛物线过点的直线交于两点,圆是以线段为直径的圆.(1)证明:坐标原点在圆上;(2)设圆过点,求直线与圆的方程. 解析:(1)设,,. 由得,即,则. 故,因此故坐标原点在圆上. (2)由(1)可得 故圆心的坐标为,圆的半径 由于圆过点,因此. 故, 即. 由(1)可得. 所以,解得或. 当时,直线方程为,圆方程为. 当时,直线方程为, 圆方程为. 简析:本道试题与例1具有异曲同工之妙,不管是试题背景还是考查内容都十分相似.这说明了高考试题具有一定的稳定性以及指导意义.试题主要考查直线与圆的基础知识,基本方法,将知识点与数学核心素养融为一体,以知识为载体渗透对核心素养的考查,体现了高考以素养立意的命题理念. 题型2:直线与圆中的参数问题 例3.在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程.(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围. 解析:(1)由得圆心, 故圆的方程为. 设切线方程为,则,解得或. 因此切线方程为或. (2)设圆心,则圆的方程为.设,由得. 化简得.因此点在圆上又在圆上,则两圆有公共点,故,解得. 简析:本题第一步考查求直线的方程,第二步求参数的取值范围,需要综合运用圆的知识,转化为两圆有公共点进行求解,体现了更高层次的思维. 例4. 在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆 及其上一点.(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;(3)设满足存在圆上两个动点使得,求的取值范围. 解析:(1)圆:,在圆上. 由已知有,,圆的标准方程为. (2设直线方程为,圆心到直线的距离.结合弦长公式解得或. 故直线的方程为或. (3)设,, 由得, 即.因为点在圆:上,所以 ,化简得 显然在圆上,又在圆上.因而两圆有公共点,则, 解得. 简析:本题分三步,既考查求圆的方程,又考查求直线的方程,同时还考查了求参数的取值范围,一道试题将直线与圆的相关知识点体现得淋漓尽致,是一道不可多得的好题. 题型3:直线与圆的综合性问题 例5.已知抛物线()的焦点为,直线与轴的交点为,与的交点为,且.(1)求的方程;(2)过的直线与相交于两点,若的垂直平分线与相交于两点,且四点在同一圆上,求的方程. 解析:(1). (2)设直线方程为,, 由得.即. 故中点,. 设直线方程为,, 由得. 即. 故中点,. 由题意可得. 故. 解得. 所以的方程为或. 简析:本题以四点共圆为背景求直线的方程,既需要严谨的代数推理又要善于借助圆中的几何关系,充分挖掘题目隐含的条件不断将未知转向已知,实现解题突破. 例6.设椭圆()的左右焦点分别为,,点在椭圆上,,,的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径. 解析:(1). (2)由已知可得,,.设,,则. 由,,得.结合 ,解得.因此,圆的半径为. 简析:本题以圆和椭圆相交为背景求圆的半径,解题的关键在于抓住对称性,巧妙设出点的坐标,挖掘图形中隐含的几何关系,结合代数推理进行求解. 三备考策略 直线与圆是解析几何考查的重点,试题强调综合性,综合考查数形结合思想,函数与方程思想,特殊与一般思想以及推理论证能力和运算求解能力.高考对解析几何的考查在内容和形式上必然在三个方面加以凸显:直线与圆的位置关系,圆锥曲线的标准方程与简单几何性质,基于运动变化的直线与圆锥曲线的位置关系. 对于直线与圆的相关解答试题,更加突出考查运用解析几何方法解决几何问题的能力.具体而言就是要求考生充分挖掘图形的几何特征（利用平面几何中几何定理）,然后用代数语言（坐标法）来描述挖掘出来的几何性质和几何关系,最终通过坐标化的代数运算来研究几何图形的性质. 在实际教学中,我们要夯实直线与圆的相关基础知识,基本方法,在此基础上进一步提升学生的数学思维能力.解析几何的教学应该是明确的,要重视几何定理以及几何的等价转化能力的培养,要让学生真正理解解析几何的本质.同时在解析几何的教学中要有耐心.要能等待,要给学生尝试探索的机会,使他们在不断的探索研究过程中学会选择. 学科网（北京）股份有限公司 $$